Panta tangentei trasate la grafic. Cum se află panta unei ecuații

Luați în considerare următoarea figură:

Acesta descrie o anumită funcție y = f(x), care este diferențiabilă în punctul a. Punctul M cu coordonatele (a; f(a)) este marcat. O secantă MR este trasată printr-un punct arbitrar P(a + ∆x; f(a + ∆x)) al graficului.

Dacă acum punctul P este deplasat de-a lungul graficului către punctul M, atunci linia dreaptă MR se va roti în jurul punctului M. În acest caz, ∆x va tinde spre zero. De aici putem formula definiția unei tangente la graficul unei funcții.

Tangenta la graficul unei functii

Tangenta la graficul unei funcții este poziția limită a secantei, deoarece incrementul argumentului tinde spre zero. Trebuie înțeles că existența derivatei funcției f în punctul x0 înseamnă că în acest punct al graficului există tangentă la el.

În acest caz, coeficientul unghiular al tangentei va fi egal cu derivata acestei funcții în acest punct f’(x0). Aceasta este sens geometric derivat. Tangenta la graficul unei functii f diferentiabila in punctul x0 este o anumita dreapta care trece prin punctul (x0;f(x0)) si avand un coeficient unghiular f’(x0).

Ecuația tangentei

Să încercăm să obținem ecuația tangentei la graficul unei funcții f în punctul A(x0; f(x0)). Ecuația unei drepte cu panta k are următoarea vedere:

Deoarece coeficientul nostru de pantă este egal cu derivata f’(x0), atunci ecuația va lua următoarea formă: y = f’(x0)*x + b.

Acum să calculăm valoarea lui b. Pentru a face acest lucru, folosim faptul că funcția trece prin punctul A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, de aici exprimăm b și obținem b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Inlocuim valoarea rezultata in ecuatia tangentei:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Luați în considerare următorul exemplu: găsiți ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 în punctul x = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Înlocuiți valorile obținute în formula tangentei, obținem: y = 1 + 4*(x - 2). Deschizând parantezele și aducând termeni similari obținem: y = 4*x - 7.

Răspuns: y = 4*x - 7.

Schema generala de alcatuire a ecuatiei tangentei la graficul funcției y = f(x):

1. Determinați x0.

2. Calculați f(x0).

3. Calculați f’(x)

Linia dreaptă y = f(x) va fi tangentă la graficul prezentat în figură în punctul x0 cu condiția să treacă prin acest punct cu coordonatele (x0; f(x0)) și să aibă un coeficient unghiular f"(x0). Găsiți acest coeficient, ținând cont de caracteristicile tangentei, nu este dificil.

vei avea nevoie

  • - carte de referinta matematica;
  • - caiet;
  • - un creion simplu;
  • - stilou;
  • - raportor;
  • - busolă.

Instrucţiuni

  • Vă rugăm să rețineți că graficul funcției diferențiabile f(x) în punctul x0 nu este diferit de segmentul tangent. Prin urmare, este destul de aproape de segmentul l, trecând prin punctele (x0; f(x0)) și (x0+Δx; f(x0 + Δx)). Pentru a specifica o dreaptă care trece prin punctul A cu coeficienți (x0; f(x0)), indicați panta acesteia. Mai mult, este egal cu Δy/Δx tangentei secante (Δх→0) și tinde, de asemenea, către numărul f‘(x0).
  • Dacă nu există valori pentru f‘(x0), atunci poate că nu există tangentă sau poate rulează vertical. Pe baza acesteia, prezența derivatei funcției în punctul x0 se explică prin existența unei tangente neverticale, care este în contact cu graficul funcției în punctul (x0, f(x0)). În acest caz, coeficientul unghiular al tangentei este egal cu f "(x0). Sensul geometric al derivatei devine clar, adică calculul coeficientului unghiular al tangentei.
  • Adică, pentru a găsi panta tangentei, trebuie să găsiți valoarea derivatei funcției în punctul de tangență. Exemplu: găsiți coeficientul unghiular al tangentei la graficul funcției y = x³ în punctul cu abscisă X0 = 1. Rezolvare: Aflați derivata acestei funcții y΄(x) = 3x²; găsiți valoarea derivatei în punctul X0 = 1. у΄(1) = 3 × 1² = 3. Factorul de pantă tangenta în punctul X0 = 1 este egală cu 3.
  • Desenați tangente suplimentare în figură astfel încât să atingă graficul funcției în următoarele puncte: x1, x2 și x3. Marcați unghiurile formate de aceste tangente cu axa absciselor (unghiul se numără în sens pozitiv - de la axă la linia tangentă). De exemplu, primul unghi α1 va fi ascuțit, al doilea (α2) va fi obtuz, iar al treilea (α3) va fi egal cu zero, deoarece linia tangentă trasată este paralelă cu axa OX. În acest caz, tangenta unui unghi obtuz este o valoare negativă, iar tangenta unui unghi ascuțit este pozitivă, cu tg0 și rezultatul este zero.

vei avea nevoie

  • - carte de referinta matematica;
  • - caiet;
  • - un creion simplu;
  • - stilou;
  • - raportor;
  • - busolă.

Instrucţiuni

Vă rugăm să rețineți că graficul funcției diferențiabile f(x) în punctul x0 nu este diferit de segmentul tangent. Prin urmare, este destul de aproape de segmentul l, de cel care trece prin punctele (x0; f(x0)) și (x0+Δx; f(x0 + Δx)). Pentru a specifica o dreaptă care trece prin punctul A cu coeficienți (x0; f(x0)), indicați panta acesteia. Mai mult, este egal cu Δy/Δx tangentei secante (Δх→0) și tinde, de asemenea, către numărul f‘(x0).

Dacă nu există valori pentru f‘(x0), atunci nu există tangentă sau rulează vertical. Pe baza acesteia, derivata funcției în punctul x0 se explică prin existența unei tangente neverticale, care este în contact cu graficul funcției în punctul (x0, f(x0)). În acest caz, coeficientul unghiular al tangentei este egal cu f "(x0). Derivata geometrică, adică coeficientul unghiular al tangentei, devine clară.

Adică, pentru a găsi panta tangentei, trebuie să găsiți valoarea derivatei funcției în punctul de tangență. Exemplu: găsiți coeficientul unghiular al tangentei la funcția y = x³ în punctul cu abscisă X0 = 1. Rezolvare: Aflați derivata acestei funcții y΄(x) = 3x²; aflați valoarea derivatei în punctul X0 = 1. у΄(1) = 3 × 1² = 3. Coeficientul unghiului tangentei în punctul X0 = 3.

Desenați tangente suplimentare în figură astfel încât să atingă graficul funcției în punctele: x1, x2 și x3. Marcați unghiurile formate de aceste tangente cu axa absciselor (unghiul se numără în sens pozitiv - de la axă la linia tangentă). De exemplu, unghiul α1 va fi ascuțit, unghiul (α2) va fi obtuz, iar al treilea (α3) va fi egal cu zero, deoarece linia tangentă trasată este paralelă cu axa OX. În acest caz, tangenta unui unghi obtuz este o valoare negativă, iar tangenta unui unghi ascuțit este pozitivă, cu tg0 și rezultatul este zero.

O tangentă la un cerc dat este o dreaptă care are un singur punct comun cu acest cerc. O tangentă la un cerc este întotdeauna perpendiculară pe raza sa trasată la punctul de tangență. Dacă sunt trase două tangente dintr-un punct care nu aparține cercului, atunci distanțele de la acest punct la punctele de tangență vor fi întotdeauna aceleași. Tangente la cercuri sunt construite în moduri diferite, în funcție de locația lor unul față de celălalt.

Instrucţiuni

Construirea unei tangente la un cerc.
1. Construiți un cerc cu raza R și luați A, prin care va trece tangenta.
2. Se construiește un cerc cu un centru în mijlocul segmentului OA și cu raze egale cu acest segment.
3. Intersecția a două puncte tangente trasate prin punctul A la un cerc dat.

Tangenta externă la doi cercuri.

2. Desenați un cerc cu raza R – r cu centrul în punctul O.
3. O tangentă din O1 este trasată la cercul rezultat, punctul de tangență este desemnat M.
4. Raza R care trece prin punctul M spre punctul T – punctul tangent al cercului.
5. Prin centrul O1 al cercului mic se trasează o rază r paralelă cu R a cercului mare. Raza r indică punctul T1 – punctul de tangență al cercului mic.
cercuri.

Tangenta internă la doi cercuri.
1. Se construiesc două cercuri cu raza R și r.
2. Desenați un cerc de rază R + r cu centrul în punctul O.
3. Se trasează o tangentă la cercul rezultat din punctul O1, punctul de tangență este desemnat cu litera M.
4. Raza OM intersectează primul cerc în punctul T - în punctul de tangență al cercului mare.
5. Prin centrul O1 al cercului mic se trasează o rază r paralelă cu raza OM. Raza r indică punctul T1 – punctul de tangență al cercului mic.
6. Linie dreaptă TT1 – tangentă la data cercuri.

Surse:

  • tangentă internă

unghiular dulap – varianta ideala pentru colturile goale din apartament. În plus, configurația colțului dulap ov conferă interiorului o atmosferă clasică. Ca colturi de finisare dulap Poate fi folosit orice material care este potrivit pentru acest scop.

vei avea nevoie

Instrucţiuni

Tăiați un șablon de 125 mm lățime și 1065 mm lungime din placaj sau plăci de fibre. Marginile trebuie pilite la un unghi de 45 de grade. De șablon gata făcut determinați dimensiunile pereților laterali, precum și locul unde va fi amplasat dulap.

Conectați capacul la pereții laterali și rafturile triunghiulare. Capacul trebuie fixat de marginile superioare ale pereților laterali folosind șuruburi. Pentru rezistența structurală, se folosește lipici suplimentar. Atașați rafturile de șipci.

Înclinați pânza ferăstrăului la un unghi de 45 de grade și teșiți marginea anterioară a pereților laterali de-a lungul barei de ghidare. Atașați rafturile fixe pe benzile MDF. Conectați pereții laterali cu șuruburi. Asigurați-vă că nu există goluri.

Faceți semne în perete, între care plasați cadrul colțului dulap O. Atașați folosind șuruburi dulap la perete. Lungimea diblului trebuie să fie de 75 mm.

Fabricat dintr-o singură bucată Plăci MDF decupați cadrul frontal. Prin utilizarea ferăstrău circular tăiați deschideri în el folosind o riglă. Terminați colțurile.

Găsiți valoarea de abscisă a punctului tangent, care este notat cu litera „a”. Dacă coincide cu un punct tangent dat, atunci „a” va fi coordonata sa x. Determinați valoarea funcții f(a) prin substituirea în ecuație funcții valoare de abscisă.

Determinați prima derivată a ecuației funcții f’(x) și înlocuiți valoarea punctului „a” în ea.

Ia ecuație generală tangentă, care este definită ca y = f(a) = f (a)(x – a), și înlocuiți valorile găsite ale lui a, f(a), f „(a) în ea. Ca rezultat, se va găsi soluţia graficului şi tangentei.

Rezolvați problema într-un mod diferit dacă punctul tangent dat nu coincide cu punctul tangent. În acest caz, este necesar să înlocuiți „a” în loc de numere în ecuația tangentei. După aceea, în loc de literele „x” și „y”, înlocuiți valoarea coordonatei punct dat. Rezolvați ecuația rezultată în care „a” este necunoscutul. Introduceți valoarea rezultată în ecuația tangentei.

Scrieți o ecuație pentru o tangentă cu litera „a” dacă enunțul problemei specifică ecuația funcțiiși ecuația unei drepte paralele în raport cu tangentei dorite. După aceasta avem nevoie de derivată funcții, la coordonatele din punctul „a”. Înlocuiți valoarea corespunzătoare în ecuația tangentei și rezolvați funcția.

Când se compune ecuația unei tangente la graficul unei funcții, se folosește conceptul de „abscisa punctului de tangență”. Această valoare poate fi specificat iniţial în condiţiile sarcinii sau trebuie determinat independent.

Instrucţiuni

Desenați axele de coordonate x și y pe o bucată de hârtie. Studiați ecuația dată pentru graficul unei funcții. Dacă este , atunci două valori pentru parametrul y sunt suficiente pentru orice x, apoi trasați punctele găsite pe axa de coordonate și conectați-le cu o linie. Dacă graficul este neliniar, atunci faceți un tabel cu dependența lui y de x și selectați cel puțin cinci puncte pentru a construi graficul.

Determinați valoarea abscisei punctului tangent pentru cazul în care punctul tangent dat nu coincide cu graficul funcției. Setăm al treilea parametru cu litera „a”.

Scrieți ecuația funcției f(a). Pentru a face acest lucru, înlocuiți a în loc de x în ecuația originală. Aflați derivata funcției f(x) și f(a). Înlocuiți datele solicitate în ecuația tangentă generală, care are forma: y = f(a) + f „(a)(x – a). Ca rezultat, obțineți o ecuație care constă din trei parametri necunoscuți.

Înlocuiți în el, în loc de x și y, coordonatele punctului dat prin care trece tangenta. După aceasta, găsiți soluția ecuației rezultate pentru toate a. Dacă este pătrat, atunci vor exista două valori pentru abscisa punctului tangent. Aceasta înseamnă că tangenta trece de două ori lângă graficul funcției.

Desenați un grafic al funcției date și , care sunt specificate în funcție de condițiile problemei. În acest caz, este de asemenea necesar să specificați parametrul necunoscut a și să îl înlocuiți în ecuația f(a). Echivalează derivata f(a) cu derivata ecuației unei drepte paralele. Aceasta provine din condiția paralelismului celor două. Găsiți rădăcinile ecuației rezultate, care va fi abscisa punctului de tangență.

Linia dreaptă y=f(x) va fi tangentă la graficul prezentat în figură în punctul x0 dacă trece prin punctul cu coordonatele (x0; f(x0)) și are un coeficient unghiular f"(x0). un astfel de coeficient, Cunoscând caracteristicile unei tangente, nu este dificil.

vei avea nevoie

  • - carte de referinta matematica;
  • - un creion simplu;
  • - caiet;
  • - raportor;
  • - busolă;
  • - stilou.

Instrucţiuni

Dacă valoarea f‘(x0) nu există, atunci fie nu există tangentă, fie rulează vertical. Având în vedere acest lucru, prezența unei derivate a funcției în punctul x0 se datorează existenței unei tangente neverticale tangente la graficul funcției în punctul (x0, f(x0)). În acest caz, coeficientul unghiular al tangentei va fi egal cu f "(x0). Astfel, sensul geometric al derivatei devine clar - calculul coeficientului unghiular al tangentei.

Determinați-o pe cea generală. Acest tip de informații pot fi obținute prin referire la datele recensământului. Pentru a determina ratele generale de fertilitate, mortalitate, căsătorie și divorț, va trebui să găsiți produsul dintre populația totală și perioada de calcul. Scrieți numărul rezultat la numitor.

Pune pe numărător indicatorul corespunzător rudei dorite. De exemplu, dacă vă confruntați cu determinarea ratei totale de fertilitate, atunci în locul numărătorului ar trebui să existe un număr care să reflecte cantitate totală nascut in perioada de care esti interesat. Dacă scopul tău este rata mortalității sau rata căsătoriilor, atunci în locul numărătorului puneți numărul de decese din perioada de calcul sau, respectiv, numărul căsătoriilor.

Înmulțiți numărul rezultat cu 1000. Acesta va fi coeficientul general pe care îl căutați. Dacă vă confruntați cu sarcina de a găsi rata generală de creștere, atunci scădeți rata mortalității din rata natalității.

Video pe tema

Surse:

  • Ratele vitale generale

Principalul indicator al eficienței extracției este coeficient distributie. Se calculează prin formula: Co/Sw, unde Co este concentrația substanței extrase în solventul organic (extractor), iar St este concentrația aceleiași substanțe în apă, după ce s-a atins echilibrul. Cum puteți găsi experimental coeficientul de distribuție?

Să fie dată o funcție f, care la un punct x 0 are o derivată finită f (x 0). Atunci linia dreaptă care trece prin punctul (x 0 ; f (x 0)), având un coeficient unghiular f ’(x 0), se numește tangentă.

Ce se întâmplă dacă derivata nu există în punctul x 0? Există două opțiuni:

  1. Nu există nici tangentă la grafic. Exemplu clasic- funcția y = |x | în punctul (0; 0).
  2. Tangenta devine verticală. Acest lucru este adevărat, de exemplu, pentru funcția y = arcsin x în punctul (1; π /2).

Ecuația tangentei

Orice dreaptă neverticală este dată de o ecuație de forma y = kx + b, unde k este panta. Tangenta nu face excepție și pentru a-și crea ecuația la un punct x 0 este suficient să cunoaștem valoarea funcției și a derivatei în acest punct.

Deci, să fie dată o funcție y = f (x), care are o derivată y = f ’(x) pe segment. Atunci în orice punct x 0 ∈ (a; b) se poate trasa o tangentă la graficul acestei funcții, care este dată de ecuația:

y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

Aici f ’(x 0) este valoarea derivatei în punctul x 0, iar f (x 0) este valoarea funcției în sine.

Sarcină. Având în vedere funcția y = x 3 . Scrieți o ecuație pentru tangenta la graficul acestei funcții în punctul x 0 = 2.

Ecuație tangentă: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Punctul x 0 = 2 ne este dat, dar valorile f (x 0) și f ’(x 0) vor trebui calculate.

Mai întâi, să găsim valoarea funcției. Totul este ușor aici: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Acum să găsim derivata: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
Inlocuim x 0 = 2 in derivata: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
În total obținem: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Aceasta este ecuația tangentei.

Sarcină. Scrieți o ecuație pentru tangenta la graficul funcției f (x) = 2sin x + 5 în punctul x 0 = π /2.

De data aceasta nu vom descrie fiecare acțiune în detaliu - vom indica doar pașii cheie. Avem:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Ecuația tangentei:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

În acest din urmă caz, linia dreaptă s-a dovedit a fi orizontală, deoarece coeficientul său unghiular k = 0. Nu este nimic în neregulă cu asta - tocmai am dat peste un punct extremum.

Subiectul „Coeficientul unghiular al unei tangente ca tangentă a unghiului de înclinare” are mai multe sarcini la examenul de certificare. În funcție de starea lor, absolventului i se poate solicita fie un răspuns complet, fie un răspuns scurt. În pregătire pentru promovarea examenului de stat unificat La matematică, elevul ar trebui să repete cu siguranță probleme în care este necesar să se calculeze coeficientul unghiular al unei tangente.

Te va ajuta să faci asta portal educațional„Șkolkovo”. Experții noștri au pregătit și au prezentat lucrări teoretice și material practic cât mai accesibilă. Familiarizându-se cu acesta, absolvenții cu orice nivel de pregătire vor putea rezolva cu succes probleme legate de derivate în care este necesară găsirea tangentei unghiului tangentei.

Repere

Pentru a găsi corect și decizie rațională Pentru sarcini similare din examenul de stat unificat, trebuie să vă amintiți definiția de bază: derivata reprezintă rata de schimbare a unei funcții; este egală cu tangentei unghiului tangentei trasat la graficul funcției într-un anumit punct. Este la fel de important să finalizați desenul. Vă va permite să găsiți decizia corectă Probleme de examinare unificată de stat pe derivată, în care este necesar să se calculeze tangentei unghiului tangentei. Pentru claritate, cel mai bine este să reprezentați graficul pe planul OXY.

Dacă v-ați familiarizat deja cu materialul de bază pe tema derivatelor și sunteți gata să începeți să rezolvați probleme privind calcularea tangentei unghiului tangentei, cum ar fi Teme de examen de stat unificat, acest lucru se poate face online. Pentru fiecare sarcină, de exemplu, probleme pe tema „Relația unei derivate cu viteza și accelerația unui corp”, am notat răspunsul corect și algoritmul de rezolvare. În același timp, elevii pot exersa îndeplinirea sarcinilor de diferite niveluri de complexitate. Dacă este necesar, exercițiul poate fi salvat în secțiunea „Favorite”, astfel încât să puteți discuta mai târziu cu profesorul soluția.