Tund "ehitus kompassi ja joonlauaga". Kahe teise korrutise või suhtega võrdse lõigu konstrueerimine kompassi ja joonlaua abil - loovtöö Kujundite konstrueerimine kompassi abil

Juhised

Asetage kompassi nõel märgitud punkti. Joonistage pliiatsiga jala abil mõõdetud raadiusega ringi kaar.

Asetage punkt joonistatud kaare ümbermõõdule. See on loodava kolmnurga teine ​​tipp B.

Asetage jalg sarnaselt teisele tipule. Joonistage teine ​​ring nii, et see lõikuks esimesega.

Loodud kolmnurga kolmas tipp C asub mõlema tõmmatud kaare lõikepunktis. Märgi see pildile.

Olles saanud kõik kolm tippu, ühendage need sirgjoontega, kasutades mis tahes tasast pinda (eelistatavalt joonlauda). Kolmnurk ABC on konstrueeritud.

Kui ringjoon puudutab antud kolmnurga kõiki kolme külge ja selle kese on kolmnurga sees, siis nimetatakse seda kolmnurka kantuks.

Sa vajad

  • joonlaud, kompass

Juhised

Kolmnurga tippudest (jagatava nurga vastaskülg) tõmmatakse kompassiga suvalise raadiusega ringikujulised kaared, kuni need ristuvad;

Kaarte lõikepunkt piki joonlauda on ühendatud jagatava nurga tipuga;

Sama tehakse mis tahes muu nurgaga;

Kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadius on kolmnurga pindala ja poolperimeetri suhe: r=S/p, kus S on kolmnurga pindala ja p=(a+ b+c)/2 on kolmnurga poolperimeeter.

Kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadius on kolmnurga kõigist külgedest võrdsel kaugusel.

Allikad:

  • http://www.alleng.ru/d/math/math42.htm

Vaatleme kolmnurga konstrueerimise ülesannet, kui on teada selle kolm külge või üks külg ja kaks nurka.

Sa vajad

  • - kompass
  • - joonlaud
  • - kraadiklaas

Juhised

Oletame, et on kolm külge: a, b ja c. Selliste külgedega pole selle kasutamine keeruline. Esmalt valime neist külgedest pikima, olgu selleks külg c ja joonistame selle. Seejärel määrame kompassi ava teise külje, külje a väärtusele ja joonistame raadiusega a kompassiga ringi, mille keskpunkt on külje c ühes otsas. Nüüd seadke kompassi ava külje b suurusele ja tõmmake ring, mille keskpunkt on külje c teises otsas. Selle ringi raadius on b. Ühendame ringide lõikepunkti tsentritega ja saame vajalike külgedega kolmnurga.

Antud külje ja kahe külgneva nurgaga kolmnurga joonistamiseks kasutage nurgamõõtjat. Joonistage määratud pikkusega külg. Selle servadel märkige nurgad nurgad nurgad. Nurkade külgede ristumiskohas saadakse kolmnurga kolmas tipp.

Video teemal

Märge

Kolmnurga külgede puhul kehtib järgmine väide: iga kahe külje pikkuste summa peab olema suurem kui kolmas. Kui seda ei täideta, on sellist kolmnurka võimatu ehitada.

Etapi 1 ringid ristuvad kahes punktis. Võite valida ükskõik millise, kolmnurgad on võrdsed.

Tavaline kolmnurk on selline, mille kõik küljed on ühepikkused. Selle määratluse põhjal ei ole seda tüüpi kolmnurga konstrueerimine keeruline ülesanne.

Sa vajad

  • Joonlaud, jooneline paberileht, pliiats

Juhised

Ühendage joonlaua abil paberilehele märgitud punktid järjestikku üksteise järel, nagu on näidatud joonisel 2.

Märge

Korrapärase (võrdkülgse) kolmnurga kõik nurgad on 60 kraadi.

Abistavad nõuanded

Võrdkülgne kolmnurk on ka võrdhaarne kolmnurk. Kui kolmnurk on võrdhaarne, tähendab see, et selle kolmest küljest 2 on võrdsed ja kolmandat külge peetakse aluseks. Iga tavaline kolmnurk on võrdhaarne, samas kui vastupidine pole tõsi.

Igal võrdkülgsel kolmnurgal on samad mitte ainult küljed, vaid ka nurgad, millest igaüks on 60 kraadi. Kuid sellise kolmnurga joonis, mis on konstrueeritud nurgamõõturi abil, ei ole eriti täpne. Seetõttu on selle joonise koostamiseks parem kasutada kompassi.

Sa vajad

  • Pliiats, joonlaud, kompass

Juhised

Seejärel võtke kompass, asetage see otstesse (kolmnurga tulevane tipp) ja tõmmake ring, mille raadius on võrdne selle segmendi pikkusega. Te ei pea joonistama tervet ringi, vaid joonistage sellest vaid neljandik lõigu vastasservast.

Nüüd liigutage kompass segmendi teise otsa ja tõmmake uuesti sama raadiusega ring. Siin piisab, kui konstrueerida ring, mis kulgeb segmendi kaugemast otsast juba konstrueeritud kaarega ristumiskohani. Saadud punkt on teie kolmnurga kolmas tipp.

Ehituse lõpuleviimiseks võtke uuesti joonlaud ja pliiats ning ühendage kahe ringi ristumispunkt segmendi mõlema otsaga. Saate kolmnurga, mille kõik kolm külge on absoluutselt võrdsed - seda saab joonlauaga hõlpsalt kontrollida.

Video teemal

Kolmnurk on hulknurk, millel on kolm külge. Võrdkülgne ehk korrapärane kolmnurk on kolmnurk, mille kõik küljed ja nurgad on võrdsed. Vaatame, kuidas joonistada tavalist kolmnurka.

Sa vajad

  • Joonlaud, kompass.

Juhised

Joonistage kompassi abil teine ​​ring, mille keskpunkt on punktis B ja raadius on võrdne lõiguga BA.

Ringid ristuvad kahes punktis. Valige mõni neist. Nimetage seda C. See on kolmnurga kolmas tipp.

Ühendage tipud kokku. Saadud kolmnurk on õige. Veenduge selles, mõõtes selle külgi joonlauaga.

Vaatleme võimalust korrapärase kolmnurga konstrueerimiseks kahe joonlaua abil. Joonistage lõik OK, see on kolmnurga üks külgedest ning punktid O ja K on selle tipud.

Ilma joonlauda liigutamata pärast lõigu OK koostamist kinnitage teine ​​joonlaud sellega risti. Joonistage sirgjoon m, mis lõikab keskel lõiku OK.

Mõõtke joonlaua abil lõik OE, mis on võrdne lõiguga OK, nii et üks ots langeb kokku punktiga O ja teine ​​on sirgel m. Punkt E on kolmnurga kolmas tipp.

Lõpeta kolmnurga konstrueerimine, ühendades punktid E ja K. Kontrolli konstruktsiooni õigsust joonlaua abil.

Märge

Nurki mõõtes saate veenduda, et kolmnurk on korrapärane, kasutades protraktorit.

Abistavad nõuanded

Võrdkülgse kolmnurga saab joonistada ka ruudulisele paberilehele ühe joonlaua abil. Selle asemel, et kasutada teist joonlauda, ​​kasutage risti jooni.

Allikad:

  • Kolmnurkade klassifikatsioon. Võrdkülgsed kolmnurgad
  • Mis on kolmnurk
  • korrapärase kolmnurga konstrueerimine

Sissekirjutatud kolmnurk on selline, mille kõik tipud on ringil. Saate selle ehitada, kui teate vähemalt ühte külge ja nurka. Ümbermõõtu nimetatakse ümberringjooneks ja see on selle kolmnurga jaoks ainus.

Sa vajad

  • - ring;
  • - kolmnurga külg ja nurk;
  • - paber;
  • - kompass;
  • - joonlaud;
  • - kraadiklaas;
  • - kalkulaator.

Juhised

Punktist A kasutage etteantud nurga joonistamiseks nurgamõõtjat. Jätkake nurga külge, kuni see lõikub ringiga ja asetage punkt C. Ühendage punktid B ja C. Teil on kolmnurk ABC. See võib olla mis tahes tüüpi. Ringi keskpunkt terava kolmnurga puhul on väljaspool, nürikujulise kolmnurga puhul väljaspool ja ristkülikukujulise kolmnurga puhul hüpotenuusil. Kui teile on antud mitte nurk, vaid näiteks kolmnurga kolm külge, arvutage üks nurkadest raadiusest ja teadaolevast küljest.

Palju sagedamini tuleb tegeleda pöördkonstruktsiooniga, kui sulle antakse kolmnurk ja sa pead kirjeldama selle ümber olevat ringi. Arvutage selle raadius. Seda saab teha mitme valemi abil, olenevalt sellest, mida teile antakse. Raadiuse võib leida näiteks vastasnurga külje ja siinuse järgi. Sel juhul võrdub see külje pikkusega, mis on jagatud kahekordse vastasnurga siinusega. See tähendab, R=a/2sinCAB. Seda saab väljendada ka läbi külgede korrutise, antud juhul R=abc/√(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a).

Määrake ringi keskpunkt. Jagage kõik küljed pooleks ja tõmmake keskpunktidega risti. Nende ristumispunkt on ringi keskpunkt. Joonistage see nii, et see lõikuks kõigi nurkade tippudega.

Täisnurkse kolmnurga kaks lühikest külge, mida tavaliselt nimetatakse jalgadeks, peavad definitsiooni järgi olema üksteisega risti. See figuuri omadus hõlbustab oluliselt selle ehitamist. Siiski ei ole alati võimalik perpendikulaarsust täpselt määrata. Sellistel juhtudel saate arvutada kõigi külgede pikkused - need võimaldavad teil kolmnurga ehitada ainsal võimalikul ja seega õigel viisil.

Sa vajad

  • Paber, pliiats, joonlaud, kraadiklaas, kompass, ruut.

Entsüklopeediline YouTube

    1 / 5

    ✪ 7. klass, 22. tund, Kompassi ja joonlauaga konstruktsioonid

    ✪ Geometry 7 Circle Constructions koos kompassi ja joonlauaga

    ✪ Kolmnurga konstrueerimine kahe külje ja nendevahelise nurga abil

    ✪ Geomeetria 7 Näiteid ehitusprobleemidest

    ✪ 7. klass, 23. tund, Näiteid ehitusprobleemidest

    Subtiitrid

Näited

Bisektsiooni probleem. Kasutage selle segmendi jagamiseks kompassi ja joonlauda AB kaheks võrdseks osaks. Üks lahendustest on näidatud joonisel:

  • Joonistame kompassi abil ringid, mille keskpunktid on punktides A Ja B raadius AB.
  • Ristmispunktide leidmine P Ja K kaks konstrueeritud ringi (kaared).
  • Joonistage joonlaua abil punkte läbiv lõik või joon P Ja K.
  • Lõigu soovitud keskpunkti leidmine AB- ristumispunkt AB Ja PQ.

Ametlik määratlus

Ehitusülesannetes vaadeldakse paljusid järgmisi objekte: tasapinna kõik punktid, kõik tasapinna sirgjooned ja tasandi kõik ringid. Ülesande tingimustes on teatud objektide kogum algselt täpsustatud (arvestatud konstrueerituks). Ehitatud objektide komplekti on lubatud lisada (ehitada):

  1. suvaline punkt;
  2. suvaline punkt antud sirgel;
  3. suvaline punkt antud ringil;
  4. kahe etteantud sirge lõikepunkt;
  5. etteantud sirge ja etteantud ringjoone lõike-/puutepunktid;
  6. kahe etteantud ringi lõike-/puutepunktid;
  7. antud punkti läbiv suvaline sirge;
  8. kahte etteantud punkti läbiv sirge;
  9. suvaline ringjoon, mille keskpunkt on antud punktis;
  10. suvaline ringjoon, mille raadius on võrdne kahe antud punkti vahelise kaugusega;
  11. ringjoon, mille keskpunkt on antud punktis ja mille raadius on võrdne kahe antud punkti vahelise kaugusega.

Lõpliku arvu nende toimingute abil on vaja konstrueerida teine ​​objektide komplekt, mis on antud seoses algse hulgaga.

Ehitusprobleemi lahendus sisaldab kolme olulist osa:

  1. Antud komplekti koostamise meetodi kirjeldus.
  2. Tõestus, et kirjeldatud viisil konstrueeritud hulk on tõepoolest antud suhtes alghulgaga. Tavaliselt teostatakse konstruktsiooni tõestamine teoreemi tavatõestusena, tuginedes aksioomidele ja teistele tõestatud teoreemidele.
  3. Kirjeldatud ehitusmeetodi analüüs selle rakendatavuse osas algtingimuste erinevatele versioonidele, samuti kirjeldatud meetodil saadud lahenduse unikaalsuse või mitteunikaalsuse osas.

teadaolevad probleemid

Teine hästi tuntud ja lahendamatu probleem kompassi ja joonlaua kasutamisel on kolmnurga konstrueerimine, kasutades kolme etteantud pikkusega poolitajaid. See probleem jääb lahendamatuks isegi tööriistaga, mis teostab nurga kolmikut (nt tomahawk).

Kompassi ja joonlaua abil ehitamiseks vastuvõetavad segmendid

Nende tööriistade abil on võimalik koostada segment, mille pikkus on:

Segmendi konstrueerimiseks, mille pikkus on arvuliselt võrdne etteantud lõikude pikkuste korrutisega, jagatisega ja ruutjuurega, on vaja konstruktsioonitasandil määrata ühiklõik (st segment pikkusega 1). Teiste loomulike jõududega, mis ei ole 2 astmed, segmentidest juurte eraldamine on kompassi ja joonlaua abil võimatu. Nii on näiteks võimatu kompassi ja joonlaua abil ühiklõigu põhjal pikkusega segmenti konstrueerida. Eelkõige sellest faktist järeldub, et kuubi kahekordistamise probleem on lahendamatu.

Võimalikud ja võimatud konstruktsioonid

Formaalsest aspektist vaadatuna taandatakse mis tahes konstruktsiooniülesande lahendus mõne algebralise võrrandi graafiliseks lahenduseks ja selle võrrandi koefitsiendid on seotud etteantud lõikude pikkustega. Seetõttu võime öelda, et ehitusülesanne taandub mõne algebralise võrrandi tegelike juurte leidmisele.

Seetõttu on mugav rääkida arvu konstrueerimisest - teatud tüüpi võrrandi graafilisest lahendusest.

Segmentide võimalike konstruktsioonide põhjal on võimalikud järgmised konstruktsioonid:

  • Lineaarvõrrandite lahenduste konstrueerimine.
  • Lahenduste konstrueerimine võrranditele, mis taandavad ruutvõrrandite lahenditeks.

Teisisõnu, algarvude ruutjuure abil on võimalik konstrueerida ainult aritmeetiliste avaldistega võrdseid segmente (antud segmentide pikkused).

Oluline on märkida, et on oluline, et otsust tuleb väljendada kasutades ruut juured, mitte suvalise astme radikaalid. Isegi kui algebralisel võrrandil on lahend radikaalides, siis sellest ei järeldu, et selle lahendiga võrdväärset lõiku oleks võimalik kompassi ja joonlauaga konstrueerida. Lihtsaim võrrand on järgmine: x 3 − 2 = 0, (\displaystyle x^(3)-2=0,) on seotud kuubi kahekordistamise kuulsa probleemiga, mis taandub sellele kuupvõrrandile. Nagu eespool mainitud, on selle võrrandi lahendus ( 2 3 (\displaystyle (\sqrt[(3)](2)))) ei saa konstrueerida kompassi ja joonlauaga.

Tavalise 17-nurgalise konstrueerimise võimalus tuleneb selle külje kesknurga koosinuse avaldisest:

cos ⁡ (2 π 17) = −1 16 + 1 16 17 + 1 16 34 − 2 17 + (\displaystyle \cos (\left((\frac (2\pi )(17))\right))=- (\frac (1) (16))\;+\;(\frac (1) (16))(\sqrt (17))\;+\;(\frac (1) (16))(\sqrt (34-2(\sqrt (17))))\;+\;) + 1 8 17 + 3 17 − 34 − 2 17 − 2 34 + 2 17 , (\displaystyle +(\frac (1) (8))(\sqrt (17+3(\sqrt (17))-(\) sqrt (34-2(\sqrt (17))))-2(\sqrt (34+2(\sqrt (17))))))) mis omakorda tuleneb vormivõrrandi taandamise võimalusest x F n − 1 = 0, (\displaystyle x^(F_(n))-1=0,) Kus F n (\displaystyle F_(n))- mis tahes algarv Fermat, kasutades muutuja muutmist ruutvõrrandiks.

Variatsioonid ja üldistused

  • Konstruktsioonid ühe kompassi abil. Mohr-Mascheroni teoreemi järgi saab ühe kompassi abil konstrueerida mis tahes kujundi, mida saab kompassi ja joonlauaga konstrueerida. Sel juhul loetakse sirgjoon konstrueerituks, kui sellele on määratud kaks punkti.
  • Konstruktsioonid ühe joonlaua abil. Ilmselgelt saab ühe joonlaua abil teostada ainult projektiiv-invariantseid konstruktsioone. Eriti,
    • segmenti on isegi võimatu jagada kaheks võrdseks osaks,
    • Samuti on võimatu leida antud ringi keskpunkti.
Kuid,
  • Kui tasapinnal on eelnevalt joonistatud ring, millel on märgitud keskpunkt ja üks joonlaud, saate teha samu konstruktsioone nagu kompassi ja joonlauaga (

Kui on täiesti loomulik, et suurema hulga tööriistade abil on võimalik lahendada suurem hulk ehitusprobleeme, siis võiks ette näha, et vastupidi, tööriistadele seatud piirangutega on lahendatavate ülesannete klass. kitsendatakse. Seda tähelepanuväärsem on itaallase Mascheroni (1750-1800) avastus: kõik geomeetrilised konstruktsioonid, mida saab teha kompassi ja joonlauaga, saab teha lihtsalt sirkliga. Muidugi tuleb märkida, et tegelikult on võimatu tõmmata sirget läbi kahe antud punkti ilma joonlauata, mistõttu Mascheroni teooria seda põhikonstruktsiooni ei hõlma. Selle asemel peame eeldama, et sirge on antud, kui on antud kaks selle punkti. Kuid pelgalt kompassi abil on võimalik leida kahe selliselt defineeritud sirge lõikepunkt ehk sirge ja ringiga ristumispunkt.

Tõenäoliselt kõige lihtsam näide Mascheroni konstruktsioonist on etteantud lõigu kahekordistamine Lahendus oli juba antud leheküljel 185. Edasi leheküljel 186 õppisime, kuidas antud lõiku pooleks jagada. Vaatame nüüd, kuidas poolitada ringi kaare keskpunktiga O. Siin on selle konstruktsiooni kirjeldus. Joonistame kaks kaare, mille keskpunktid on raadiusega.Punktist O joonistame nendele kaaredele kaks sellist kaare ja et Siis leiame kaare lõikepunkti keskpunktiga P ja raadiuse ning kaare keskpunkti ja raadiusega. , võttes raadiuseks lõigu, kirjeldame kaare keskpunktiga P või kuni lõikumiskoht kaare lõikepunktiga on soovitud kaare keskpunkt. Tõestuse jätame harjutusena lugejale.

Riis. 48. Ringjoone ja keskpunkti mitteläbiva sirge lõikepunkt

Mascheroni peamist väidet oleks võimatu tõestada, näidates iga konstruktsiooni puhul, mida saab teha kompassi ja sirgjoonega, kuidas seda saab teha ainult kompassiga: võimalikke konstruktsioone on ju lugematu arv. Kuid me saavutame sama eesmärgi, kui teeme kindlaks, et kõik järgmised põhikonstruktsioonid on teostatavad ühe kompassi abil:

1. Joonistage ring, kui keskpunkt ja raadius on antud.

2. Leia kahe ringi lõikepunktid.

3. Leia sirge ja ringi lõikepunktid.

4. Leia kahe sirge lõikepunkt.

Iga geomeetriline konstruktsioon (tavalises tähenduses, eeldusel, et on olemas kompass ja sirgjoon) koosneb nende elementaarkonstruktsioonide lõplikust jadast. Et kaks esimest neist saab ühe kompassi abil tehtud, on kohe selge. Keerulisemad konstruktsioonid 3 ja 4 teostatakse eelmises lõigus käsitletud inversiooni omaduste abil.

Pöördume konstruktsiooni 3 juurde: leiame antud ringjoone C lõikepunktid neid punkte läbiva sirgega. Joonistame kaared, mille keskpunktid ja raadiused on vastavalt võrdsed ja, välja arvatud punkt O, ristuvad punktis O. punkt P. Seejärel konstrueerime ringi C suhtes punktiga P pöördvõrdelise punkti (vt konstruktsiooni kirjeldatud lk 186). Lõpuks joonistame ringi keskpunkti ja raadiusega (see lõikub kindlasti C-ga): selle lõikepunktid ringiga C on soovitud. Selle tõestamiseks piisab, kui teha kindlaks, et kõik punktid on sama kaugel (nagu punktide puhul, tuleneb nende sarnane omadus kohe konstruktsioonist). Tõepoolest, piisab, kui viidata tõsiasjale, et punkti pöördpunkt on eraldatud punktidest, mis on võrdsel kaugusel ringi C raadiusega (vt lk 184). Väärib märkimist, et punkte läbiv ringjoon on pöördsirge ringi C suhtes ümberpööratud, kuna see ring ja sirge ristuvad

Riis. 49. Ringjoone ja keskpunkti läbiva sirge lõikepunkt

C-ga samades punktides. (Pööramisel jäävad põhiringi punktid paigale.)

Näidatud konstruktsioon ei ole teostatav ainult siis, kui sirgjoon läbib keskpunkti C. Kuid siis saab lõikepunktid leida lk 188 kirjeldatud konstruktsiooni abil, mis saadakse, kui joonistame suvalise ringi keskpunktiga B, mis lõikub punktis C punktid Kaht etteantud punkti ühendava sirge pöördringi joonistamise meetod annab kohe konstruktsiooni, mis lahendab ülesande 4. Olgu sirged antud punktide kaupa (joonis 50).

Riis. 50. Kahe sirge ristumiskoht

Joonistame suvalise ringi C ja konstrueerime ülaltoodud meetodi abil sirgetega pöördjooned ja. Need ringid lõikuvad punktis O ja teises punktis Punkt X, punkti pöördpunkt, on soovitud lõikepunkt: kuidas konstrueerida seda on juba eespool selgitatud. See, et X on soovitud punkt, on selge sellest, et on olemas ainulaadne punkt, mis on pöördpunkt punktiga, mis kuulub samaaegselt mõlemale sirgele ja seetõttu peab punkt X, pöördpunkt, asuma samaaegselt mõlemal sirgel.

Need kaks konstruktsiooni viivad lõpule Mascheroni konstruktsioonide, milles on lubatud kasutada ainult kompassi, ja tavaliste sirkli ja joonlauaga geomeetriliste konstruktsioonide samaväärsuse tõestuse.

Me ei hoolinud siin käsitletud üksikute probleemide lahendamise elegantsist, sest meie eesmärk oli selgitada Mascheroni konstruktsioonide sisemist tähendust. Kuid näitena toome välja ka tavalise viisnurga ehituse; täpsemalt, me räägime umbes viie punkti leidmisest ringilt, mis võivad toimida korrapärase sissekirjutatud viisnurga tippudena.

Olgu A suvaline punkt ringil K. Kuna korrapärase sissekirjutatud kuusnurga külg on võrdne ringi raadiusega, ei ole keeruline joonistada K-le punkte nii, et

Tuntud iidsetest aegadest.

Ehitustöödes on võimalikud järgmised toimingud:

  • Märgi ükskõik milline punkt tasapinnal, punkt ühel konstrueeritud sirgel või kahe konstrueeritud sirge lõikepunkt.
  • Kasutades kompass joonistage ring, mille keskpunkt on konstrueeritud punktis ja mille raadius on võrdne kahe juba konstrueeritud punkti vahelise kaugusega.
  • Kasutades valitsejad tõmmake sirgjoon, mis läbib kahte konstrueeritud punkti.

Sel juhul peetakse kompassi ja joonlauda ideaalseteks tööriistadeks, eriti:


1. Lihtne näide

Segmendi jagamine pooleks

Ülesanne. Kasutage selle segmendi jagamiseks kompassi ja joonlauda AB kaheks võrdseks osaks. Üks lahendustest on näidatud joonisel:

  • Koostame kompassi abil ringi, mille keskpunkt on punktis A raadius AB.
  • Ringi konstrueerimine, mille keskpunkt on punktis B raadius AB.
  • Ristmispunktide leidmine P Ja K kaks konstrueeritud ringi.
  • Kasutage joonlauda, ​​et tõmmata punkte ühendav joon P Ja K.
  • Ristmispunkti leidmine AB Ja P.Q. See on lõigu soovitud keskpunkt AB.

2. Korrapärased hulknurgad

Muistsed geomeetrid teadsid õige konstrueerimise meetodeid n-gonid jaoks ja .


4. Võimalikud ja võimatud konstruktsioonid

Kõik konstruktsioonid pole midagi muud kui mõne võrrandi lahendus ja selle võrrandi koefitsiendid on seotud etteantud lõikude pikkustega. Seetõttu on mugav rääkida arvu konstrueerimisest - teatud tüüpi võrrandi graafilisest lahendusest.

Ehitusnõuete raames on võimalikud järgmised ehitised:

Teisisõnu, aritmeetiliste avaldistega võrdseid arve saab konstrueerida ainult algarvude ruutjuure (segmentide pikkuste) abil. Näiteks,


5. Variatsioonid ja üldistused


6. Lõbusad faktid

  • GeoGebra, Kig, KSEG - programmid, mis võimaldavad teostada konstruktsioone kasutades kompassi ja joonlaudu.

Kirjandus

  • A. Adler. Geomeetriliste konstruktsioonide teooria, Saksa keelest tõlkinud G. M. Fikhtengolts. Kolmas väljaanne. L., Navchpedvid, 1940-232 lk.
  • I. Aleksandrov, Geomeetriliste ehitusülesannete kogumine, Kaheksateistkümnes trükk, M., Navchpedvid, 1950-176 lk.
  • B. I. Argunov, M B Balk.

Selle lõigu materjali saab kasutada valikainete tundides. Seda saab üliõpilastele esitada nii loengu kui ka üliõpilasaruannete vormis.

Probleemid, mida on iidsetest aegadest tuntud kui "kuulsaid antiikaja probleeme", on paljude sajandite jooksul palju tähelepanu pälvinud. Selle nime all ilmusid tavaliselt kolm kuulsat probleemi:

1) ringjoone ruudustamiseks,

2) nurga kolmiklõik,

3) kuubi kahekordistamine.

Kõik need ülesanded tekkisid iidsetel aegadel inimeste praktilistest vajadustest. Nende olemasolu esimesel etapil toimisid nad arvutusprobleemidena: mõne "retsepti" abil arvutati soovitud koguste (ringi pindala, ümbermõõt jne) ligikaudsed väärtused. Nende probleemide ajaloo teises etapis toimuvad nende olemuses olulised muutused: neist saavad geomeetrilised (konstruktiivsed) probleemid.

Vana-Kreekas anti neile sel perioodil klassikalisi formulatsioone:

1) ehitada antud ringiga võrdne ruut;

2) jaga see nurk kolmeks võrdseks osaks;

3) konstrueerida uue kuubi serv, mille ruumala oleks kaks korda suurem antud kuubiku omast.

Kõik need geomeetrilised konstruktsioonid pakuti teostamiseks kompassi ja joonlaua abil.

Nende probleemide sõnastamise lihtsus ja nende lahendamisel ette tulnud „ületamatud raskused“ aitasid kaasa nende populaarsuse kasvule. Püüdes leida nendele probleemidele rangeid lahendusi, saavutasid Vana-Kreeka teadlased "teel" palju olulisi matemaatika tulemusi, mis aitasid kaasa erinevate matemaatiliste teadmiste muutumisele iseseisvaks deduktiivseks teaduseks (pythagoraslased, Chiose Hippokrates ja Archimedes lahkusid sel ajal eriti märgatav märk).

Kuubi kahekordistamise probleem.

Kuubi kahekordistamise probleem on järgmine: teades antud kuubi serva, konstrueerida kuubiku serv, mille ruumala oleks kaks korda suurem antud kuubiku ruumalast.

Olgu a antud kuubi serva pikkus, x soovitud kuubi serva pikkus. Olgu etteantud kuubi ruumala ja soovitud kuubi ruumala, siis saame kuubi ruumala arvutamise valemi järgi: = ja kuna vastavalt ülesande tingimustele jõuame võrrandini.

Algebrast on teada, et antud võrrandi täisarvuliste kordajatega ratsionaalsed juured saavad olla ainult täisarvud ja sisalduda võrrandi vaba liikme jagajate hulgas. Kuid arvu 2 ainsad jagajad on numbrid +1, - 1, +2, - 2 ja ükski neist ei vasta algsele võrrandile. Seetõttu pole võrrandil ratsionaalseid juuri, mis tähendab, et kuubi kahekordistamise probleemi ei saa lahendada kompassi ja joonlaua abil.

Kuubiku kahekordistamise probleemi kompassi ja joonlaua abil saab lahendada ainult ligikaudselt. Siin on üks lihtsamaid viise selle probleemi ligikaudseks lahendamiseks.

Olgu AB=BC=a ja ABC. Konstrueerime AD=AC, seejärel CD 1% täpsusega. Tõepoolest, CD 1.2586…. Samal ajal =1,2599….

Ringi ruudu kandmise probleem.

Probleemi lahendamatuse põhjendamine kompassi ja joonlaua abil.

Ringi ruudustamiseks on järgmine ülesanne: konstrueerida ruut, mille suurus on võrdne ringiga.

Laskma on antud ringi raadius ja olgu soovitud ruudu külje pikkus. Siis siit.

Järelikult lahendatakse ringi nelinurkseks muutmise probleem, kui konstrueerida pikkusega segment. Kui antud ringi raadiust võtta ühiklõiguks (=1), siis taandatakse asi ühiklõigu põhjal pikkuse lõigu konstrueerimisele.

Teatavasti saame ühiklõike teades kasutada kompassi ja joonlauda, ​​et konstrueerida ainult need lõigud, mille pikkust väljendatakse ratsionaalarvudena, kasutades ratsionaalsete tehtete lõplikku kogumit ja eraldades ruutjuured ning mis on seetõttu algebralised arvud. Sel juhul ei kasutata kõiki algebralisi numbreid. Näiteks ei saa koostada pikkuse segmenti vms.

1882. aastal tõestas Lindemann, et see on transtsendentaalne. Sellest järeldub, et kompassi ja joonlauaga on võimatu konstrueerida pikkusesegmenti ning seetõttu on nende vahenditega ringi ruudustamiseks probleem lahendamatu.

Probleemi ligikaudne lahendus kompassi ja joonlaua abil.

Vaatleme üht pikkussegmentide ligikaudse ehitamise tehnikat. See tehnika on järgmine. Veerand ringjoonest AB, mille keskpunkt on punktis O ja mille raadius on võrdne ühega, jagatakse pooleks punktiga C. Läbimõõduga CD jätkamisel eraldame raadiusega võrdse lõigu DE. Punktist E tõmbame kiired EA ja EB, kuni need lõikuvad puutujaga punktis C. Lõigatud lõik AB on ligikaudu võrdne kaare AB pikkusega ja kahekordistunud lõik on võrdne poolringiga.

Selle lähenduse suhteline viga ei ületa 0,227%.

Nurga trisektsiooni probleem.

Probleemi lahendamatuse põhjendamine kompassi ja joonlaua abil.

Nurga trisektsiooni probleem on järgmine: Jagage see nurk kolmeks võrdseks osaks.

Piirdugem ülesande lahendamisega nurkade puhul, mis ei ületa 90. Kui on nürinurk, siis =180-, kus<90, так что, и поэтому задача о трисекции тупого угла сводится к задаче о трисекции острого угла.

Pange tähele, et (ühiklõigu olemasolul) on nurga (90) konstrueerimise probleem samaväärne segmendi x=cos konstrueerimise probleemiga. Tegelikult, kui nurk on konstrueeritud, siis lõigu x = cos konstruktsioon taandatakse täisnurkse kolmnurga konstruktsiooniks, kasutades hüpotenuusi ja teravnurka.

Tagasi. Kui on konstrueeritud segment x, siis nurga konstrueerimine nii, et x = cos taandatakse täisnurkse kolmnurga konstruktsiooniks, kasutades hüpotenuusi ja jalga.

Olgu antud nurk ja soovitud nurk, seega =. Siis cos=cos 3. On teada, et cos 3= 4cos-3cos. Seega, eeldades, et cos = ja cos =, jõuame võrrandini:

cos = 4cos-3cos,

Lõigu ja seega ka nurga saab konstrueerida ainult siis, kui sellel võrrandil on vähemalt üks ratsionaalne juur. Kuid seda ei juhtu kõigiga ja seetõttu ei saa nurga kolmistamise probleemi üldiselt kompassi ja joonlaua abil lahendada. Näiteks. =60 korral saame =1 ja leitud võrrand on kujul: . Lihtne on kontrollida, et sellel võrrandil pole ratsionaalset juurt, mis tähendab, et 60-kraadist nurka on võimatu kompassi ja joonlaua abil jagada kolmeks võrdseks osaks. Seega ei saa nurga kolmilõike probleemi lahendada kompassi ja joonlauaga üldkujul.

Probleemi ligikaudne lahendus kompassi ja joonlaua abil.

Vaatleme ühte meetodit probleemi ligikaudseks lahendamiseks kompassi ja joonlaua abil, mille pakkus välja Albert Durer (1471-1528).

Olgu antud nurk ASB. Tipust S kirjeldame suvalise raadiusega ringi ja ühendame nurga külgede lõikepunktid ringjoonega kõõlu AB abil. Jagame selle akordi punktides R ja R kolmeks võrdseks osaks (A R = R R = RB). Punktidest A ja B, nagu ka keskpunktidest, raadiustega A R = RB kirjeldame kaare, mis lõikuvad ringjoone punktides T ja T. Teostame RSAB-i. Raadiustega A S= BS joonistame kaared, mis lõikuvad AB punktides U ja U. Kaared AT, SS ja TB on üksteisega võrdsed, kuna neid ühendavad võrdsed kõõlused.

Nurga X ja X kolmilõikepunktide leidmiseks jagab Dürer lõigud RU ja RU punktidega PV ja PV kolmeks võrdseks osaks. Seejärel joonistame kaared raadiustega AV ja BV, mis lõikuvad ringjoone punktides X ja X. Ühendades need punktid S-ga, saame selle nurga jagamise kolmeks võrdseks osaks, millel on hea lähendus tõelistele väärtustele.