Grad cu exemple de exponent natural. Proprietăți ale gradelor, formulări, dovezi, exemple

Formula de mai jos va fi definiția grade cu exponent natural(a este baza puterii și a factorului de repetare, iar n este exponentul, care arată de câte ori se repetă factorul):

Această expresie înseamnă că puterea unui număr a cu exponent natural n este produsul a n factori, în ciuda faptului că fiecare dintre factori este egal cu a.

17^5=17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17=1\,419\,857

17 - gradul de bază,

5 - exponent,

1419857 — valoarea gradului.

O putere cu exponent zero este egală cu 1, cu condiția ca a\neq 0:

a^0=1.

De exemplu: 2^0=1

Când să scrieți număr mare se folosesc de obicei puteri de 10.

De exemplu, unul dintre cei mai vechi dinozauri de pe Pământ a trăit acum aproximativ 280 de milioane de ani. Vârsta lui se scrie astfel: 2,8 \cdot 10^8 .

Fiecare număr mai mare de 10 poate fi scris ca \cdot 10^n , cu condiția ca 1< a < 10 и n является положительным целым числом . Такую запись называют forma standard a numărului.

Exemple de astfel de numere: 6978=6,978 \cdot 10^3, 569000=5,69 \cdot 10^5.

Puteți spune atât „a la puterea a n-a”, cât și „puterea a n-a a numărului a” și „a la puterea a n-a”.

4^5 - „patru la puterea lui 5” sau „4 la puterea a cincea” sau puteți spune și „a cincea putere a lui 4”

În acest exemplu, 4 este baza și 5 este exponentul.

Să dăm acum un exemplu cu fracții și numere negative. Pentru a evita confuzia, se obișnuiește să se noteze alte motive decât numere naturale, între paranteze:

(7,38)^2 , \left(\frac 12 \right)^7, (-1)^4 etc.

Observați și diferența:

(-5)^6 - înseamnă puterea unui număr negativ −5 cu un exponent natural de 6.

5^6 - corespunde numărului opus 5^6.

Proprietățile puterilor cu exponent natural

Proprietatea de bază a gradului

a^n \cdot a^k = a^(n+k)

Baza rămâne aceeași, dar se adaugă exponenții.

De exemplu: 2^3 \cdot 2^2 = 2^(3+2)=2^5

Proprietatea puterilor câte cu aceleași baze

a^n: a^k=a^(n-k), dacă n > k.

Se scad exponenții, dar baza rămâne aceeași.

Această restricție n > k este introdusă pentru a nu depăși exponenții naturali. Într-adevăr, pentru n > k exponentul a^(n-k) va fi un număr natural, altfel va fi fie un număr negativ (k< n ), либо нулем (k-n ).

De exemplu: 2^3: 2^2 = 2^(3-2)=2^1

Proprietatea de a ridica o putere la o putere

(a^n)^k=a^(nk)

Baza rămâne aceeași, doar exponenții sunt înmulțiți.

De exemplu: (2^3)^6 = 2^(3 \cdot 6)=2^(18)

Proprietatea de exponentiare a unui produs

Fiecare factor este ridicat la puterea n.

a^n \cdot b^n = (ab)^n

De exemplu: 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3=6^3

Proprietatea de exponențiere a unei fracții

\frac(a^n)(b^n)=\left(\frac(a)(b) \right) ^n, b \neq 0

Atât numărătorul, cât și numitorul unei fracții sunt ridicate la o putere. \left(\frac(2)(5) \right)^3=\frac(2^3)(5^3)=\frac(8)(125)

Este evident că numerele cu puteri pot fi adăugate ca și alte cantități , prin adăugarea lor una după alta cu semnele lor.

Deci, suma a 3 și b 2 este a 3 + b 2.
Suma a 3 - b n și h 5 - d 4 este a 3 - b n + h 5 - d 4.

Cote grade egale de variabile identice poate fi adunat sau scazut.

Deci, suma lui 2a 2 și 3a 2 este egală cu 5a 2.

De asemenea, este evident că dacă luați două pătrate a, sau trei pătrate a sau cinci pătrate a.

Dar grade variabile variateŞi diverse grade variabile identice, trebuie compuse prin adăugarea lor cu semnele lor.

Deci, suma a 2 și a 3 este suma a 2 + a 3.

Este evident că pătratul lui a și cubul lui a nu este egal cu dublul pătratului lui a, ci cu dublul cubului lui a.

Suma a 3 b n și 3a 5 b 6 este a 3 b n + 3a 5 b 6.

Scădere puterile se desfășoară în același mod ca și adunarea, cu excepția faptului că semnele subtraendelor trebuie schimbate în mod corespunzător.

Sau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Înmulțirea puterilor

Numerele cu puteri pot fi înmulțite, ca și alte mărimi, scriindu-le una după alta, cu sau fără semn de înmulțire între ele.

Astfel, rezultatul înmulțirii a 3 cu b 2 este a 3 b 2 sau aaabb.

Sau:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultatul din ultimul exemplu poate fi ordonat prin adăugarea de variabile identice.
Expresia va lua forma: a 5 b 5 y 3.

Comparând mai multe numere (variabile) cu puteri, putem vedea că dacă oricare două dintre ele sunt înmulțite, atunci rezultatul este un număr (variabilă) cu o putere egală cu cantitate grade de termeni.

Deci, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Aici 5 este puterea rezultatului înmulțirii, egală cu 2 + 3, suma puterilor termenilor.

Deci, a n .a m = a m+n .

Pentru a n, a este luat ca factor de atâtea ori cât puterea lui n;

Și a m este luat ca factor de câte ori este egal cu gradul m;

De aceea, puterile cu aceleași baze pot fi înmulțite prin adăugarea exponenților puterilor.

Deci, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Și x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Sau:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Înmulțiți (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Răspuns: x 4 - y 4.
Înmulțiți (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Această regulă este valabilă și pentru numerele ai căror exponenți sunt negativ.

1. Deci, a -2 .a -3 = a -5 . Aceasta poate fi scrisă ca (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Dacă a + b sunt înmulțiți cu a - b, rezultatul va fi a 2 - b 2: adică

Rezultatul înmulțirii sumei sau diferenței a două numere este egal cu suma sau diferența pătratelor lor.

Dacă înmulțiți suma și diferența a două numere ridicate la pătrat, rezultatul va fi egal cu suma sau diferența acestor numere în patrulea grade.

Deci, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Împărțirea gradelor

Numerele cu puteri pot fi împărțite ca și alte numere, prin scăderea din dividend sau prin plasarea lor sub formă de fracție.

Astfel, a 3 b 2 împărțit la b 2 este egal cu a 3.

Sau:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Scrierea unui 5 împărțit la 3 arată ca $\frac(a^5)(a^3)$. Dar acesta este egal cu un 2. Într-o serie de numere
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
orice număr poate fi împărțit la altul, iar exponentul va fi egal cu diferenţă indicatori ai numerelor divizibile.

La împărțirea gradelor cu aceeași bază, exponenții acestora sunt scăzuți..

Deci, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Adică $\frac(yyy)(yy) = y$.

Și a n+1:a = a n+1-1 = a n . Adică $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Sau:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Regula este valabilă și pentru numerele cu negativ valori ale gradelor.
Rezultatul împărțirii a -5 la a -3 este a -2.
De asemenea, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 sau $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Este necesar să stăpânești foarte bine înmulțirea și împărțirea puterilor, deoarece astfel de operații sunt foarte utilizate în algebră.

Exemple de rezolvare a exemplelor cu fracții care conțin numere cu puteri

1. Reduceți exponenții cu $\frac(5a^4)(3a^2)$ Răspuns: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Scădeți exponenții cu $\frac(6x^6)(3x^5)$. Răspuns: $\frac(2x)(1)$ sau 2x.

3. Reduceți exponenții a 2 /a 3 și a -3 /a -4 și aduceți la un numitor comun.
a 2 .a -4 este a -2 primul numărător.
a 3 .a -3 este a 0 = 1, al doilea numărător.
a 3 .a -4 este a -1 , numărătorul comun.
După simplificare: a -2 /a -1 și 1/a -1 .

4. Reduceți exponenții 2a 4 /5a 3 și 2 /a 4 și aduceți la un numitor comun.
Răspuns: 2a 3 /5a 7 și 5a 5 /5a 7 sau 2a 3 /5a 2 și 5/5a 2.

5. Înmulțiți (a 3 + b)/b 4 cu (a - b)/3.

6. Înmulțiți (a 5 + 1)/x 2 cu (b 2 - 1)/(x + a).

7. Înmulțiți b 4 /a -2 cu h -3 /x și a n /y -3 .

8. Împărțiți un 4 /y 3 la un 3 /y 2 . Raspuns: a/a.

9. Împărțiți (h 3 - 1)/d 4 la (d n + 1)/h.

Nivel de intrare

Gradul și proprietățile sale. Ghidul cuprinzător (2019)

De ce sunt necesare diplome? Unde vei avea nevoie de ele? De ce ar trebui să-ți faci timp să le studiezi?

Pentru a afla totul despre diplome, pentru ce sunt acestea, cum să vă folosiți cunoștințele viata de zi cu zi citeste acest articol.

Și, desigur, cunoașterea diplomelor vă va aduce mai aproape de succes trecând de OGE sau examenul de stat unificat și admiterea la universitatea visurilor tale.

Hai să mergem... (Hai să mergem!)

Notă importantă! Dacă vedeți gobbledygook în loc de formule, ștergeți memoria cache. Pentru a face acest lucru, apăsați CTRL+F5 (pe Windows) sau Cmd+R (pe Mac).

NIVEL DE ENTRARE

Exponentiația este o operație matematică la fel ca adunarea, scăderea, înmulțirea sau împărțirea.

Acum voi explica totul în limbajul uman în foarte exemple simple. Atenție. Exemplele sunt elementare, dar explică lucruri importante.

Să începem cu adăugarea.

Nu este nimic de explicat aici. Știți deja totul: suntem opt. Fiecare persoană are două sticle de cola. Câtă cola este? Așa este - 16 sticle.

Acum înmulțirea.

Același exemplu cu cola poate fi scris diferit: . Matematicienii sunt oameni vicleni și leneși. Ei observă mai întâi unele modele, apoi găsesc o modalitate de a le „număra” mai repede. În cazul nostru, au observat că fiecare dintre cele opt persoane avea același număr de sticle de cola și au venit cu o tehnică numită înmulțire. De acord, este considerat mai ușor și mai rapid decât.

Deci, pentru a număra mai repede, mai ușor și fără erori, trebuie doar să vă amintiți masa înmulțirii. Desigur, poți face totul mai încet, mai greu și cu greșeli! Dar…

Iată tabla înmulțirii. Repeta.

Și încă unul, mai frumos:

Cu ce ​​alte trucuri inteligente de numărare au venit matematicienii leneși? corect - ridicarea unui număr la o putere.

Ridicarea unui număr la o putere

Dacă trebuie să înmulțiți un număr cu el însuși de cinci ori, atunci matematicienii spun că trebuie să ridicați acel număr la puterea a cincea. De exemplu, . Matematicienii își amintesc că puterea doi la a cincea este... Și rezolvă astfel de probleme în capul lor - mai rapid, mai ușor și fără greșeli.

Tot ce trebuie să faci este amintiți-vă ce este evidențiat cu culoare în tabelul puterilor numerelor. Crede-mă, asta îți va face viața mult mai ușoară.

Apropo, de ce se numește gradul doi? pătrat numere, iar al treilea - cub? Ce înseamnă? Foarte buna intrebare. Acum veți avea atât pătrate, cât și cuburi.

Exemplul #1 din viața reală

Să începem cu pătratul sau cu a doua putere a numărului.

Imaginați-vă o piscină pătrată care măsoară un metru pe un metru. Piscina este la casa ta. E cald și îmi doresc foarte mult să înot. Dar... piscina nu are fund! Trebuie să acoperiți fundul piscinei cu gresie. De câte plăci ai nevoie? Pentru a determina acest lucru, trebuie să cunoașteți zona de jos a piscinei.

Puteți calcula pur și simplu arătând cu degetul că fundul piscinei este format din cuburi metru cu metru. Dacă aveți plăci de un metru cu un metru, veți avea nevoie de bucăți. E ușor... Dar unde ai văzut astfel de plăci? Tigla va fi cel mai probabil cm cu cm Și apoi vei fi torturat „numărând cu degetul”. Atunci trebuie să te înmulți. Așadar, pe o parte a fundului piscinei vom potrivi plăci (bucăți) și pe cealaltă, de asemenea, gresie. Înmulțiți cu și obțineți plăci ().

Ați observat că pentru a determina suprafața fundului piscinei am înmulțit același număr de la sine? Ce înseamnă? Deoarece înmulțim același număr, putem folosi tehnica „exponențiării”. (Desigur, atunci când ai doar două numere, mai trebuie să le înmulți sau să le ridici la o putere. Dar dacă ai multe dintre ele, atunci ridicarea lor la o putere este mult mai ușor și sunt, de asemenea, mai puține erori în calcule . Pentru examenul de stat unificat, acest lucru este foarte important).
Deci, treizeci la a doua putere va fi (). Sau putem spune că treizeci de pătrați vor fi. Cu alte cuvinte, a doua putere a unui număr poate fi întotdeauna reprezentată ca un pătrat. Și invers, dacă vezi un pătrat, acesta este ÎNTOTDEAUNA a doua putere a unui număr. Un pătrat este o imagine a celei de-a doua puteri a unui număr.

Exemplul #2 din viața reală

Iată o sarcină pentru tine: numără câte pătrate sunt pe tabla de șah folosind pătratul numărului... Pe o parte a celulelor și pe cealaltă. Pentru a calcula numărul lor, trebuie să înmulțiți opt cu opt sau... dacă observați că o tablă de șah este un pătrat cu o latură, atunci puteți pătra opt. Vei primi celule. () Deci?

Exemplul #3 din viața reală

Acum cubul sau a treia putere a unui număr. Aceeași piscină. Dar acum trebuie să aflați câtă apă va trebui turnată în această piscină. Trebuie să calculați volumul. (Volumele și lichidele, apropo, sunt măsurate în metri cubi. Neașteptat, nu?) Desenați o piscină: un fund care măsoară un metru și o adâncime de un metru și încercați să numărați câte cuburi care măsoară un metru pe un metru vor încăpea în piscina dvs.

Doar arată cu degetul și numără! Unu, doi, trei, patru... douăzeci și doi, douăzeci și trei... Câți ai primit? Nu ai pierdut? E greu să numeri cu degetul? Asta este! Luați un exemplu de la matematicieni. Sunt leneși, așa că au observat că, pentru a calcula volumul piscinei, trebuie să-i înmulțiți lungimea, lățimea și înălțimea între ele. În cazul nostru, volumul bazinului va fi egal cu cuburi... Mai ușor, nu?

Acum imaginați-vă cât de leneși și vicleni sunt matematicienii dacă ar simplifica și asta. Am redus totul la o singură acțiune. Au observat că lungimea, lățimea și înălțimea sunt egale și că același număr se înmulțește cu el însuși... Ce înseamnă asta? Asta înseamnă că poți profita de grad. Deci, ceea ce ați numărat cândva cu degetul, ei fac într-o singură acțiune: trei cuburi sunt egali. Este scris astfel: .

Tot ce rămâne este amintiți-vă tabelul gradelor. Dacă, desigur, nu ești la fel de leneș și viclean ca matematicienii. Dacă îți place să muncești din greu și să faci greșeli, poți continua să numeri cu degetul.

Ei bine, pentru a te convinge în sfârșit că diplomele au fost inventate de cei care au renunțat și de oameni vicleni pentru a le rezolva pe ale lor probleme de viata, și nu pentru a vă crea probleme, iată încă câteva exemple din viață.

Exemplul din viața reală #4

Ai un milion de ruble. La începutul fiecărui an, pentru fiecare milion pe care îl câștigi, faci încă un milion. Adică, fiecare milion de ai tăi se dublează la începutul fiecărui an. Câți bani vei avea peste ani? Dacă stai acum și „numărați cu degetul”, atunci ești o persoană foarte muncitoare și... proastă. Dar cel mai probabil vei da un răspuns în câteva secunde, pentru că ești inteligent! Deci, în primul an - doi înmulțiți cu doi... în al doilea an - ce s-a întâmplat, cu încă doi, în al treilea an... Stop! Ai observat că numărul se înmulțește de ori cu el însuși. Deci doi la a cincea putere este un milion! Acum imaginați-vă că aveți o competiție și cel care poate număra cel mai repede va primi aceste milioane... Merită să vă amintiți puterile numerelor, nu crezi?

Exemplul #5 din viața reală

Ai un milion. La începutul fiecărui an, pentru fiecare milion pe care îl câștigi, mai câștigi două. Grozav nu? Fiecare milion este triplat. Câți bani vei avea într-un an? Să numărăm. Primul an - înmulțiți cu, apoi rezultatul cu altul... Este deja plictisitor, pentru că ați înțeles deja totul: trei se înmulțesc de la sine ori. Deci la a patra putere este egal cu un milion. Trebuie doar să vă amintiți că trei până la a patra putere este sau.

Acum știi că, ridicând un număr la o putere, îți vei face viața mult mai ușoară. Să aruncăm o privire mai departe la ce poți face cu diplome și ce trebuie să știi despre ele.

Termeni și concepte... ca să nu se încurce

Deci, mai întâi, să definim conceptele. crezi ce este un exponent? Este foarte simplu - este numărul care se află „în partea de sus” a puterii numărului. Nu științific, dar clar și ușor de reținut...

Ei bine, în același timp, ce o astfel de bază de grad? Și mai simplu - acesta este numărul care se află mai jos, la bază.

Iată un desen pentru o măsură bună.

Păi înăuntru vedere generală, pentru a generaliza și a reține mai bine... Un grad cu o bază „ ” și un exponent „ ” se citește „la grad” și se scrie astfel:

Puterea unui număr cu exponent natural

Probabil ați ghicit deja: pentru că exponentul este un număr natural. Da, dar ce este număr natural? Elementar! Numerele naturale sunt acele numere care sunt folosite la numărare la enumerarea obiectelor: unu, doi, trei... Când numărăm obiecte, nu spunem: „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte”. De asemenea, nu spunem: „o treime” sau „zero virgulă cinci”. Acestea nu sunt numere naturale. Ce numere crezi că sunt acestea?

Se referă numere precum „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte”. numere întregi.În general, numerele întregi includ toate numerele naturale, numerele opuse numerelor naturale (adică luate cu semnul minus) și numărul. Zero este ușor de înțeles - este atunci când nu există nimic. Ce înseamnă numerele negative („minus”)? Dar au fost inventate în primul rând pentru a indica datorii: dacă aveți un sold pe telefon în ruble, aceasta înseamnă că datorați ruble operatorului.

Toate fracțiile sunt numere raționale. Cum au apărut, crezi? Foarte simplu. Cu câteva mii de ani în urmă, strămoșii noștri au descoperit că le lipsesc numerele naturale care să măsoare lungimea, greutatea, suprafața etc. Și au venit cu numere raționale... Interesant, nu-i așa?

Există și numere iraționale. Care sunt aceste numere? Pe scurt, nesfârșit zecimal. De exemplu, dacă împărțiți circumferința unui cerc la diametrul acestuia, obțineți un număr irațional.

Relua:

Să definim conceptul de grad al cărui exponent este un număr natural (adică, întreg și pozitiv).

1. Orice număr la prima putere este egal cu el însuși:
2. A pătra un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși:
3. A cubi un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși de trei ori:

Definiţie. A ridica un număr la o putere naturală înseamnă a înmulți numărul cu el însuși de ori:
.

Proprietățile grade

De unde au venit aceste proprietăți? Îți arăt acum.

Să vedem: ce este Şi ?

Prin definiție:

Câți multiplicatori există în total?

Este foarte simplu: am adăugat multiplicatori la factori, iar rezultatul au fost multiplicatori.

Dar, prin definiție, aceasta este o putere a unui număr cu un exponent, adică: , care este ceea ce trebuia demonstrat.

Exemplu: Simplificați expresia.

Soluţie:

Exemplu: Simplificați expresia.

Soluţie: Este important de reținut că în regula noastră Neapărat trebuie sa fie aceleasi motive!
Prin urmare, combinăm puterile cu baza, dar rămâne un factor separat:

numai pentru produsul puterilor!

Sub nicio formă nu poți scrie asta.

2. asta e puterea unui număr

La fel ca în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:

Se dovedește că expresia este înmulțită cu ea însăși ori, adică, conform definiției, aceasta este puterea a treia a numărului:

În esență, aceasta poate fi numită „scoaterea indicatorului din paranteze”. Dar nu poți face niciodată asta în total:

Să ne amintim de formulele de înmulțire prescurtate: de câte ori am vrut să scriem?

Dar acest lucru nu este adevărat, până la urmă.

Putere cu bază negativă

Până în acest punct, am discutat doar care ar trebui să fie exponentul.

Dar care ar trebui să fie baza?

În puteri de indicator natural baza poate fi orice număr. Într-adevăr, putem înmulți orice numere unul cu celălalt, fie ele pozitive, negative sau chiar.

Să ne gândim ce semne ("" sau "") vor avea puteri ale numerelor pozitive și negative?

De exemplu, numărul este pozitiv sau negativ? O? ? Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive am înmulți unul cu celălalt, rezultatul va fi pozitiv.

Dar cele negative sunt puțin mai interesante. Ne amintim de regula simplă din clasa a VI-a: „minus pentru minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă înmulțim cu, funcționează.

Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Te-ai descurcat?

Iată răspunsurile: În primele patru exemple, sper că totul este clar? Pur și simplu ne uităm la bază și exponent și aplicăm regula corespunzătoare.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

În exemplul 5), totul nu este atât de înfricoșător pe cât pare: la urma urmei, nu contează cu ce este egală baza - gradul este egal, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv.

Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Baza nu este egală, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu!

6 exemple de exersat

Analiza soluției 6 exemple

Dacă ignorăm a opta putere, ce vedem aici? Să ne amintim de programul de clasa a VII-a. Deci, îți amintești? Aceasta este formula de înmulțire prescurtată și anume diferența de pătrate! Primim:

Să ne uităm cu atenție la numitor. Seamănă foarte mult cu unul dintre factorii numărători, dar ce este în neregulă? Ordinea termenilor este greșită. Dacă ar fi inversate, regula s-ar putea aplica.

Dar cum să faci asta? Se dovedește că este foarte ușor: aici ne ajută gradul par al numitorului.

În mod magic, termenii și-au schimbat locurile. Acest „fenomen” se aplică oricărei expresii într-un grad egal: putem schimba cu ușurință semnele din paranteze.

Dar este important de reținut: toate semnele se schimbă în același timp!

Să revenim la exemplu:

Și din nou formula:

Întreg numim numerele naturale, contrariile lor (adică luate cu semnul " ") și numărul.

întreg pozitiv, și nu este diferit de natural, atunci totul arată exact ca în secțiunea anterioară.

Acum să ne uităm la cazuri noi. Să începem cu un indicator egal cu.

Orice număr la puterea zero este egal cu unu:

Ca întotdeauna, să ne întrebăm: de ce este așa?

Să luăm în considerare un anumit grad cu o bază. Luați, de exemplu, și înmulțiți cu:

Deci, am înmulțit numărul cu și am obținut același lucru ca și - . Cu ce ​​număr ar trebui să înmulțiți ca să nu se schimbe nimic? Așa e, pe. Mijloace.

Putem face același lucru cu un număr arbitrar:

Să repetăm ​​regula:

Orice număr la puterea zero este egal cu unu.

Dar există excepții de la multe reguli. Și aici este și acolo - acesta este un număr (ca bază).

Pe de o parte, trebuie să fie egal cu orice grad - indiferent cât de mult ai înmulți zero de la sine, vei obține în continuare zero, acest lucru este clar. Dar, pe de altă parte, ca orice număr la puterea zero, trebuie să fie egal. Deci cât de mult din asta este adevărat? Matematicienii au decis să nu se implice și au refuzat să ridice zero la puterea zero. Adică, acum nu putem doar să împărțim la zero, ci și să o ridicăm la puterea zero.

Să mergem mai departe. Pe lângă numerele naturale și numerele, numerele întregi includ și numere negative. Pentru a înțelege ce este o putere negativă, să facem ca data trecută: înmulțim un număr normal cu același număr la o putere negativă:

De aici este ușor să exprimi ceea ce cauți:

Acum să extindem regula rezultată într-un grad arbitrar:

Deci, haideți să formulăm o regulă:

Un număr la o putere negativă este reciproca aceluiași număr la grad pozitiv. Dar în același timp Baza nu poate fi nulă:(pentru că nu poți împărți cu).

Să rezumăm:

I. Expresia nu este definită în cauză. Dacă, atunci.

II. Orice număr la puterea zero este egal cu unu: .

III. Un număr care nu este egal cu zero la o putere negativă este inversul aceluiași număr cu o putere pozitivă: .

Sarcini pentru soluție independentă:

Ei bine, ca de obicei, exemple pentru soluții independente:

Analiza problemelor pentru rezolvare independentă:

Știu, știu, cifrele sunt înfricoșătoare, dar la examenul de stat unificat trebuie să fii pregătit pentru orice! Rezolvă aceste exemple sau analizează-le soluțiile dacă nu le-ai putut rezolva și vei învăța să le faci față cu ușurință la examen!

Să continuăm să extindem gama de numere „adecvate” ca exponent.

Acum să luăm în considerare numere raționale. Ce numere se numesc raționale?

Răspuns: tot ceea ce poate fi reprezentat ca o fracție, unde și sunt numere întregi și.

Pentru a înțelege ce este "grad fractionar", luați în considerare fracția:

Să ridicăm ambele părți ale ecuației la o putere:

Acum să ne amintim regula despre "grad la grad":

Ce număr trebuie ridicat la o putere pentru a obține?

Această formulare este definiția rădăcinii gradului al treilea.

Permiteți-mi să vă reamintesc: rădăcina puterii-a a unui număr () este un număr care, atunci când este ridicat la o putere, este egal cu.

Adică rădăcina puterii-a este operația inversă de ridicare la o putere: .

Se dovedește că. Evident, acest caz special poate fi extins: .

Acum adăugăm numărătorul: ce este? Răspunsul este ușor de obținut folosind regula putere-la-putere:

Dar baza poate fi orice număr? La urma urmei, rădăcina nu poate fi extrasă din toate numerele.

Nici unul!

Să ne amintim regula: orice număr ridicat la o putere pară este un număr pozitiv. Adică, este imposibil să extragi chiar și rădăcini din numere negative!

Aceasta înseamnă că astfel de numere nu pot fi ridicate la o putere fracțională cu un numitor par, adică expresia nu are sens.

Dar expresia?

Dar aici apare o problemă.

Un număr poate fi reprezentat ca alte fracții reductibile, de exemplu, sau.

Și se dovedește că există, dar nu există, dar acestea sunt doar două înregistrări diferite ale aceluiași număr.

Sau un alt exemplu: o dată, atunci îl poți nota. Dar dacă notăm indicatorul diferit, vom avea din nou probleme: (adică am obținut un rezultat complet diferit!).

Pentru a evita astfel de paradoxuri, luăm în considerare numai exponent de bază pozitiv cu exponent fracționar.

Deci dacă:

• — numărul natural;
• - întreg;

Exemple:

Exponenții raționali sunt foarte utili pentru transformarea expresiilor cu rădăcini, de exemplu:

5 exemple de exersat

Analiza a 5 exemple pentru antrenament

Ei bine, acum vine partea cea mai grea. Acum ne vom da seama grad cu exponent irațional.

Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru un grad cu un exponent rațional, cu excepția

La urma urmei, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția celor raționale).

Când studiem grade cu exponenți naturali, întregi și raționali, de fiecare dată am creat o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari.

De exemplu, un grad cu un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori;

...număr la puterea zero- acesta este, așa cum ar fi, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu au început încă să-l înmulțească, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare, rezultatul este doar un anumit „număr gol” , și anume un număr;

...gradul întreg negativ- este ca și cum ar fi avut loc un „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.

Apropo, în știință se folosește adesea o diplomă cu un exponent complex, adică exponentul nu este nici măcar un număr real.

Dar la școală nu ne gândim la astfel de dificultăți, vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.

UNDE SUNTEM SIGURANȚI VOI MERGI! (daca inveti sa rezolvi astfel de exemple :))

De exemplu:

Decideți singuri:

Analiza solutiilor:

1. Să începem cu regula obișnuită pentru ridicarea unei puteri la o putere:

Acum uită-te la indicator. Nu-ți aduce aminte de nimic? Să ne amintim formula pentru înmulțirea prescurtată a diferenței de pătrate:

În acest caz,

Rezultă că:

Răspuns: .

2. Reducem fracțiile în exponenți la aceeași formă: fie ambele zecimale, fie ambele obișnuite. Primim, de exemplu:

Raspuns: 16

3. Nimic special, folosim proprietățile obișnuite ale gradelor:

NIVEL AVANSAT

Determinarea gradului

Un grad este o expresie de forma: , unde:

• — baza gradului;
• - exponent.

Gradul cu indicator natural (n = 1, 2, 3,...)

Ridicarea unui număr la puterea naturală n înseamnă înmulțirea numărului cu el însuși de ori:

Gradul cu un exponent întreg (0, ±1, ±2,...)

Dacă exponentul este întreg pozitiv număr:

Constructii la gradul zero:

Expresia este nedefinită, deoarece, pe de o parte, în orice grad este aceasta, iar pe de altă parte, orice număr până la gradul al treilea este aceasta.

Dacă exponentul este întreg negativ număr:

(pentru că nu poți împărți cu).

Încă o dată despre zerouri: expresia nu este definită în caz. Dacă, atunci.

Exemple:

Putere cu exponent rațional

• — numărul natural;
• - întreg;

Exemple:

Proprietățile grade

Pentru a facilita rezolvarea problemelor, să încercăm să înțelegem: de unde provin aceste proprietăți? Să le dovedim.

Să vedem: ce este și?

Prin definiție:

Deci, în partea dreaptă a acestei expresii obținem următorul produs:

Dar, prin definiție, este o putere a unui număr cu exponent, adică:

Q.E.D.

Exemplu : Simplificați expresia.

Soluţie : .

Exemplu : Simplificați expresia.

Soluţie : Este important de reţinut că în regula noastră Neapărat trebuie să existe aceleași motive. Prin urmare, combinăm puterile cu baza, dar rămâne un factor separat:

Încă un lucru nota importanta: aceasta este regula - numai pentru produs de puteri!

Sub nicio formă nu poți scrie asta.

La fel ca în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:

Să regrupăm această lucrare astfel:

Se dovedește că expresia este înmulțită cu ea însăși ori, adică, conform definiției, aceasta este puterea a treia a numărului:

În esență, aceasta poate fi numită „scoaterea indicatorului din paranteze”. Dar nu poți face niciodată asta în total: !

Să ne amintim de formulele de înmulțire prescurtate: de câte ori am vrut să scriem? Dar acest lucru nu este adevărat, până la urmă.

Putere cu o bază negativă.

Până acum am discutat doar cum ar trebui să fie indicator grade. Dar care ar trebui să fie baza? În puteri de natural indicator baza poate fi orice număr .

Într-adevăr, putem înmulți orice numere unul cu celălalt, fie ele pozitive, negative sau chiar. Să ne gândim ce semne ("" sau "") vor avea grade de numere pozitive și negative?

De exemplu, numărul este pozitiv sau negativ? O? ?

Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive am înmulți unul cu celălalt, rezultatul va fi pozitiv.

Dar cele negative sunt puțin mai interesante. Ne amintim de regula simplă din clasa a VI-a: „minus pentru minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă înmulțim cu (), obținem - .

Și așa mai departe la infinit: cu fiecare înmulțire ulterioară semnul se va schimba. Putem formula următoarele reguli simple:

1. chiar grad, - număr pozitiv.
2. Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
3. Număr pozitivîn orice grad este un număr pozitiv.
4. Zero la orice putere este egal cu zero.

Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Te-ai descurcat? Iată răspunsurile:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

În primele patru exemple, sper că totul este clar? Pur și simplu ne uităm la bază și exponent și aplicăm regula corespunzătoare.

În exemplul 5), totul nu este atât de înfricoșător pe cât pare: la urma urmei, nu contează cu ce este egală baza - gradul este egal, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv. Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Baza nu este egală, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu. Aici trebuie să aflați care este mai puțin: sau? Dacă ne amintim asta, devine clar că, ceea ce înseamnă că baza este mai mică decât zero. Adică aplicăm regula 2: rezultatul va fi negativ.

Și din nou folosim definiția gradului:

Totul este ca de obicei - notăm definiția gradelor și le împărțim unul la altul, le împărțim în perechi și obținem:

Înainte de a ne uita la ultima regulă, să rezolvăm câteva exemple.

Calculați expresiile:

Soluții :

Dacă ignorăm a opta putere, ce vedem aici? Să ne amintim de programul de clasa a VII-a. Deci, îți amintești? Aceasta este formula de înmulțire prescurtată și anume diferența de pătrate!

Primim:

Să ne uităm cu atenție la numitor. Seamănă foarte mult cu unul dintre factorii numărători, dar ce este în neregulă? Ordinea termenilor este greșită. Dacă ar fi inversate, s-ar putea aplica regula 3. Dar cum? Se dovedește că este foarte ușor: gradul par al numitorului ne ajută aici.

Dacă îl înmulți cu, nu se schimbă nimic, nu? Dar acum se dovedește așa:

În mod magic, termenii și-au schimbat locurile. Acest „fenomen” se aplică oricărei expresii într-un grad egal: putem schimba cu ușurință semnele din paranteze. Dar este important de reținut: Toate semnele se schimbă în același timp! Nu îl puteți înlocui cu un singur dezavantaj care nu ne place!

Să revenim la exemplu:

Și din nou formula:

Deci acum ultima regulă:

Cum o vom demonstra? Desigur, ca de obicei: să extindem conceptul de diplomă și să-l simplificăm:

Ei bine, acum să deschidem parantezele. Câte litere sunt în total? ori prin multiplicatori - de ce vă amintește asta? Aceasta nu este altceva decât o definiție a unei operațiuni multiplicare: Erau doar multiplicatori acolo. Adică aceasta, prin definiție, este o putere a unui număr cu un exponent:

Exemplu:

Gradul cu exponent irațional

Pe lângă informații despre grade pentru nivelul mediu, vom analiza gradul cu un exponent irațional. Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru un grad cu exponent rațional, cu excepția - la urma urmei, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică , numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția numerelor raționale).

Când studiem grade cu exponenți naturali, întregi și raționali, de fiecare dată am creat o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari. De exemplu, un grad cu un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori; un număr la puterea zero este, așa cum ar fi, un număr înmulțit cu el însuși ori, adică nu au început încă să-l înmulțească, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare rezultatul este doar un anumit „număr necompletat”, și anume un număr; un grad cu un exponent negativ întreg - este ca și cum ar fi avut loc un „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.

Este extrem de dificil să-ți imaginezi un grad cu un exponent irațional (la fel cum este dificil să-ți imaginezi un spațiu cu 4 dimensiuni). Este mai degrabă un obiect pur matematic pe care matematicienii l-au creat pentru a extinde conceptul de grad la întregul spațiu al numerelor.

Apropo, în știință se folosește adesea o diplomă cu un exponent complex, adică exponentul nu este nici măcar un număr real. Dar la școală nu ne gândim la astfel de dificultăți, vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.

Deci, ce facem dacă vedem un exponent irațional? Facem tot posibilul să scăpăm de ea! :)

De exemplu:

Decideți singuri:

1)

2)

3)

Raspunsuri:

1. Să ne amintim formula diferenței pătratelor. Raspuns: .
2. Reducem fracțiile la aceeași formă: fie ambele zecimale, fie ambele obișnuite. Obținem, de exemplu: .
3. Nimic special, folosim proprietățile obișnuite ale gradelor:

REZUMATUL SECȚIUNII ȘI FORMULELE DE BAZĂ

grad numită expresie de forma: , unde:

Gradul cu un exponent întreg

un grad al cărui exponent este un număr natural (adică, întreg și pozitiv).

Putere cu exponent rațional

grad, al cărui exponent este numerele negative și fracționale.

Gradul cu exponent irațional

un grad al cărui exponent este o fracție zecimală infinită sau rădăcină.

Proprietățile grade

Caracteristicile diplomelor.

• Număr negativ crescut la chiar grad, - număr pozitiv.
• Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
• Un număr pozitiv în orice grad este un număr pozitiv.
• Zero este egal cu orice putere.
• Orice număr până la puterea zero este egal.

ACUM AI CUVÂNTUL...

Cum îți place articolul? Scrie mai jos în comentarii dacă ți-a plăcut sau nu.

Povestește-ne despre experiența ta de utilizare a proprietăților de grad.

Poate ai intrebari. Sau sugestii.

Scrieți în comentarii.

Și mult succes la examene!

Tutorial video 2: Grad cu un indicator natural și proprietățile acestuia

Curs:

Grad cu indicator natural

Sub grad oarecare număr "O" cu vreun indicator "n"înțelege produsul unui număr "O" pe cont propriu "n" dată.

Când vorbim despre un grad cu exponent natural, înseamnă că numărul "n" trebuie să fie întreg și nu negativ.

O- baza gradului, care arată ce număr trebuie înmulțit cu el însuși,

n- exponent - spune de câte ori trebuie înmulțită baza cu ea însăși.

De exemplu:

8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

În acest caz, baza gradului este înțeleasă ca fiind numărul „8”, exponentul gradului este numărul „4”, iar valoarea gradului este numărul „4096”.

Cea mai mare și cea mai frecventă greșeală la calcularea unui grad este înmulțirea exponentului cu bază - ASTA NU ESTE CORECT!

Când vorbim despre un grad cu exponent natural, ne referim la doar exponentul (n) trebuie să fie un număr natural.

Puteți lua orice număr de pe linia numerică ca bază.

De exemplu,

(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

Operația matematică care se efectuează pe bază și exponent se numește exponențiere.

Adunarea\scăderea este o operație matematică a primei etape, înmulțirea\împărțirea este o acțiune a celei de-a doua etape, ridicarea unei puteri este o acțiune matematică a treptei a treia, adică una dintre cele mai mari.

Această ierarhie operatii matematice determină ordinea în calcul. Dacă această acțiune are loc în sarcini dintre cele două anterioare, atunci se face mai întâi.

De exemplu:

15 + 6 *2 2 = 39

În acest exemplu, trebuie mai întâi să ridici 2 la putere, adică

apoi înmulțiți rezultatul cu 6, adică

Un grad cu un exponent natural este folosit nu numai pentru calcule specifice, ci și pentru ușurința înregistrării numere mari. În acest caz, se folosește și conceptul „forma standard a numărului”. Această intrare presupune înmulțirea unui număr de la 1 la 9 cu o putere egală cu 10 cu un anumit exponent.

De exemplu, pentru a înregistra raza Pământului în formă standard, utilizați următoarea notație:

6400000 m = 6,4 * 10 6 m,

iar masa Pământului, de exemplu, este scrisă după cum urmează:

Proprietăți ale gradului

Pentru comoditatea rezolvării exemplelor cu grade, trebuie să cunoașteți proprietățile lor de bază:

1. Dacă trebuie să înmulțiți două puteri care au aceeași bază, atunci în acest caz baza trebuie lăsată neschimbată și exponenții adăugați.

a n * a m = a n+m

De exemplu:

5 2 * 5 4 = 5 6 .

2. Dacă este necesară împărțirea a două grade care au aceleași baze, atunci în acest caz baza trebuie lăsată neschimbată și exponenții scădeți. Vă rugăm să rețineți că pentru operațiunile cu puteri cu exponent natural, exponentul dividendului trebuie să fie mai mare decât exponentul divizorului. În caz contrar, câtul acestei acțiuni va fi un număr cu exponent negativ.

a n / a m = a n-m

De exemplu,

5 4 * 5 2 = 5 2 .

3. Dacă este necesar să ridicați o putere la alta, același număr rămâne baza rezultatului, iar exponenții sunt înmulțiți.

(a n) m = a n*m

De exemplu,

4. Dacă este necesar să ridicați produsul numerelor arbitrare la o anumită putere, atunci puteți utiliza o anumită lege de distribuție, în baza căreia obținem produsul diverse motive in aceeasi masura.

(a * b) m = a m * b m

De exemplu,

(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .

5. O proprietate similară poate fi folosită pentru a împărți puterile, cu alte cuvinte, pentru a ridica un dublu obișnuit la o putere.

(a / b) m = a m / b m

6. Orice număr care este ridicat la un exponent egal cu unu este egal cu numărul inițial.

a 1 = a

De exemplu,

7. Când ridicați orice număr la o putere cu exponentul zero, rezultatul acestui calcul va fi întotdeauna unul.

și 0 = 1

De exemplu,

Scopul principal

Să familiarizeze studenții cu proprietățile grade cu exponenți naturali și să-i învețe cum să efectueze operații cu grade.

Subiectul „Gradul și proprietățile sale” include trei întrebări:

• Determinarea gradului cu un indicator natural.
• Înmulțirea și împărțirea puterilor.
• Exponentiarea produsului si a gradului.

Întrebări de securitate

1. Formulați definiția unui grad cu un exponent natural mai mare decât 1. Dați un exemplu.
2. Formulați definiția gradului cu exponentul 1. Dați un exemplu.
3. Care este ordinea operațiilor la calcularea valorii unei expresii care conține puteri?
4. Formulați principala proprietate a gradului.
5. Da un exemplu.
6. Formulați regula de înmulțire a puterilor cu aceleași baze. Da un exemplu.
7. Formulați o regulă pentru împărțirea puterilor cu aceleași baze. Da un exemplu.
8. Formulați regula de exponențiere a unui produs. Da un exemplu. Demonstrați identitatea (ab) n = a n b n .

Formulați regula pentru ridicarea unei puteri la o putere. Da un exemplu. Demonstrați identitatea (a m) n = a m n .

Definiţia degree. Puterea numărului o n, mai mare decât 1, este produsul a n factori, fiecare dintre care este egal O. Puterea numărului O cu exponentul 1 este numărul însuși O.

Grad cu baza Oși indicator n este scris asa: și n. Se citește „ Oîntr-o măsură n”; „ Puterea a n-a a unui număr O ”.

Prin definiția gradului:

a 4 = a a a a

. . . . . . . . . . . .

Găsirea valorii unei puteri se numește prin exponentiare .

1. Exemple de exponențiere:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. Găsiți semnificațiile expresiilor:

a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000

b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

Opțiunea 1

a) 0,3 0,3 0,3

c) b b b b b b b

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Prezentați numărul ca un pătrat:

3. Prezentați numerele sub formă de cub:

4. Găsiți semnificațiile expresiilor:

c) -1 4 + (-2) 3

d) -4 3 + (-3) 2

e) 100 - 5 2 4

Înmulțirea puterilor.

Pentru orice număr a și numere arbitrare m și n sunt valabile următoarele:

a m a n = a m + n .

Dovada:

Regulă : La înmulțirea puterilor cu aceleași baze, bazele rămân aceleași și se adaugă exponenții puterilor.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 b 5 b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

e) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

a) 2 3 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

Opțiunea 1

1. Prezentați ca diplomă:

a) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4

b) a 6 a 2 g) 3 3 9

c) y 4 y h) 7 4 49

d) a a 8 i) 16 2 7

e) 2 3 2 4 j) 0,3 3 0,09

2. Prezentați ca grad și găsiți valoarea din tabel:

a) 2 2 2 3 c) 8 2 5

b) 3 4 3 2 d) 27 243

Împărțirea gradelor.

Pentru orice număr a0 și numere naturale arbitrare m și n, astfel încât m>n este valabilă următoarele:

a m: a n = a m - n

Dovada:

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

prin definiția coeficientului:

a m: a n = a m - n .

Regulă: La împărțirea puterilor cu aceeași bază, baza rămâne aceeași, iar exponentul divizorului este scăzut din exponentul dividendului.

Definiţie: Puterea unui număr a, diferit de zero, cu exponent zero este egală cu unu:

deoarece a n: a n = 1 la a0.

a) x 4: x 2 = x 4 - 2 = x 2

b) y 8: y 3 = y 8 - 3 = y 5

c) a 7:a = a 7:a 1 = a 7 - 1 = a 6

d) de la 5:de la 0 = de la 5:1 = de la 5

a) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

V)

G)

d)

Opțiunea 1

1. Prezentați coeficientul ca putere:

2. Găsiți semnificațiile expresiilor:

Ridicarea la puterea unui produs.

Pentru orice a și b și un număr natural arbitrar n:

(ab) n = a n b n

Dovada:

Prin definiția gradului

(ab)n=

Grupând separat factorii a și factorii b, obținem:

=

Proprietatea dovedită a puterii unui produs se extinde la puterea produsului a trei sau mai mulți factori.

De exemplu:

(a b c) n = a n b n c n ;

(a b c d) n = a n b n c n d n .

Regulă: Când ridicați un produs la o putere, fiecare factor este ridicat la acea putere și rezultatul este înmulțit.

1. Ridicați la putere:

a) (a b) 4 = a 4 b 4

b) (2 x y) 3 =2 3 x 3 y 3 = 8 x 3 y 3

c) (3 a) 4 = 3 4 a 4 = 81 a 4

d) (-5 y) 3 = (-5) 3 y 3 = -125 y 3

e) (-0,2 x y) 2 = (-0,2) 2 x 2 y 2 = 0,04 x 2 y 2

e) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Găsiți valoarea expresiei:

a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000

b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000= 90000

c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

d) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1

d)

Opțiunea 1

1. Ridicați la putere:

b) (2 a c) 4

e) (-0,1 x y) 3

2. Găsiți valoarea expresiei:

b) (5 7 20) 2

Ridicarea la o putere a unei puteri.

Pentru orice număr a și numere naturale arbitrare m și n:

(a m) n = a m n

Dovada:

Prin definiția gradului

(a m) n =

Regulă: Când ridicați o putere la o putere, baza rămâne aceeași, iar exponenții sunt înmulțiți.

1. Ridicați la putere:

(a 3) 2 = a 6 (x 5) 4 = x 20

(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9

2. Simplificați expresiile:

a) a 3 (a 2) 5 = a 3 a 10 = a 13

b) (b 3) 2 b 7 = b 6 b 7 = b 13

c) (x 3) 2 (x 2) 4 = x 6 x 8 = x 14

d) (y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24

O)

b)

Opțiunea 1

1. Ridicați la putere:

a) (a 4) 2 b) (x 4) 5

c) (y 3) 2 d) (b 4) 4

2. Simplificați expresiile:

a) a 4 (a 3) 2

b) (b 4) 3 b 5+

c) (x 2) 4 (x 4) 3

d) (y 9) 2

3. Găsiți semnificația expresiilor:

Aplicație

Formulați regula pentru ridicarea unei puteri la o putere. Da un exemplu. Demonstrați identitatea (a m) n = a m n .

Opțiunea 2

În primul rând, scrieți produsul ca putere:

a) 0,4 0,4 ​​0,4

c) a a a a a a a a

d) (-y) (-y) (-y) (-y)

e) (bс) (bс) (bс)

2. Prezentați numărul ca un pătrat:

3. Prezentați numerele sub formă de cub:

4. Găsiți semnificațiile expresiilor:

c) -1 3 + (-2) 4

d) -6 2 + (-3) 2

e) 4 5 2 – 100

Opțiunea 3

1. Scrieți produsul ca putere:

a) 0,5 0,5 0,5

c) cu cu cu cu cu cu cu cu cu cu

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Prezentați numărul ca pătrat: 100; 0,49; .

3. Prezentați numerele sub formă de cub:

4. Găsiți semnificațiile expresiilor:

c) -1 5 + (-3) 2

d) -5 3 + (-4) 2

e) 5 4 2 - 100

Opțiunea 4

1. Scrieți produsul ca putere:

a) 0,7 0,7 0,7

c) x x x x x x

d) (-a) (-a) (-a)

e) (bс) (bс) (bс) (bc)

2. Prezentați numărul ca un pătrat:

3. Prezentați numerele sub formă de cub:

4. Găsiți semnificațiile expresiilor:

c) -1 4 + (-3) 3

d) -3 4 + (-5) 2

e) 100 - 3 2 5

Înmulțirea puterilor.

Opțiunea 2

1. Prezentați ca diplomă:

a) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5

b) a 7 a 3 g) 2 3 4

c) y 5 y h) 4 3 16

d) a a 7 i) 4 2 5

e) 2 2 2 5 j) 0,2 3 0,04

2. Prezentați ca grad și găsiți valoarea din tabel:

a) 3 2 3 3 c) 16 2 3

b) 2 4 2 5 d) 9 81

Opțiunea 3

1. Prezentați ca diplomă:

a) a 3 a 5 f) y 2 y 4 y 6

b) x 4 x 7 g) 3 5 9

c) b 6 b h) 5 3 25

d) y 8 i) 49 7 4

e) 2 3 2 6 j) 0,3 4 0,27

2. Prezentați ca grad și găsiți valoarea din tabel:

a) 3 3 3 4 c) 27 3 4

b) 2 4 2 6 d) 16 64

Opțiunea 4

1. Prezentați ca diplomă:

a) a 6 a 2 e) x 4 x x 6

b) x 7 x 8 g) 3 4 27

c) y 6 y h) 4 3 16

d) x x 10 i) 36 6 3

e) 2 4 2 5 j) 0,2 2 0,008

2. Prezentați ca grad și găsiți valoarea din tabel:

a) 2 6 2 3 c) 64 2 4

b) 3 5 3 2 d) 81 27

Împărțirea gradelor.

Opțiunea 2

1. Prezentați coeficientul ca putere:

2. Găsiți semnificațiile expresiilor.