Cum arată o funcție pară pe un grafic. Funcții pare și impare

Studiu de funcții.

1) D(y) – Domeniu de definiție: mulțimea tuturor acelor valori ale variabilei x. pentru care expresiile algebrice f(x) și g(x) au sens.

Dacă o funcție este dată de o formulă, atunci domeniul de definiție constă din toate valorile variabilei independente pentru care formula are sens.

2) Proprietăți ale funcției: par/impar, periodicitate:

CiudatŞi chiar sunt numite funcții ale căror grafice sunt simetrice în raport cu modificările semnului argumentului.

Funcție ciudată- o funcție care schimbă valoarea la opus când semnul variabilei independente se modifică (simetric față de centrul coordonatelor).

Chiar și funcție- o functie care nu isi modifica valoarea atunci cand semnul variabilei independente se schimba (simetric fata de ordonata).

Nici funcție pară, nici impară (funcţie vedere generală) - o functie care nu are simetrie. Această categorie include funcții care nu se încadrează în cele 2 categorii anterioare.

Sunt numite funcții care nu aparțin niciunei dintre categoriile de mai sus nici par, nici impar(sau funcții generale).

Funcții ciudate

Putere impară unde este un număr întreg arbitrar.

Chiar și funcții

Chiar și puterea unde este un număr întreg arbitrar.

Funcția periodică- o funcție care își repetă valorile după un interval regulat de argumente, adică nu își schimbă valoarea atunci când adaugă un număr fix diferit de zero la argument ( perioadă funcții) pe întregul domeniu de definire.

3) Zerourile (rădăcinile) unei funcții sunt punctele în care aceasta devine zero.

Aflarea punctului de intersecție a graficului cu axa Oi. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculați valoarea f(0). Găsiți și punctele de intersecție ale graficului cu axa Bou, de ce găsiți rădăcinile ecuației f(x) = 0 (sau asigurați-vă că nu există rădăcini).

Se numesc punctele în care graficul intersectează axa zerouri ale funcției. Pentru a găsi zerourile unei funcții trebuie să rezolvați ecuația, adică să găsiți acele valori ale lui "x", la care funcția devine zero.

4) Intervale de constanță a semnelor, semne în ele.

Intervale în care funcția f(x) păstrează semnul.

Intervalul de constanță a semnului este intervalul în fiecare punct din care funcția este pozitivă sau negativă.

DEASUPRA axei x.

SUB axă.

5) Continuitate (puncte de discontinuitate, natura discontinuității, asimptote).

Funcție continuă- o funcție fără „sărituri”, adică una în care mici modificări ale argumentului duc la mici modificări ale valorii funcției.

Puncte de întrerupere amovibile

Dacă limita funcţiei există, dar funcția nu este definită în acest punct sau limita nu coincide cu valoarea funcției în acest moment:

atunci punctul este numit punct de rupere detașabil funcții (în analiza complexă, un punct singular detașabil).

Dacă „corectăm” funcția în punctul de discontinuitate detașabilă și punem , atunci obținem o funcție care este continuă într-un punct dat. O astfel de operație asupra unei funcții este numită extinderea funcției la continuu sau redefinirea funcţiei prin continuitate, care justifică numele punctului ca punct amovibil ruptură.

Puncte de discontinuitate de primul și al doilea fel

Dacă o funcție are o discontinuitate într-un punct dat (adică limita funcției într-un punct dat este absentă sau nu coincide cu valoarea funcției într-un punct dat), atunci pentru funcțiile numerice există două opțiuni posibile asociate cu existenţa funcţiilor numerice limite unilaterale:

dacă ambele limite unilaterale există și sunt finite, atunci se numește un astfel de punct punct de discontinuitate de primul fel.

Punctele de discontinuitate amovibile sunt puncte de discontinuitate de primul fel; dacă cel puțin una dintre limitele unilaterale nu există sau nu este o valoare finită, atunci un astfel de punct se numește.

punct de discontinuitate de al doilea fel - Asimptotă Drept , care are proprietatea că distanța de la un punct al curbei până la acesta direct

tinde spre zero pe măsură ce punctul se îndepărtează de-a lungul ramificației până la infinit.

Vertical .

Asimptotă verticală - linie limită

De regulă, atunci când se determină asimptota verticală, ei caută nu o limită, ci două unilaterale (stânga și dreapta). Acest lucru se face pentru a determina modul în care funcția se comportă pe măsură ce se apropie de asimptota verticală din direcții diferite. De exemplu:

Orizontală Asimptotă asimptotă orizontală - specii, supuse existenţei

limită

Înclinat Asimptotă asimptotă orizontală - asimptotă oblică -

limite

Notă: o funcție nu poate avea mai mult de două asimptote oblice (orizontale).

Notă: dacă cel puțin una dintre cele două limite menționate mai sus nu există (sau este egală cu ), atunci asimptota oblică la (sau ) nu există. .

6) dacă la punctul 2.), atunci , iar limita se găsește folosind formula asimptotă orizontală, Găsirea intervalelor de monotonitate. f(x Găsiți intervalele de monotonitate ale unei funcții f(x)(adică intervale de creștere și scădere). Acest lucru se face prin examinarea semnului derivatei f(x). Pentru a face acest lucru, găsiți derivata f(x) și rezolvați inegalitatea f(x)crește. Acolo unde este valabilă inegalitatea inversă f(x)0, funcţia f(x) este în scădere.

Găsirea unui extremum local. După ce am găsit intervalele de monotonitate, putem determina imediat punctele extreme locale în care o creștere este înlocuită cu o scădere, sunt situate maximele locale și unde o scădere este înlocuită cu o creștere, sunt situate minimele locale. Calculați valoarea funcției în aceste puncte. Dacă o funcție are puncte critice care nu sunt puncte extreme locale, atunci este util să se calculeze și valoarea funcției în aceste puncte.

Găsirea celor mai mari și mai mici valori ale funcției y = f(x) pe un segment(continuare)

1. Aflați derivata funcției: f(x).

2. Găsiți punctele în care derivata este zero: f(x)=0x 1, x 2 ,...

3. Determinați afilierea punctelor X 1 ,X 2 , … segment [ o; b]: lasa x 1o;b, A x 2o;b .

Chiar și funcție.

Chiar este o funcție al cărei semn nu se schimbă atunci când semnul se schimbă x.

x egalitatea este valabilă f(–x) = f(x). Semn x nu afectează semnul y.

Graficul unei funcții pare este simetric față de axa de coordonate (Fig. 1).

Exemple de funcție pare:

y=cos x

y = x 2

y = –x 2

y = x 4

y = x 6

y = x 2 + x

Explicaţie:
Să luăm funcția y = x 2 sau y = –x 2 .
Pentru orice valoare x functia este pozitiva. Semn x nu afectează semnul y. Graficul este simetric față de axa de coordonate. Acest chiar funcția.

Funcție ciudată.

Ciudat este o funcție al cărei semn se schimbă atunci când semnul se schimbă x.

Cu alte cuvinte, pentru orice valoare x egalitatea este valabilă f(–x) = –f(x).

Graficul unei funcții impare este simetric față de origine (Fig. 2).

Exemple de funcții impare:

y= păcat x

y = x 3

y = –x 3

Explicaţie:

Să luăm funcția y = – x 3 .
Toate semnificațiile la va avea semnul minus. Acesta este un semn x influențează semnul y. Dacă variabila independentă este număr pozitiv, atunci funcția este pozitivă, dacă variabila independentă este un număr negativ, atunci funcția este negativă: f(–x) = –f(x).
Graficul funcției este simetric față de origine. Aceasta este o funcție ciudată.

Proprietățile funcțiilor pare și impare:

NOTA:

Nu toate funcțiile sunt pare sau impare. Există funcții care nu se supun unei astfel de gradații. De exemplu, funcția rădăcină la = √X nu se aplică funcțiilor pare sau impare (Fig. 3). Atunci când enumerați proprietățile unor astfel de funcții, trebuie oferită o descriere adecvată: nici par, nici impar.

Funcții periodice.

După cum știți, periodicitatea este repetarea anumitor procese la un anumit interval. Funcțiile care descriu aceste procese sunt numite funcții periodice. Adică acestea sunt funcții în ale căror grafice există elemente care se repetă la anumite intervale numerice.

Ascundeți afișarea

Metode pentru specificarea unei funcții

Fie funcția dată de formula: y=2x^(2)-3. Prin atribuirea oricăror valori variabilei independente x, puteți calcula, folosind această formulă, valorile corespunzătoare ale variabilei dependente y. De exemplu, dacă x=-0,5, atunci, folosind formula, aflăm că valoarea corespunzătoare a lui y este y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5.

Luând orice valoare luată de argumentul x în formula y=2x^(2)-3, puteți calcula o singură valoare a funcției care îi corespunde. Funcția poate fi reprezentată sub formă de tabel:

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

Folosind acest tabel, puteți vedea că pentru valoarea argumentului −1 va corespunde valoarea funcției −3; iar valoarea x=2 va corespunde cu y=0 etc. De asemenea, este important de știut că fiecare valoare de argument din tabel corespunde unei singure valori de funcție.

Mai multe funcții pot fi specificate folosind grafice. Cu ajutorul graficului se stabilește cu ce valoare a funcției se corelează o anumită valoare x. Cel mai adesea, aceasta va fi o valoare aproximativă a funcției.

Funcția pară și impară

Funcția este chiar funcția, când f(-x)=f(x) pentru orice x din domeniul definiției. O astfel de funcție va fi simetrică față de axa Oy.

Funcția este funcţie ciudată, când f(-x)=-f(x) pentru orice x din domeniul definiției. O astfel de funcție va fi simetrică față de originea O (0;0) .

Funcția este nici măcar, nici ciudat si se numeste functia generala, când nu are simetrie față de axă sau origine.

Să examinăm următoarea funcție pentru paritate:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) cu un domeniu de definiție simetric relativ la origine. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Aceasta înseamnă că funcția f(x)=3x^(3)-7x^(7) este impară.

Funcția periodică

O funcție y=f(x) în domeniul căreia egalitatea f(x+T)=f(x-T)=f(x) este valabilă pentru orice x este numită functie periodica cu perioada T \neq 0 .

Repetând graficul unei funcții pe orice segment al axei x care are lungimea T.

Intervalele în care funcția este pozitivă, adică f(x) > 0, sunt segmente ale axei absciselor care corespund punctelor graficului funcției situate deasupra axei absciselor.

f(x) > 0 pe (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Intervale în care funcția este negativă, adică f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Funcție limitată

Mărginit de jos Se obișnuiește să se numească o funcție y=f(x), x \in X când există un număr A pentru care inegalitatea f(x) \geq A este valabilă pentru orice x \in X .

Un exemplu de funcție mărginită de mai jos: y=\sqrt(1+x^(2)) deoarece y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 pentru orice x .

Mărginit de sus se apelează o funcție y=f(x), x \in X când există un număr B pentru care inegalitatea f(x) \neq B este valabilă pentru orice x \in X .

Un exemplu de funcție mărginită mai jos: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] deoarece y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 pentru orice x \in [-1;1] .

Limitat Se obișnuiește să se apeleze o funcție y=f(x), x \in X când există un număr K > 0 pentru care inegalitatea \left | f(x)\dreapta | \neq K pentru orice x \in X .

Un exemplu de funcție limitată: y=\sin x este limitată pe toată axa numerelor, deoarece \left | \sin x \right | \neq 1.

Funcția de creștere și scădere

Se obișnuiește să se vorbească despre o funcție care crește pe intervalul luat în considerare ca functie de crestere când valoare mai mare x va corespunde unei valori mai mari a funcției y=f(x) . Rezultă că luând două valori arbitrare ale argumentului x_(1) și x_(2) din intervalul luat în considerare, cu x_(1) > x_(2) , rezultatul va fi y(x_(1)) > y(x_(2)).

Se numește o funcție care scade pe intervalul luat în considerare funcția descrescătoare când o valoare mai mare a lui x corespunde unei valori mai mici a funcției y(x) . Rezultă că, luând din intervalul luat în considerare două valori arbitrare ale argumentului x_(1) și x_(2) și x_(1) > x_(2) , rezultatul va fi y(x_(1))< y(x_{2}) .

Funcția Rădăcini Se obișnuiește să se numească punctele în care funcția F=y(x) intersectează axa absciselor (se obțin ca urmare a rezolvării ecuației y(x)=0).

a) Dacă pentru x > 0 o funcție pară crește, atunci ea scade pentru x< 0

b) Când o funcție pară scade la x > 0, atunci crește la x< 0

c) Când o funcție impară crește la x > 0, atunci crește și la x< 0

d) Când o funcție impară scade pentru x > 0, atunci va scădea și pentru x< 0

Extreme ale funcției

Punctul minim al funcției y=f(x) se numește de obicei un punct x=x_(0) a cărui vecinătate va avea alte puncte (cu excepția punctului x=x_(0)), iar pentru acestea inegalitatea f(x) > f va fi atunci satisfăcut (x_(0)) . y_(min) - desemnarea funcției în punctul min.

Punctul maxim al funcției y=f(x) se numește de obicei un punct x=x_(0) a cărui vecinătate va avea alte puncte (cu excepția punctului x=x_(0)), iar pentru ele inegalitatea f(x) va fi apoi satisfăcută< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Condiție prealabilă

Conform teoremei lui Fermat: f"(x)=0 când funcția f(x) care este derivabilă în punctul x_(0) va avea un extrem în acest punct.

Stare suficientă

Când derivata își schimbă semnul de la plus la minus, atunci x_(0) va fi punctul minim;
x_(0) - va fi un punct maxim doar atunci când derivata își schimbă semnul din minus în plus la trecerea prin punctul staționar x_(0) .

Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții dintr-un interval

Etape de calcul:

Se caută derivata f"(x);
Se găsesc punctele staţionare şi critice ale funcţiei şi se selectează cele aparţinând segmentului;
Valorile funcției f(x) se găsesc în punctele și capetele staționare și critice ale segmentului. Cel mai mic dintre rezultatele obținute va fi cea mai mică valoare a funcției, și mai mult - cel mai mare.

Conversia graficelor.

Descrierea verbală a funcției.

Metoda grafică.

Metoda grafică de specificare a unei funcții este cea mai vizuală și este adesea folosită în tehnologie. ÎN analiză matematică Metoda grafică de specificare a funcțiilor este folosită ca ilustrație.

Graficul funcției f este mulțimea tuturor punctelor (x;y) ale planului de coordonate, unde y=f(x) și x „parcurge” întregul domeniu de definire al acestei funcții.

O submulțime a planului de coordonate este un grafic al unei funcții dacă nu are mai mult de un punct comun cu orice dreaptă paralelă cu axa Oy.

Exemplu. Cifrele de mai jos sunt grafice ale funcțiilor?

Avantaj sarcină grafică este vizibilitatea lui. Puteți vedea imediat cum se comportă funcția, unde crește și unde scade. Din grafic puteți recunoaște imediat câteva caracteristici importante funcții.

În general, metodele analitice și grafice de definire a unei funcții merg mână în mână. Lucrul cu formula ajută la construirea unui grafic. Iar graficul sugerează adesea soluții pe care nici măcar nu le-ai observa în formulă.

Aproape orice student cunoaște cele trei moduri de a defini o funcție la care tocmai ne-am uitat.

Să încercăm să răspundem la întrebarea: „Există alte modalități de a specifica o funcție?”

Există o astfel de cale.

Funcția poate fi specificată fără ambiguitate în cuvinte.

De exemplu, funcția y=2x poate fi specificată prin următoarea descriere verbală: fiecare valoare reală a argumentului x este asociată cu valoarea sa dublă. Se stabilește regula, se specifică funcția.

Mai mult, puteți specifica verbal o funcție care este extrem de dificil, dacă nu imposibil, de definit folosind o formulă.

De exemplu: fiecare valoare a argumentului natural x este asociată cu suma cifrelor care alcătuiesc valoarea lui x. De exemplu, dacă x=3, atunci y=3. Dacă x=257, atunci y=2+5+7=14. Și așa mai departe. Este problematic să scrieți acest lucru într-o formulă. Dar este ușor să faci un semn.

Metoda descrierii verbale este o metodă destul de rar folosită. Dar uneori o face.

Dacă există o lege a corespondenței unu-la-unu între x și y, atunci există o funcție. Ce lege, în ce formă este exprimată - o formulă, o tabletă, un grafic, cuvinte - nu schimbă esența materiei.

Să luăm în considerare funcțiile ale căror domenii de definiție sunt simetrice față de origine, i.e. pentru oricine X din domeniul definiției numărului (- X) aparține și domeniului definiției. Printre aceste funcții se numără par și impar.

Definiţie. Se apelează funcția f chiar, dacă pentru vreunul X din domeniul său de definire

Exemplu. Luați în considerare funcția

Este chiar. Să verificăm.

Pentru oricine X egalitățile sunt satisfăcute

Astfel, ambele condiții sunt îndeplinite, ceea ce înseamnă că funcția este egală. Mai jos este un grafic al acestei funcții.

Definiţie. Se apelează funcția f ciudat, dacă pentru vreunul X din domeniul său de definire

Exemplu. Luați în considerare funcția

Este ciudat. Să verificăm.

Domeniul de definiție este întreaga axă numerică, ceea ce înseamnă că este simetrică față de punctul (0;0).