Secvență de numere. Secvențe de numere

Înainte să începem să decidem sarcini pentru progresie aritmetică , să ne uităm la ce este succesiune de numere, deoarece o progresie aritmetică este un caz special al unei secvențe de numere.

O secvență de numere este un set de numere, fiecare element având propriul său număr de serie. Elementele acestei mulțimi sunt numite membri ai secvenței. Numărul de serie al unui element de secvență este indicat printr-un index:

Primul element al secvenței;

Al cincilea element al secvenței;

- elementul „n-lea” al secvenței, adică elementul „stă la coadă” la numărul n.

Există o relație între valoarea unui element de secvență și numărul său de secvență. Prin urmare, putem considera o secvență ca o funcție al cărei argument este numărul ordinal al elementului secvenței. Cu alte cuvinte, putem spune asta secvența este o funcție a argumentului natural:

Secvența poate fi setată în trei moduri:

1 . Secvența poate fi specificată folosind un tabel.În acest caz, pur și simplu setăm valoarea fiecărui membru al secvenței.

De exemplu, Cineva a decis să se ocupe de gestionarea personală a timpului și, pentru început, să numere cât timp petrece pe VKontakte în timpul săptămânii. Înregistrând timpul în tabel, el va primi o secvență formată din șapte elemente:

Prima linie a tabelului indică numărul zilei săptămânii, a doua - timpul în minute. Vedem că, adică luni, Cineva a petrecut 125 de minute pe VKontakte, adică joi - 248 de minute și, adică, vineri doar 15.

2 . Secvența poate fi specificată folosind formula a n-a termen.

În acest caz, dependența valorii unui element de secvență de numărul său este exprimată direct sub forma unei formule.

De exemplu, dacă , atunci

Pentru a găsi valoarea unui element de secvență cu un număr dat, înlocuim numărul elementului în formula celui de-al n-lea termen.

Facem același lucru dacă trebuie să găsim valoarea unei funcții dacă valoarea argumentului este cunoscută. Inlocuim valoarea argumentului in ecuatia functiei:

Dacă, de exemplu, , Asta

Permiteți-mi să observ încă o dată că într-o secvență, spre deosebire de o funcție numerică arbitrară, argumentul poate fi doar un număr natural.

3 . Secvența poate fi specificată folosind o formulă care exprimă dependența valorii numărului membru al secvenței n de valorile membrilor anteriori.

În acest caz, nu este suficient să cunoaștem doar numărul membrului secvenței pentru a-i găsi valoarea. Trebuie să specificăm primul membru sau primii câțiva membri ai secvenței. ,

De exemplu, luați în considerare succesiunea Putem găsi valorile membrilor secvenței unul câte unul

, începând cu a treia: Adică, de fiecare dată, pentru a găsi valoarea celui de-al n-lea termen al șirului, revenim la cei doi anteriori. Această metodă de specificare a unei secvențe este numită recurent , din cuvânt latin recurro

- întoarce-te.

Acum putem defini o progresie aritmetică. O progresie aritmetică este un caz special simplu al unei secvențe de numere. Progresie aritmetică

este o succesiune numerică, fiecare membru al căruia, începând cu al doilea, este egal cu precedentul adăugat la același număr. Numărul este sunat diferența de progresie aritmetică

. Diferența unei progresii aritmetice poate fi pozitivă, negativă sau egală cu zero.">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} Dacă title="d>0.

crescând

De exemplu, 2; 5; 8; 11;... Dacă , atunci fiecare termen al unei progresii aritmetice este mai mic decât cel precedent, iar progresia este.

în scădere

De exemplu, 2; -1; -4; -7;... Dacă , atunci toți termenii progresiei sunt egali cu același număr, iar progresia este.

staţionar

De exemplu, 2;2;2;2;...

Principala proprietate a unei progresii aritmetice:

Să ne uităm la desen.

Vedem asta

, și în același timp

.

Adăugând aceste două egalități, obținem:

Să împărțim ambele părți ale egalității la 2:

Deci, fiecare membru al progresiei aritmetice, începând de la al doilea, este egal cu media aritmetică a celor două învecinate:

Vedem asta

Mai mult, din moment ce

, Asta

, și prin urmare">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Fiecare termen al unei progresii aritmetice, începând cu title="k>l

Formula celui de-al treilea termen.

Vedem că termenii progresiei aritmetice satisfac următoarele relații:

si in sfarsit Am primit

formula celui de-al n-lea termen. IMPORTANT!

Orice membru al unei progresii aritmetice poate fi exprimat prin și. Cunoscând primul termen și diferența unei progresii aritmetice, puteți găsi oricare dintre termenii săi.

Suma a n termeni ai unei progresii aritmetice.

Într-o progresie aritmetică arbitrară, sumele termenilor echidistanți de cei extremi sunt egale între ele:

Considerăm o progresie aritmetică cu n termeni. Fie suma n termeni ai acestei progresii să fie egală cu .

Să aranjam mai întâi termenii progresiei în ordine crescătoare a numerelor, apoi în ordine descrescătoare:

Suma din fiecare paranteză este , numărul de perechi este n.

Primim:

Aşa, suma n termeni ai unei progresii aritmetice poate fi găsită folosind formulele:

Să luăm în considerare rezolvarea problemelor de progresie aritmetică.

1 . Secvența este dată de formula celui de-al n-lea termen: . Demonstrați că această succesiune este o progresie aritmetică.

Să demonstrăm că diferența dintre doi termeni adiacenți ai șirului este egală cu același număr.

Am constatat că diferența dintre doi membri adiacenți ai secvenței nu depinde de numărul lor și este o constantă. Prin urmare, prin definiție, această secvență este o progresie aritmetică.

2 . Având în vedere o progresie aritmetică -31; -27;...

a) Găsiți 31 de termeni ai progresiei.

b) Stabiliți dacă numărul 41 este inclus în această progresie.

O) Vedem că;

Să scriem formula pentru al n-lea termen pentru progresia noastră.

În general

În cazul nostru , De aceea

Primim:

b) Să presupunem că numărul 41 este un membru al secvenței. Să-i găsim numărul. Pentru a face acest lucru, să rezolvăm ecuația:

Am primit valoare naturală n, prin urmare, da, numărul 41 este membru al progresiei. Dacă valoarea găsită a lui n nu ar fi un număr natural, atunci am răspunde că numărul 41 NU este membru al progresiei.

3 . a) Între numerele 2 și 8, introduceți 4 numere astfel încât ele, împreună cu aceste numere, să formeze o progresie aritmetică.

b) Aflați suma termenilor progresiei rezultate.

O) Să inserăm patru numere între numerele 2 și 8:

Avem o progresie aritmetică cu 6 membri.

Să găsim diferența acestei progresii. Pentru a face acest lucru, folosim formula pentru al n-lea termen:

Acum este ușor să găsiți semnificațiile numerelor:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

b)

Răspuns: a) da; b) 30

4. Camionul transportă o încărcătură de piatră spartă cu o greutate de 240 de tone, crescând rata de transport cu același număr de tone în fiecare zi. Se știe că 2 tone de piatră zdrobită au fost transportate în prima zi. Stabiliți câte tone de piatră zdrobită au fost transportate în a douăsprezecea zi dacă toată lucrarea a fost finalizată în 15 zile.

În funcție de starea problemei, cantitatea de piatră zdrobită pe care o transportă camionul crește cu același număr în fiecare zi. Prin urmare, avem de-a face cu o progresie aritmetică.

Să formulăm această problemă în termenii unei progresii aritmetice.

În prima zi au fost transportate 2 tone de piatră zdrobită: a_1=2.

Toate lucrările au fost finalizate în 15 zile: .

Camionul transportă un lot de piatră zdrobită cu o greutate de 240 de tone:

Trebuie să găsim.

Mai întâi, să găsim diferența de progresie. Să folosim formula pentru suma n termeni ai unei progresii.

In cazul nostru:

Luați în considerare serialul numere naturale: 1, 2, 3, , n – 1, n,  .

Dacă înlocuim fiecare număr natural nîn această serie cu un anumit număr o n, urmând o lege, obținem o nouă serie de numere:

o 1 , o 2 , o 3, , o n –1 , o n , ,

desemnat și chemat pe scurt succesiune numerică. Magnitudinea o n se numește membru comun al unei secvențe de numere. De obicei, succesiunea de numere este dată de o formulă o n = f(n) permițându-vă să găsiți orice membru al secvenței după numărul său n; această formulă se numește termen general formulă. Rețineți că nu este întotdeauna posibilă definirea unei secvențe numerice folosind o formulă generală a termenului; uneori o secvenţă este specificată prin descrierea membrilor săi.

Prin definiție, o secvență conține întotdeauna un număr infinit de elemente: oricare două elemente diferite diferă cel puțin prin numărul lor, dintre care există infinit multe.

O secvență de numere este un caz special al unei funcții. O secvență este o funcție definită pe mulțimea numerelor naturale și care ia valori în mulțimea numerelor reale, adică o funcție de forma f : N  R.

Urmare
numit Dacă title="d>0(Dacă , atunci fiecare termen al unei progresii aritmetice este mai mic decât cel precedent, iar progresia este), dacă pentru vreunul n  N
Astfel de secvențe sunt numite strict monoton.

Uneori este convenabil să folosiți nu toate numerele naturale ca numere, ci doar unele dintre ele (de exemplu, numere naturale care pornesc de la un număr natural). n 0). Pentru numerotare este, de asemenea, posibil să folosiți nu numai numere naturale, ci și alte numere, de exemplu, n= 0, 1, 2,  (aici zero se adaugă ca un alt număr la mulțimea numerelor naturale). În astfel de cazuri, atunci când specificați secvența, indicați ce valori iau numerele n.

Dacă într-o anumită secvență pentru oricare n  N
atunci secvența este numită nescădere(necrescătoare). Astfel de secvențe sunt numite monoton.

Exemplul 1 . Secvența de numere 1, 2, 3, 4, 5, ... este o serie de numere naturale și are un termen comun o n = n.

Exemplul 2 . Secvența de numere 2, 4, 6, 8, 10, ... este o serie de numere pare și are un termen comun o n = 2n.

Exemplul 3 . 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … – o succesiune numerică de valori aproximative cu o precizie crescândă.

În ultimul exemplu este imposibil să se dea o formulă pentru termenul general al șirului.

Exemplul 4 . Scrieți primii 5 termeni ai unei secvențe de numere folosind termenul său comun
. Pentru a calcula o 1 este necesar în formula pentru termenul general o nîn loc de nînlocuiți 1 pentru a calcula o 2 − 2 etc. Atunci avem:

Testul 6 . Membrul comun al secvenței 1, 2, 6, 24, 120,  este:

1)

2)

3)

4)

Testul 7 .
este:

1)

2)

3)

4)

Testul 8 . Membru comun al secvenței
este:

1)

2)

3)

4)

Limită de secvență de numere

Luați în considerare o secvență de numere al cărei termen comun se apropie de un anumit număr O când numărul de serie crește n. În acest caz, se spune că secvența de numere are o limită. Acest concept are o definiție mai strictă.

Număr O numită limita unei secvențe de numere
:

(1)

dacă pentru orice  > 0 există un astfel de număr n 0 = n 0 (), în funcție de , care
la n > n 0 .

Această definiție înseamnă că O există o limită a unei secvențe de numere dacă termenul ei comun se apropie fără limită O cu creşterea n. Geometric, aceasta înseamnă că pentru orice  > 0 se poate găsi un astfel de număr n 0 , care, începând de la n > n 0 , toți membrii secvenței sunt localizați în intervalul ( O – , O+ ). Se numește o secvență care are o limită convergent; altfel - divergente.

O succesiune de numere poate avea o singură limită (finită sau infinită) a unui anumit semn.

Exemplul 5 . Secvență armonică are numărul limită 0. Într-adevăr, pentru orice interval (–; +) ca număr N 0 poate fi orice număr întreg mai mare decât . Apoi pentru toată lumea n > n 0 > avem

Exemplul 6 . Sirul 2, 5, 2, 5,  este divergent. Într-adevăr, niciun interval de lungime mai mic decât, de exemplu, unul, nu poate conține toți membrii secvenței, începând de la un anumit număr.

Secvența este numită limitat, dacă un astfel de număr există M, Ce
pentru toată lumea n. Fiecare succesiune convergentă este mărginită. Fiecare succesiune monotonă și mărginită are o limită. Fiecare succesiune convergentă are o limită unică.

Exemplul 7 . Urmare
este în creștere și limitată. Ea are o limită
=e.

Număr e numit numărul lui Eulerși aproximativ egal cu 2,718 28.

Testul 9 . Secvența 1, 4, 9, 16,  este:

1) convergent;

2) divergente;

3) limitat;

Testul 10 . Urmare
este:

1) convergent;

2) divergente;

3) limitat;

4) progresie aritmetică;

5) progresie geometrică.

Testul 11 . Urmare nu este:

1) convergent;

2) divergente;

3) limitat;

4) armonică.

Test 12 . Limita unei secvențe date de un termen comun
egal.

Este dată definiția unei secvențe numerice. Sunt luate în considerare exemple de secvențe infinit crescătoare, convergente și divergente. Se consideră o succesiune care conține toate numerele raționale.

Definiție .
Succesiunea numerică (xn) este o lege (regulă) conform căreia, pentru fiecare număr natural n = 1, 2, 3, . . . se atribuie un anumit număr x n.
Elementul x n este numit al n-lea termen sau un element al unei secvențe.

Secvența este notată ca al n-lea termen cuprins între acolade: .
, , .

Sunt posibile și următoarele denumiri: . Ele indică în mod explicit că indicele n aparține mulțimii numerelor naturale și secvența în sine are un număr infinit de termeni. Iată câteva exemple de secvențe: Cu alte cuvinte, o secvență de numere este o funcție al cărei domeniu de definiție este mulțimea numerelor naturale. Numărul de elemente ale secvenței este infinit. Printre elemente pot fi și membri care au

aceleasi valori

. De asemenea, o secvență poate fi considerată ca un set numerotat de numere format dintr-un număr infinit de membri.

Ne va interesa în principal întrebarea cum se comportă secvențele atunci când n tinde spre infinit: .

Acest material este prezentat în secțiunea Limita unei secvențe - teoreme de bază și proprietăți. Aici ne vom uita la câteva exemple de secvențe.
.
Exemple de secvențe

Exemple de secvențe infinit crescătoare
.
Luați în considerare succesiunea. Membrul comun al acestei secvențe este . Să scriem primii termeni:

Se poate observa că pe măsură ce numărul n crește, elementele cresc la nesfârșit spre valori pozitive. Putem spune că această succesiune tinde spre: pentru .

Acum luați în considerare o secvență cu un termen comun.
.
Iată primii săi membri: = 0 Pe măsură ce numărul n crește, elementele acestei secvențe cresc la nesfârșit în = 0 valoare absolută > 0 , dar nu au un semn constant. Adică această secvență tinde să: la .

Exemple de secvențe care converg către un număr finit
.
În această secvență, termenii pari sunt egali cu zero. Termenii cu n impar sunt egali. = 0 Prin urmare, pe măsură ce n crește, valorile lor se apropie de valoarea limită a
.
. > 0 Acest lucru rezultă și din faptul că = 0 La fel ca în exemplul anterior, putem specifica o eroare ε arbitrar mică = 0 , pentru care este posibil să se găsească un număr N astfel încât elementele cu numere mai mari decât N se vor abate de la valoarea limită a

cu o sumă care nu depăşeşte eroarea specificată. Prin urmare, această secvență converge către valoarea a

: la .

Exemple de secvențe divergente


.
Luați în considerare o succesiune cu următorul termen comun:
,
Iată primii săi membri: 1 = 0 Se poate observa că termenii cu numere pare:
,
Iată primii săi membri: 2 = 2 converg spre valoarea a

.

Membri impari:
.
.
.
Secvența în sine, pe măsură ce n crește, nu converge către nicio valoare.


.
Secvență cu termeni distribuiți în intervalul (0;1)

Acum să ne uităm la o secvență mai interesantă. Să luăm un segment pe linia numerică. Să o împărțim în jumătate. Obținem două segmente. Lasă (0; 1) Să împărțim din nou fiecare dintre segmente în jumătate. Obținem patru segmente. Lasă Să împărțim din nou fiecare segment în jumătate. Să luăm

Și așa mai departe. Ca rezultat, obținem o succesiune ale cărei elemente sunt distribuite într-un interval deschis

. = 0 Indiferent de punctul pe care îl luăm din intervalul închis
.
= 0 .

, putem găsi întotdeauna membri ai secvenței care vor fi în mod arbitrar aproape de acest punct sau vor coincide cu acesta. = 1 Apoi din secvența originală se poate selecta o subsecvență care va converge către un punct arbitrar din interval
.
. = 1 .

Adică, pe măsură ce numărul n crește, membrii subsecvenței se vor apropia din ce în ce mai mult de punctul preselectat. De exemplu, pentru punctul a puteți alege următoarea secvență:

Pentru punctul a

Să alegem următoarea secvență:

Termenii acestei subsecvențe converg către valoarea a Întrucât există subsecvențe care converg către:
,
sensuri diferite
, atunci secvența originală în sine nu converge către niciun număr.

Pentru a face acest lucru, desenați axele p și q pe plan. (0; 0) Desenăm linii de grilă prin valorile întregi ale lui p și q. < 1 Atunci fiecare nod al acestei grile c va corespunde unui număr rațional. Întregul set de numere raționale va fi reprezentat printr-un set de noduri. Trebuie să găsim o modalitate de a numerota toate nodurile, astfel încât să nu pierdem niciun nod. Acest lucru este ușor de făcut dacă numerotați nodurile după pătrate, ale căror centre sunt situate în punct

(vezi poza). În acest caz, părțile inferioare ale pătratelor cu q
.
nu avem nevoie de ea. Prin urmare, ele nu sunt prezentate în figură. Deci, pentru partea superioară a primului pătrat avem:În continuare numărăm

.
partea de sus

.
Secvență cu termeni distribuiți în intervalul (0;1)

următorul pătrat:

Numerotăm partea de sus a următorului pătrat: În acest fel obținem o secvență care conține toate numerele raționale. Puteți observa că orice număr rațional apare în această secvență de un număr infinit de ori. Într-adevăr, împreună cu nodul , această secvență va include și noduri , unde este un număr natural. Dar toate aceste noduri corespund aceluiași număr rațional. Apoi, din șirul pe care am construit-o, putem selecta o subsecvență (având un număr infinit de elemente), ale cărei elemente sunt toate egale cu un număr rațional predeterminat. Deoarece secvența pe care am construit-o are subsecvențe care converg către

numere diferite

, atunci șirul nu converge către niciun număr. Concluzie Aici am dat o definiție precisă a secvenței de numere. Am pus și problema convergenței sale, bazată pe idei intuitive.

Definitie exacta
convergența este discutată la pagina Determinarea limitei unei secvențe. Proprietățile și teoremele înrudite sunt menționate pe pagină
Leagăn. Scutece. Strigăt.
Cuvânt. Pas. Rece. Doctor.
Alergând în jur. Jucării. Frate.
Curte Leagăn. Grădiniţă.
Şcoală. Două. Troica. Cinci.
minge. Pas. Gips. Pat.
Luptă. Sânge. Nas rupt.
Curte Prieteni. Parte. Vigoare.
Institut. Primăvară. Tufișuri.
Vară. Sesiune. Cozi.
Bere. Vodcă. Gin cu gheata.
Cafea. Sesiune. Diplomă.
Romantism. Dragoste. Stea.
Mâinile. Buzele. O noapte fără somn.
Nuntă. Soacră. Socru. Capcană.
Argument. Club. Prieteni. Ceaşcă.
Casa. Post. Casa. Familial.
Soare. Vară. Zăpadă. Iarnă.
fiule. Scutece. Leagăn.
Stres. Amantă. Pat.
Afaceri. Bani. Plan. Urgență.
TELEVIZOR. Serie.
Casă la țară. Cireșe. Zucchini.
Păr gri. Migrenă. Ochelari.
nepotul. Scutece. Leagăn.
Stres. Presiune. Pat.

inima. Rinichi. Oasele. Doctor.

SECVENȚA - numere sau elemente dispuse într-o ordine organizată. Secvențele pot fi finite (având un număr limitat de elemente) sau infinite, cum ar fi șirul complet de numere naturale 1, 2, 3, 4….… …

Dicționar enciclopedic științific și tehnic

Definiţie:Succesiunea numerică se numește un numeric dat pe mulțimea N de numere naturale Pentru secvențe numerice, de obicei în loc de f(n) scrie un n și notați secvența după cum urmează: ( un n ). Numerele o 1 , o 2 , …, un n,… numit elemente ale secvenței.

De obicei, succesiunea numerelor este determinată de sarcină n al-lea element sau o formulă recurentă prin care fiecare element ulterior este determinat prin cel precedent. Este de asemenea posibilă o modalitate descriptivă de a specifica o secvență numerică. De exemplu:

• Toți membrii secvenței sunt egali cu „1”. Aceasta înseamnă că vorbim despre o secvență staționară 1, 1, 1, …, 1, ….

• Secvența constă din toate numere primeîn ordine crescătoare. Astfel, succesiunea dată este 2, 3, 5, 7, 11, …. Cu această metodă de specificare a secvenței din acest exemplu, este dificil să răspundem cu ce, să zicem, este egal cu al 1000-lea element al secvenței.

Cu metoda recurentă, indicați o formulă care vă permite să exprimați n al-lea membru al secvenței prin cele anterioare și specificați 1–2 membri inițiali ai secvenței.

• y 1 = 3; y n =y n-1 + 4 , Dacă n = 2, 3, 4,…

Aici y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

• y 1 = 1; y 2 = 1; y n =y n-2 + y n-1 , Dacă n = 3, 4,…

Aici: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Secvență exprimată prin formula de recurență y n =y n-1 + 4 pot fi specificate si analitic: y n= y 1 +4*(n-1)

Să verificăm: y2=3+4*(2-1)=7, y3=3+4*(3-1)=11

Aici nu trebuie să cunoaștem membrul anterior al secvenței numerice pentru a calcula al n-lea element, trebuie doar să specificăm numărul și valoarea primului element;

După cum putem vedea, această metodă de specificare a unei secvențe numerice este foarte asemănătoare cu metoda analitică de specificare a funcțiilor. De fapt, o secvență de numere este un tip special de funcție numerică, astfel încât o serie de proprietăți ale funcțiilor pot fi luate în considerare și pentru secvențe.

Secvențele de numere sunt un subiect foarte interesant și educativ. Această temă se regăsește în sarcini de complexitate sporită care sunt oferite studenților de către autorii materialelor didactice, în probleme de olimpiade de matematică, examene de admitere la superioare. Instituţiile de învăţământși pe .Și dacă doriți să explorați mai în detaliu diverse tipuri secvențe de numere, faceți clic aici. Ei bine, dacă totul este clar și simplu pentru tine, dar încearcă să răspunzi.

Funcția a n =f (n) a argumentului natural n (n=1; 2; 3; 4;...) se numește șir de numere.

Numerele a 1; a 2 ; a 3 ; a 4 ;…, formând o secvență, se numesc membri ai unei secvențe numerice. Deci a 1 =f (1); a 2 =f (2); a 3 =f (3); a 4 =f (4);…

Deci, membrii secvenței sunt desemnați prin litere care indică indici - numerele de serie ale membrilor lor: a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ;…, prin urmare, a 1 este primul membru al secvenței;

a 2 este al doilea termen al secvenței;

a 3 este al treilea membru al secvenței;

a 4 este al patrulea termen al secvenței etc.

Pe scurt, succesiunea numerică se scrie astfel: a n =f (n) sau (a n).

Sunt următoarele metode atribuiri de secvențe de numere:

1) Metoda verbală. Reprezintă un model sau o regulă pentru aranjarea membrilor unei secvențe, descrise în cuvinte.

Exemplul 1. Scrieți o succesiune a tuturor numerelor nenegative care sunt multipli ai lui 5.

Soluţie. Deoarece toate numerele care se termină cu 0 sau 5 sunt divizibile cu 5, succesiunea va fi scrisă astfel:

0; 5; 10; 15; 20; 25; ...

Exemplul 2. Având în vedere succesiunea: 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... . Întrebați-o verbal.

Soluţie. Observăm că 1=1 2 ; 4=22; 9=32; 16=42; 25=52; 36=62; ... Concluzionăm: dată fiind o succesiune formată din pătrate de numere naturale.

2) Metoda analitica. Sirul este dat de formula celui de-al n-lea termen: a n =f (n). Folosind această formulă, puteți găsi orice membru al secvenței.

Exemplul 3. Expresia pentru termenul k al unei secvențe de numere este cunoscută: a k = 3+2·(k+1). Calculați primii patru termeni ai acestei secvențe.

a 1 =3+2∙(1+1)=3+4=7;

a 2 =3+2∙(2+1)=3+6=9;

a 3 =3+2∙(3+1)=3+8=11;

a 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13.

Exemplul 4. Determinați regula pentru alcătuirea unei secvențe numerice folosind primii câțiva membri ai acesteia și exprimați termenul general al șirului folosind o formulă mai simplă: 1; 3; 5; 7; 9; ... .

Soluţie. Observăm că ni se dă o succesiune de numere impare. Orice număr impar poate fi scris sub forma: 2k-1, unde k este un număr natural, adică. k=1; 2; 3; 4; ... . Răspuns: a k =2k-1.

3) Metodă recurentă. Secvența este dată și de o formulă, dar nu de o formulă a termenului general, care depinde doar de numărul termenului. Este specificată o formulă prin care fiecare termen următor este găsit prin termenii anteriori. În cazul metodei recurente de specificare a unei funcții, unul sau mai mulți primi membri ai secvenței sunt întotdeauna specificați suplimentar.

Exemplul 5. Scrieți primii patru termeni ai șirului (a n ),

dacă a 1 =7; a n+1 = 5+a n .

a 2 =5+a 1 =5+7=12;

a 3 =5+a 2 =5+12=17;

a 4 =5+a 3 =5+17=22. Răspuns: 7; 12; 17; 22; ... .

Exemplul 6. Scrieți primii cinci termeni ai șirului (b n),

dacă b 1 = -2, b 2 = 3; b n+2 = 2b n +b n+1 .

b 3 = 2∙b 1 + b 2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1;

b 4 = 2∙b 2 + b 3 = 2∙3 +(-1) = 6 -1 = 5;

b 5 = 2∙b 3 + b 4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. Răspuns: -2; 3; -1; 5; 3; ... .

4) Metoda grafică. Secvența numerică este dată de un grafic, care reprezintă puncte izolate. Abcisele acestor puncte sunt numere naturale: n=1; 2; 3; 4; ... . Ordonatele sunt valorile membrilor secvenței: a 1 ; a 2 ; a 3 ; un 4;… .

Exemplul 7. Notați toți cei cinci termeni ai secvenței numerice date grafic.

Fiecare punct din acest plan de coordonate are coordonate (n; a n). Să notăm coordonatele punctelor marcate în ordinea crescătoare a abscisei n.

Se obține: (1 ; -3), (2 ; 1), (3 ; 4), (4 ; 6), (5 ; 7).

Prin urmare, a 1 = -3; a 2 =1; a 3 =4; a 4 =6; a 5 =7.

Răspuns: -3; 1; 4; 6; 7.

Secvența numerică considerată ca funcție (în exemplul 7) este dată pe mulțimea primelor cinci numere naturale (n=1; 2; 3; 4; 5), prin urmare, este succesiune de numere finite(constă din cinci membri).

Dacă o secvență de numere ca funcție este dată pe întregul set de numere naturale, atunci o astfel de secvență va fi o succesiune infinită de numere.

Se numește șirul de numere Dacă title="d>0, dacă membrii săi sunt crescători (a n+1 >a n) și descrescătoare, dacă membrii săi sunt în scădere(un n+1

Se numește o secvență de numere crescătoare sau descrescătoare monoton.