Cum să găsiți aria secțiunii transversale a unui cilindru perpendicular pe axă. Cum să găsiți aria unui cilindru

Un cilindru este o figură formată dintr-o suprafață cilindrică și două cercuri situate în paralel. Calcularea ariei unui cilindru este o problemă în ramura geometrică a matematicii, care poate fi rezolvată destul de simplu. Există mai multe metode de rezolvare, care până la urmă se reduc întotdeauna la o singură formulă.

Cum să găsiți aria unui cilindru - reguli de calcul

• Pentru a afla aria cilindrului, trebuie să adăugați cele două zone ale bazei cu aria suprafeței laterale: S = Sside + 2Sbase. Într-o versiune mai extinsă această formulă arată astfel: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Suprafața laterală a unui corp geometric dat poate fi calculată dacă se cunosc înălțimea și raza cercului aflat la baza acestuia. În acest caz, puteți exprima raza de la circumferință, dacă este dat. Înălțimea poate fi găsită dacă valoarea generatorului este specificată în condiție. În acest caz, generatoarea va fi egală cu înălțimea. Formula pentru suprafața laterală a acestui corp arată astfel: S= 2 π rh.
• Aria bazei se calculează folosind formula pentru găsirea aria unui cerc: S osn= π r 2 . În unele probleme, raza poate să nu fie dată, dar circumferința poate fi dată. Cu această formulă, raza este exprimată destul de ușor. С=2π r, r= С/2π. De asemenea, trebuie să vă amintiți că raza este jumătate din diametru.
• Când efectuați toate aceste calcule, numărul π de obicei nu se traduce în 3,14159... Trebuie doar să fie adăugat lângă valoare numerică, care a fost obținut în urma calculelor.
• Apoi, trebuie doar să înmulțiți suprafața găsită a bazei cu 2 și să adăugați la numărul rezultat aria calculată a suprafeței laterale a figurii.
• Dacă problema indică faptul că cilindrul are o secțiune axială și că este un dreptunghi, atunci soluția va fi ușor diferită. În acest caz, lățimea dreptunghiului va fi diametrul cercului aflat la baza corpului. Lungimea figurii va fi egală cu generatoarea sau înălțimea cilindrului. Este necesar să se calculeze valorile necesare și să le înlocuiască în formula deja cunoscută. În acest caz, lățimea dreptunghiului trebuie împărțită la două pentru a găsi aria bazei. Pentru a găsi suprafața laterală, lungimea se înmulțește cu două raze și numărul π.
• Puteți calcula aria unui corp geometric dat prin volumul său. Pentru a face acest lucru, trebuie să derivați valoarea lipsă din formula V=π r 2 h.
• Nu este nimic complicat în calcularea ariei unui cilindru. Trebuie doar să cunoști formulele și să poți deduce din ele cantitățile necesare pentru a efectua calcule.

Găsiți aria secțiunii axiale perpendiculare pe bazele cilindrului. Una dintre laturile acestui dreptunghi este egală cu înălțimea cilindrului, a doua - cu diametrul cercului de bază. În consecință, aria secțiunii transversale în acest caz va fi egală cu produsul laturilor dreptunghiului. S=2R*h, unde S este aria secțiunii transversale, R este raza cercului de bază, dată de condițiile problemei, iar h este înălțimea cilindrului, dată și de condițiile problemei.

Dacă secțiunea este perpendiculară pe baze, dar nu trece prin axa de rotație, dreptunghiul nu va fi egal cu diametrul cercului. Trebuie calculat. Pentru a face acest lucru, problema trebuie să spună la ce distanță de axa de rotație trece planul de secțiune. Pentru a ușura calculele, construiți un cerc la baza cilindrului, desenați o rază și trasați pe ea distanța la care se află secțiunea față de centrul cercului. Din acest punct, trageți perpendiculare la intersecția lor cu cercul. Conectați punctele de intersecție la centru. Trebuie să găsești acordurile. Găsiți dimensiunea unei jumătăți de coardă folosind teorema lui Pitagora. Va fi egal cu rădăcina pătrată a diferenței dintre pătratele razei cercului de la centru la linia de secțiune. a2=R2-b2. Întreaga coardă va fi, în consecință, egală cu 2a. Calculați aria secțiunii transversale, care este egală cu produsul laturilor dreptunghiului, adică S=2a*h.

Cilindrul poate fi tăiat fără a trece prin planul bazei. Dacă secțiunea transversală este perpendiculară pe axa de rotație, atunci va fi un cerc. Aria sa în acest caz este egală cu aria bazelor, adică calculată prin formula S = πR2.

Sfaturi utile

Pentru a vă imagina mai precis secțiunea, faceți un desen și construcții suplimentare pentru ea.

Surse:

• zona secțiunii transversale a cilindrului

Linia de intersecție a unei suprafețe cu un plan aparține atât suprafeței, cât și planului de tăiere. Linia de intersecție a unei suprafețe cilindrice cu un plan de tăiere paralel cu generatricea dreaptă este o linie dreaptă. Dacă planul de tăiere este perpendicular pe axa suprafeței de rotație, secțiunea va fi un cerc. În general, linia de intersecție a unei suprafețe cilindrice cu un plan de tăiere este o linie curbă.

vei avea nevoie

• Creion, riglă, triunghi, modele, busolă, metru.

Instrucţiuni

Pe planul frontal al proiecțiilor П₂, linia de secțiune coincide cu proiecția planului de tăiere Σ₂ sub forma unei linii drepte.
Desemnați punctele de intersecție ale generatricelor cilindrului cu proiecția Σ₂ 1₂, 2₂ etc. la punctele 10₂ și 11₂.

Pe planul P₁ este un cerc. Punctele 1₂, 2₂ etc. marcate pe planul de secțiune Σ₂. folosind o linie de conectare de proiecție sunt proiectate pe conturul acestui cerc. Marcați proiecțiile lor orizontale simetric față de axa orizontală cercuri.

Astfel, se determină proiecțiile secțiunii dorite: pe planul P₂ – o dreaptă (punctele 1₂, 2₂…10₂); pe planul P₁ – un cerc (punctele 1₁, 2₁…10₁).

Folosind două, construiți dimensiunea naturală a secțiunii unui cilindru dat după planul frontal Σ. Pentru a face acest lucru, utilizați metoda proiecției.

Desenați planul П₄ paralel cu proiecția planului Σ₂. Pe această nouă axă x₂₄, marcați punctul 1₀. Distanțele dintre punctele 1₂ – 2₂, 2₂ – 4₂ etc. din proiecția frontală a secțiunii, plasați-o pe axa x₂₄, desenați linii fine conexiune de proiecție perpendiculară pe axa x₂₄.

ÎN această metodă planul P₄ este înlocuit cu planul P₁, prin urmare, din proiecția orizontală, se transferă dimensiunile de la axă la puncte pe axa planului P₄.

De exemplu, pe P₁ pentru punctele 2 și 3 aceasta va fi distanța de la 2₁ și 3₁ la axa (punctul A), etc.

Lăsând deoparte distanțele indicate de proiecția orizontală, obțineți punctele 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀. Apoi, pentru o mai mare precizie a construcției, se determină punctele intermediare rămase.

Prin conectarea tuturor punctelor cu o curbă de model, obțineți dimensiunea naturală necesară a secțiunii cilindrului de către planul frontal proiectat.

Surse:

• cum să înlocuiți un avion

Sfat 3: Cum să găsiți aria secțiunii transversale axiale a unui trunchi de con

Pentru a rezolva această problemă, trebuie să vă amintiți ce este un trunchi de con și ce proprietăți are. Asigurați-vă că faceți un desen. Acest lucru vă va permite să determinați care figură geometrică reprezinta o sectiune. Este foarte posibil ca după aceasta, rezolvarea problemei să nu vă mai fie dificilă.

Instrucţiuni

Un con rotund este un corp obținut prin rotirea unui triunghi în jurul unuia dintre picioarele sale. Linii drepte care emană de la vârf con iar care intersectează baza ei se numesc generatoare. Dacă toți generatorii sunt egali, atunci conul este drept. La baza rundei con zace un cerc. Perpendiculara coborâtă la bază de la vârf este înălțimea con. La dreapta rotundă conînălțimea coincide cu axa acesteia. Axa este o linie dreaptă care se conectează la centrul bazei. Dacă planul orizontal de tăiere al unei circulare con, atunci baza sa superioară este un cerc.

Deoarece nu este specificat în enunțul problemei că este conul care este dat în acest caz, putem concluziona că acesta este un trunchi de con drept, a cărui secțiune orizontală este paralelă cu baza. Secțiunea sa axială, adică plan vertical, care prin axa rotundei con, este un trapez echilateral. Toate axiale secțiuni rotund drept con sunt egali unul cu altul. Prin urmare, pentru a găsi pătrat axial secțiuni, trebuie să găsești pătrat trapez, ale cărui baze sunt diametrele bazelor unui trunchiat con, iar laturile laterale sunt constituenții săi. Înălțimea Frustum con este și înălțimea trapezului.

Aria unui trapez este determinată de formula: S = ½(a+b) h, unde S – pătrat trapezul a – dimensiunea bazei inferioare a trapezului b – dimensiunea bazei sale superioare;

Deoarece condiția nu specifică care sunt date, este posibil ca diametrele ambelor baze ale trunchiului con cunoscute: AD = d1 – diametrul bazei inferioare a trunchiului con;BC = d2 – diametrul bazei sale superioare; EH = h1 – înălțime con.Astfel, pătrat axial secțiuni trunchiată con este definit: S1 = ½ (d1+d2) h1

Surse:

• zona unui trunchi de con

Cilindrul este o figură spațială și este format din două temeiuri egale, care reprezintă cercuri și o suprafață laterală care leagă liniile care delimitează bazele. Pentru a calcula pătrat cilindru, găsiți zonele tuturor suprafețelor sale și adăugați-le.

Cilindru (cilindrul circular) este un corp care este format din două cercuri, combinate prin translație paralelă, și toate segmentele care leagă punctele corespunzătoare acestor cercuri. Cercurile se numesc bazele cilindrului, iar segmentele care leagă punctele corespunzătoare ale circumferințelor cercurilor sunt numite generatoare ale cilindrului.

Bazele cilindrului sunt egale și se află în planuri paralele, iar generatoarele cilindrului sunt paralele și egale. Suprafața cilindrului este formată din bază și suprafața laterală. Suprafața laterală este formată din generatrice.

Un cilindru se numește drept dacă generatoarele lui sunt perpendiculare pe planurile bazei. Un cilindru poate fi considerat ca un corp obtinut prin rotirea unui dreptunghi in jurul uneia dintre laturile sale ca axa. Există și alte tipuri de cilindri - eliptici, hiperbolici, parabolici. O prismă este, de asemenea, considerată un tip de cilindru.

Figura 2 prezintă un cilindru înclinat. Cercurile cu centrele O și O 1 sunt bazele sale.

Raza unui cilindru este raza bazei acestuia. Înălțimea cilindrului este distanța dintre planurile bazelor. Axa unui cilindru este o linie dreaptă care trece prin centrele bazelor. Este paralel cu generatoarele. Secțiunea transversală a unui cilindru cu un plan care trece prin axa cilindrului se numește secțiune axială. Planul care trece prin generatoarea unui cilindru drept și perpendicular pe secțiunea axială trasată prin această generatrică se numește plan tangent al cilindrului.

Un plan perpendicular pe axa cilindrului îl intersectează suprafata lateralaîntr-un cerc egal cu circumferința bazei.

O prismă înscrisă într-un cilindru este o prismă ale cărei baze sunt poligoane egale înscrise în bazele cilindrului. Ei coaste laterale sunt generatoarele cilindrului. Se spune că o prismă este circumscrisă unui cilindru dacă bazele sale sunt poligoane egale circumscrise în jurul bazelor cilindrului. Planurile fețelor sale ating suprafața laterală a cilindrului.

Suprafața laterală a unui cilindru poate fi calculată prin înmulțirea lungimii generatricei cu perimetrul secțiunii cilindrului cu un plan perpendicular pe generatrice.

Suprafața laterală a unui cilindru drept poate fi găsită prin dezvoltarea acestuia. Dezvoltarea unui cilindru este un dreptunghi cu înălțimea h și lungimea P, care este egal cu perimetrul bazei. Prin urmare, aria suprafeței laterale a cilindrului este egală cu aria de dezvoltare a acestuia și se calculează prin formula:

În special, pentru un cilindru circular drept:

P = 2πR și S b = 2πRh.

Suprafața totală a unui cilindru este egală cu suma suprafețelor sale laterale și ale bazelor sale.

Pentru un cilindru circular drept:

S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)

Există două formule pentru a afla volumul unui cilindru înclinat.

Puteți găsi volumul înmulțind lungimea generatricei cu aria secțiunii transversale a cilindrului cu un plan perpendicular pe generatrice.

Volumul unui cilindru înclinat este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea (distanța dintre planurile în care se află bazele):

V = Sh = S l sin α,

unde l este lungimea generatricei, iar α este unghiul dintre generatrice și planul bazei. Pentru un cilindru drept h = l.

Formula pentru găsirea volumului unui cilindru circular este următoarea:

V = π R 2 h = π (d 2 / 4)h,

unde d este diametrul bazei.

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Este un corp geometric delimitat de două plane paralele și o suprafață cilindrică.

Cilindrul este format dintr-o suprafață laterală și două baze. Formula pentru suprafața unui cilindru include un calcul separat al ariei bazei și al suprafeței laterale. Deoarece bazele din cilindru sunt egale, aria sa totală va fi calculată prin formula:

Vom lua în considerare un exemplu de calcul al ariei unui cilindru după ce cunoaștem toate formulele necesare. Mai întâi avem nevoie de formula pentru zona bazei unui cilindru. Deoarece baza cilindrului este un cerc, va trebui să aplicăm:
Ne amintim că în aceste calcule se folosește numărul constant Π = 3,1415926, care se calculează ca raport dintre circumferința unui cerc și diametrul acestuia. Acest număr este o constantă matematică. Ne vom uita, de asemenea, la un exemplu de calcul al ariei bazei unui cilindru puțin mai târziu.

Suprafața laterală a cilindrului

Formula pentru aria suprafeței laterale a unui cilindru este produsul dintre lungimea bazei și înălțimea acesteia:

Acum să ne uităm la o problemă în care trebuie să calculăm aria totală a unui cilindru. În figura dată, înălțimea este h = 4 cm, r = 2 cm Să aflăm aria totală a cilindrului.
Mai întâi, să calculăm aria bazelor:
Acum să ne uităm la un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unui cilindru. Când este extins, reprezintă un dreptunghi. Aria sa este calculată folosind formula de mai sus. Să înlocuim toate datele în el:
Aria totală a unui cerc este suma dublului ariei bazei și a laturii:

Astfel, folosind formulele pentru aria bazelor și suprafața laterală a figurii, am putut găsi suprafața totală a cilindrului.
Secțiunea axială a cilindrului este un dreptunghi în care laturile sunt egale cu înălțimea și diametrul cilindrului.

Formula pentru aria secțiunii transversale axiale a unui cilindru este derivată din formula de calcul:

Cilindru (provine de la limba greacă, de la cuvintele „roller”, „roller”) este un corp geometric care este limitat exterior de o suprafață numită cilindrică și două plane. Aceste planuri intersectează suprafața figurii și sunt paralele între ele.

O suprafață cilindrică este o suprafață care este formată dintr-o linie dreaptă în spațiu. Aceste mișcări sunt astfel încât punctul selectat al acestei linii drepte se deplasează de-a lungul curbei tip plat. O astfel de linie dreaptă se numește generatrix, iar o linie curbă se numește ghid.

Cilindrul este format dintr-o pereche de baze și o suprafață cilindrică laterală. Există mai multe tipuri de cilindri:

1. Cilindru circular, drept. Un astfel de cilindru are o bază și un ghidaj perpendicular pe linia generatoare și există

2. Cilindru înclinat. Unghiul său dintre linia generatoare și bază nu este drept.

3. Un cilindru de altă formă. Hiperbolice, eliptice, parabolice și altele.

Aria unui cilindru, precum și suprafața totală a oricărui cilindru, se găsesc prin adăugarea zonelor bazelor acestei figuri și a suprafeței laterale.

Formula pentru calcularea ariei totale a cilindrului pentru un cilindru circular, drept:

Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).

Aria suprafeței laterale este puțin mai complicată decât aria întregului cilindr, se calculează prin înmulțirea lungimii liniei generatrice cu perimetrul secțiunii formate de un plan perpendicular; la linia generatrice.

Cilindru dat pentru un cilindru circular, drept este recunoscut prin dezvoltarea acestui obiect.

O dezvoltare este un dreptunghi care are o înălțime h și o lungime P, care este egală cu perimetrul bazei.

Rezultă că zona laterala cilindrul este egal cu aria de măturare și poate fi calculat folosind această formulă:

Dacă luăm un cilindru circular, drept, atunci pentru el:

P = 2p R și Sb = 2p Rh.

Dacă cilindrul este înclinat, atunci aria suprafeței laterale ar trebui să fie egală cu produsul dintre lungimea liniei sale generatoare și perimetrul secțiunii, care este perpendicular pe această linie generatoare.

Din păcate, nu există o formulă simplă pentru a exprima suprafața laterală a unui cilindru înclinat în ceea ce privește înălțimea și parametrii bazei sale.

Pentru a calcula un cilindru, trebuie să cunoașteți câteva fapte. Dacă o secțiune cu planul său intersectează bazele, atunci o astfel de secțiune este întotdeauna un dreptunghi. Dar aceste dreptunghiuri vor fi diferite, în funcție de poziția secțiunii. Una dintre laturile secțiunii axiale a figurii, care este perpendiculară pe baze, este egală cu înălțimea, iar cealaltă este egală cu diametrul bazei cilindrului. Și aria unei astfel de secțiuni, în consecință, este egală cu produsul unei laturi a dreptunghiului de cealaltă, perpendicular pe prima, sau produsul dintre înălțimea unei figuri date și diametrul bazei sale.

Dacă secțiunea este perpendiculară pe bazele figurii, dar nu trece prin axa de rotație, atunci aria acestei secțiuni va fi egală cu produsul dintre înălțimea acestui cilindru și o anumită coardă. Pentru a obține o coardă, trebuie să construiți un cerc la baza cilindrului, să desenați o rază și să trasați pe ea distanța la care se află secțiunea. Și din acest punct trebuie să desenați perpendiculare pe raza de la intersecția cu cercul. Punctele de intersecție sunt legate de centru. Și baza triunghiului este cea dorită, care este căutată prin sunete de genul acesta: „Suma pătratelor a două catete este egală cu ipotenuza la pătrat”:

C2 = A2 + B2.

Dacă secțiunea nu afectează baza cilindrului, iar cilindrul în sine este circular și drept, atunci aria acestei secțiuni este găsită ca zona cercului.

Aria cercului este:

S env. = 2p R2.

Pentru a găsi R, trebuie să împărțiți lungimea lui C la 2n:

R = C\2n, unde n este pi, o constantă matematică calculată pentru lucrul cu date din cerc și egală cu 3,14.