Kiasi cha tetrahedron kwa urefu. Tetrahedron ya kawaida (piramidi)

Fikiria pembetatu ya kiholela ABC na uhakika D sio uongo kwenye ndege ya pembetatu hii. Hebu tuunganishe hatua hii na vipeo vya pembetatu ABC kwa kutumia sehemu. Matokeo yake, tunapata pembetatu ADC, CDB, ABD. Uso uliopakana na pembetatu nne ABC, ADC, CDB na ABD inaitwa tetrahedron na imeteuliwa DABC.
Pembetatu zinazounda tetrahedron huitwa nyuso zake.
Pande za pembetatu hizi huitwa kingo za tetrahedron. Na vipeo vyake ni vipeo vya tetrahedron

Tetrahedron ina 4 nyuso, 6 mbavu Na 4 vilele.
Kingo mbili ambazo hazina vertex ya kawaida huitwa kinyume.
Mara nyingi, kwa urahisi, moja ya nyuso za tetrahedron inaitwa msingi, na nyuso tatu zilizobaki ni nyuso za upande.

Kwa hivyo, tetrahedron ni polihedron rahisi zaidi ambayo nyuso zake ni pembetatu nne.

Lakini pia ni kweli kwamba piramidi yoyote ya kiholela ya triangular ni tetrahedron. Kisha pia ni kweli kwamba tetrahedron inaitwa piramidi yenye pembetatu kwenye msingi wake.

Urefu wa tetrahedron inayoitwa sehemu inayounganisha vertex na uhakika iko kwenye uso kinyume na perpendicular yake.
Kati ya tetrahedron inayoitwa sehemu inayounganisha vertex hadi hatua ya makutano ya wastani wa uso kinyume.
Bimedian ya tetrahedron inayoitwa sehemu inayounganisha ncha za kati za kingo zinazoingiliana za tetrahedron.

Kwa kuwa tetrahedron ni piramidi yenye msingi wa pembe tatu, kiasi cha tetrahedron yoyote kinaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula.

• S- eneo la uso wowote,
• H- urefu uliopunguzwa kwa uso huu

Tetrahedron ya kawaida - aina maalum ya tetrahedron

Tetrahedron ambayo nyuso zote ni za usawa inaitwa pembetatu. sahihi.
Mali ya tetrahedron ya kawaida:

• Mipaka yote ni sawa.
• Pembe zote za ndege za tetrahedron ya kawaida ni 60 °
• Kwa kuwa kila kipeo chake ni kipeo cha pembetatu tatu za kawaida, jumla ya pembe za ndege kwenye kila kipeo ni 180°.
• Vertex yoyote ya tetrahedron ya kawaida inakadiriwa ndani ya orthocenter ya uso kinyume (katika hatua ya makutano ya urefu wa pembetatu).

Hebu tupewe tetrahedron ABCD ya kawaida yenye kingo sawa na a. DH ni urefu wake.
Wacha tufanye ujenzi wa ziada BM - urefu wa pembetatu ABC na DM - urefu wa pembetatu ACD.
Urefu wa BM ni sawa na BM na ni sawa na
Fikiria BDM ya pembetatu, ambapo DH, ambayo ni urefu wa tetrahedron, pia ni urefu wa pembetatu hii.
Urefu wa pembetatu iliyoshuka kwa MB unaweza kupatikana kwa kutumia fomula

, Wapi
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Wacha tubadilishe maadili haya kwa fomula ya urefu. Tunapata


Wacha tutoe 1/2a. Tunapata

Wacha tutumie fomula ya tofauti ya mraba

Baada ya mabadiliko madogo tunapata


Kiasi cha tetrahedron yoyote inaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula
,
Wapi ,

Kubadilisha maadili haya, tunapata

Hivyo, formula ya kiasi kwa tetrahedron ya kawaida ni

Wapi a- makali ya tetrahedron

Kuhesabu kiasi cha tetrahedron ikiwa kuratibu za wima zake zinajulikana

Hebu tupewe kuratibu za wima za tetrahedron

Kutoka kwenye vertex tunachora vectors , , .
Ili kupata kuratibu za kila moja ya vekta hizi, toa uratibu wa mwanzo unaolingana kutoka kwa kuratibu mwisho. Tunapata

Kutoka kwa formula ya msingi ya kiasi cha tetrahedron

Wapi S ni eneo la uso wowote, na H- urefu uliopunguzwa nayo, safu nzima ya fomula zinaweza kutolewa ambazo zinaonyesha kiasi kupitia vipengele mbalimbali vya tetrahedron. Wacha tuwasilishe fomula hizi za tetrahedron ABCD.

(2) ,

wapi ∠ ( AD,ABC) - pembe kati ya makali AD na ndege ya uso ABC;

(3) ,

wapi ∠ ( ABC,ABD) - pembe kati ya nyuso ABC Na ABD;

wapi | AB,CD| - umbali kati ya mbavu kinyume AB Na CD, ∠ (AB,CD) ni pembe kati ya kingo hizi.

Fomula (2)–(4) zinaweza kutumika kupata pembe kati ya mistari iliyonyooka na ndege; formula (4) ni muhimu sana, ambayo unaweza kupata umbali kati ya mistari ya kuvuka AB Na CD.

Fomula (2) na (3) zinafanana na fomula S = (1/2)ab dhambi C kwa eneo la pembetatu. Mfumo S = rp formula sawa

Wapi r ni radius ya nyanja iliyoandikwa ya tetrahedron, Σ ni uso wake wa jumla (jumla ya maeneo ya nyuso zote). Pia kuna formula nzuri inayounganisha kiasi cha tetrahedron na radius R nyanja yake iliyoelezwa ( Fomula ya Crellet):

ambapo Δ ni eneo la pembetatu ambalo pande zake ni sawa na bidhaa za kingo tofauti ( AB× CD, A.C.× BD,AD× B.C.) Kutoka kwa fomula (2) na nadharia ya cosine ya pembe tatu (ona trigonometria ya Spherical), tunaweza kupata fomula inayofanana na fomula ya Heron ya pembetatu.

Ufafanuzi wa tetrahedron

Tetrahedron- mwili rahisi zaidi wa polihedra, nyuso na msingi ambao ni pembetatu.

Kikokotoo cha mtandaoni

Tetrahedron ina nyuso nne, ambayo kila mmoja huundwa na pande tatu. Tetrahedron ina wima nne, na kingo tatu zinatoka kwa kila moja.

Mwili huu umegawanywa katika aina kadhaa. Chini ni uainishaji wao.

1. Isohedral tetrahedron- nyuso zake zote ni pembetatu zinazofanana;
2. Tetrahedron ya Orthocentric- urefu wote unaotolewa kutoka kwa kila vertex hadi uso kinyume ni sawa kwa urefu;
3. Tetrahedron ya mstatili- kingo zinazotoka kwenye vertex moja huunda angle ya digrii 90 kwa kila mmoja;
4. Fremu;
5. Sawa;
6. Incentric.

Fomula za kiasi cha Tetrahedron

Kiasi cha mwili uliopewa kinaweza kupatikana kwa njia kadhaa. Hebu tuwaangalie kwa undani zaidi.

Kupitia bidhaa mchanganyiko wa vectors

Ikiwa tetrahedron imejengwa kwenye vekta tatu zilizo na kuratibu:

A ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)a= (a x​ , a y​ , a z​ )
b ⃗ = (b x , b y , b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)b= (b x​ , b y​ , b z​ )
c ⃗ = (c x , c y , c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)c= (c x​ , c y​ , c z​ ) ,

basi kiasi cha tetrahedron hii ni bidhaa iliyochanganywa ya vekta hizi, ambayo ni, kiashiria kifuatacho:

Kiasi cha tetrahedron kupitia kiashiria

V = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\anza(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x (c_matrix \\ c_x & c_ )V=6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ b x​ c x​ ​ a y​ b y​ c y​ ​ a z​ b z​ c z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Tatizo 1

Kuratibu za wima nne za octahedron zinajulikana. A(1, 4, 9) A(1,4,9) A(1, 4, 9), B (8, 7, 3) B(8,7,3) B(8, 7, 3), C (1 , 2 , 3) ​​C (1,2,3) C(1, 2, 3), D(7, 12, 1) D(7,12,1) D(7, 1 2, 1). Tafuta kiasi chake.

Suluhisho

A(1, 4, 9) A(1,4,9) A(1, 4, 9)
B (8, 7, 3) B(8,7,3) B(8, 7, 3)
C (1 , 2 , 3) ​​C (1,2,3) C(1, 2, 3)
D(7, 12, 1) D(7,12,1) D(7, 1 2, 1)

Hatua ya kwanza ni kuamua kuratibu za vectors ambayo mwili huu umejengwa.
Kwa kufanya hivyo, unahitaji kupata kila vector kuratibu kwa kuondoa kuratibu sambamba ya pointi mbili. Kwa mfano, vector inaratibu A B → \mshale wa kulia (AB) A B, yaani, vector iliyoongozwa kutoka kwa uhakika A A A kwa uhakika B B B, hizi ni tofauti kati ya kuratibu zinazofanana za pointi B B B Na A A A:

A B → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)A B= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

A C → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)A C= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
A D → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)A D= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Sasa tutapata bidhaa iliyochanganywa ya vekta hizi; kwa hili tutaunda kiashiria cha mpangilio wa tatu, huku tukikubali hilo A B → = a ⃗ \arrowoverright(AB)=\vec(a)A B= a, A C → = b ⃗ \arrowoverright(AC)=\vec(b)A C= b, A D → = c ⃗ \mshale uliopitiliza(AD)=\vec(c)A D= c.

∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 ∣ = 7 ⋅ (− 2) ⋅) + 6 −3) + 6 −3 − 6) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 + - 3 x 68 = 3 x 68 = 3 x 68 = 3 x 68 a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \anza(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \mwisho(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ b x​ cx​ ​ ay​ by​ cy​ ​ az​ bz​ cz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Hiyo ni, kiasi cha tetrahedron ni sawa na:

$V=61\cdot |$

Jibu

$44.8\text{cm3 .}$

Mfumo wa kiasi cha tetrahedron ya isohedral kando yake

Njia hii ni halali tu kwa kuhesabu kiasi cha tetrahedron ya isohedral, ambayo ni, tetrahedron ambayo nyuso zote zinafanana pembetatu za kawaida.

Kiasi cha tetrahedron ya isohedral

$V=12\sqrt{2\cdot a^3}$

aa- urefu wa makali ya tetrahedron.

Tatizo 2

Amua kiasi cha tetrahedron iliyopewa upande wake sawa na $11\text{cm.}$

Suluhisho

$a=11$

Hebu tubadilishe aa katika fomula ya kiasi cha tetrahedron:

$V=12\sqrt{2\cdot a^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{cm3}}}}}$

Jibu

$156.8\text{cm3 .}$

Kumbuka. Hii ni sehemu ya somo na matatizo ya jiometri (sehemu ya stereometry, matatizo kuhusu piramidi). Ikiwa unahitaji kutatua shida ya jiometri ambayo haipo hapa, andika juu yake kwenye jukwaa. Katika kazi, badala ya ishara ya "mzizi wa mraba", kazi ya sqrt() hutumiwa, ambayo sqrt ni ishara ya mizizi ya mraba, na usemi mkali unaonyeshwa kwenye mabano..Kwa misemo rahisi ya radical, ishara "√" inaweza kutumika. Tetrahedron ya kawaida- Hii ni piramidi ya kawaida ya pembetatu ambayo nyuso zote ni pembetatu za usawa.

Katika tetrahedron ya kawaida, pembe zote za dihedral kwenye kingo na pembe zote za trihedral kwenye wima ni sawa.

Tetrahedron ina nyuso 4, wima 4 na kingo 6.

Kanuni za msingi za tetrahedron ya kawaida hutolewa kwenye meza.

Wapi:
S - eneo la uso wa tetrahedron ya kawaida
V - kiasi
h - urefu umepungua kwa msingi
r - radius ya mduara iliyoandikwa katika tetrahedron
R - circumradius
a - urefu wa makali

Mifano ya vitendo

Kazi.
Pata eneo la uso wa piramidi ya pembe tatu na kila makali sawa na √3

Suluhisho.
Kwa kuwa kingo zote za piramidi ya pembetatu ni sawa, ni ya kawaida. Sehemu ya uso ya piramidi ya kawaida ya pembetatu ni S = a 2 √3.
Kisha
S = 3√3

Jibu: 3√3

Kazi.
Kando zote za piramidi ya kawaida ya triangular ni sawa na 4 cm Pata kiasi cha piramidi

Suluhisho.
Kwa kuwa katika piramidi ya kawaida ya triangular urefu wa piramidi inakadiriwa katikati ya msingi, ambayo pia ni katikati ya mduara uliozunguka, basi.

AO = R = √3 / 3 a
AO = 4√3 / 3

Kwa hivyo urefu wa piramidi OM unaweza kupatikana kutoka kwa pembetatu ya kulia ya AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Tunapata kiasi cha piramidi kwa kutumia formula V = 1/3 Sh
Katika kesi hii, tunapata eneo la msingi kwa kutumia formula S = √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V = 16√2/3

Jibu: 16√2 / 3 cm