पाठ "दिशासूचक यंत्र और शासक के साथ निर्माण"। कम्पास और रूलर का उपयोग करके दो अन्य के गुणनफल या अनुपात के बराबर एक खंड का निर्माण - रचनात्मक कार्य कम्पास का उपयोग करके आकृतियों का निर्माण
निर्देश
कम्पास सुई को चिन्हित बिंदु पर रखें। एक स्टाइलस के साथ एक पैर का उपयोग करके, मापी गई त्रिज्या के साथ एक वृत्त का चाप बनाएं।
खींचे गए चाप की परिधि पर कहीं भी एक बिंदु लगाएं। यह बनाए जा रहे त्रिभुज का दूसरा शीर्ष B होगा।
इसी प्रकार पैर को दूसरी चोटी पर रखें। एक और वृत्त बनाएं ताकि वह पहले को प्रतिच्छेद करे।
निर्मित त्रिभुज का तीसरा शीर्ष C दोनों खींचे गए चापों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्थित है। इसे चित्र पर अंकित करें.
सभी तीन शीर्ष प्राप्त करने के बाद, उन्हें किसी भी सपाट सतह (अधिमानतः एक शासक) का उपयोग करके सीधी रेखाओं से जोड़ दें। त्रिभुज ABC का निर्माण किया गया है।
यदि कोई वृत्त किसी दिए गए त्रिभुज की तीनों भुजाओं को छूता है और उसका केंद्र त्रिभुज के अंदर है, तो इसे त्रिभुज में अंकित कहा जाता है।
आपको चाहिये होगा
- शासक, दिशा सूचक यंत्र
निर्देश
त्रिभुज के शीर्षों (विभाजित कोण के विपरीत भुजा) से, मनमानी त्रिज्या के गोलाकार चाप एक कम्पास के साथ खींचे जाते हैं जब तक कि वे एक दूसरे के साथ प्रतिच्छेद न कर दें;
रूलर के अनुदिश चापों का प्रतिच्छेदन बिंदु विभाज्य कोण के शीर्ष से जुड़ा होता है;
किसी अन्य कोण के साथ भी ऐसा ही किया जाता है;
त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या त्रिभुज के क्षेत्रफल और उसके अर्ध-परिधि का अनुपात होगी: r=S/p, जहां S त्रिभुज का क्षेत्रफल है, और p=(a+ b+c)/2 त्रिभुज का अर्ध-परिधि है।
त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या त्रिभुज की सभी भुजाओं से समान दूरी पर होती है।
स्रोत:
- http://www.alleng.ru/d/math/math42.htm
आइए एक त्रिभुज के निर्माण की समस्या पर विचार करें, बशर्ते कि इसकी तीन भुजाएँ या एक भुजा और दो कोण ज्ञात हों।
आपको चाहिये होगा
- - दिशा सूचक यंत्र
- - शासक
- - चांदा
निर्देश
मान लीजिए कि तीन भुजाएँ हैं: ए, बी और सी। ऐसे पक्षों के साथ इसका उपयोग करना मुश्किल नहीं है। सबसे पहले, आइए इनमें से सबसे लंबी भुजा का चयन करें, इसे भुजा c होने दें, और इसे बनाएं। फिर हम कम्पास के उद्घाटन को दूसरी तरफ, साइड ए के मान पर सेट करते हैं, और साइड सी के किसी एक छोर पर केंद्र के साथ त्रिज्या ए के कम्पास के साथ एक वृत्त खींचते हैं। अब कंपास के उद्घाटन को साइड बी के आकार में सेट करें और साइड सी के दूसरे छोर पर केंद्र के साथ एक वृत्त बनाएं। इस वृत्त की त्रिज्या b है. आइए वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदु को केंद्रों से जोड़ें और आवश्यक भुजाओं वाला एक त्रिभुज प्राप्त करें।
एक दी गई भुजा और दो आसन्न कोणों वाला एक त्रिभुज बनाने के लिए, एक चाँदे का उपयोग करें। निर्दिष्ट लंबाई की एक भुजा बनाएं. इसके किनारों पर एक चांदे से कोनों को चिह्नित करें। कोणों की भुजाओं के प्रतिच्छेदन पर, त्रिभुज का तीसरा शीर्ष प्राप्त करें।
विषय पर वीडियो
टिप्पणी
एक त्रिभुज की भुजाओं के लिए, निम्नलिखित कथन सत्य है: किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी से अधिक होना चाहिए। यदि यह पूरा नहीं होता है, तो ऐसे त्रिभुज का निर्माण असंभव है।
चरण 1 में वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। आप कोई भी चुन सकते हैं, त्रिभुज बराबर होंगे।
नियमित त्रिभुज वह होता है जिसकी सभी भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं। इस परिभाषा के आधार पर इस प्रकार के त्रिभुज का निर्माण कोई कठिन कार्य नहीं है।
आपको चाहिये होगा
- शासक, पंक्तिबद्ध कागज की शीट, पेंसिल
निर्देश
रूलर का उपयोग करके, कागज के टुकड़े पर अंकित बिंदुओं को एक के बाद एक क्रमिक रूप से जोड़ें, जैसा कि चित्र 2 में दिखाया गया है।
टिप्पणी
एक नियमित (समबाहु) त्रिभुज में सभी कोण 60 डिग्री के बराबर होते हैं।
मददगार सलाह
एक समबाहु त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज भी होता है। यदि कोई त्रिभुज समद्विबाहु है, तो इसका मतलब है कि इसकी 3 में से 2 भुजाएँ बराबर हैं, और तीसरी भुजा को आधार माना जाता है। कोई भी नियमित त्रिभुज समद्विबाहु होता है, जबकि इसका विपरीत सत्य नहीं है।
किसी भी समबाहु त्रिभुज की न केवल भुजाएँ समान होती हैं, बल्कि कोण भी समान होते हैं, जिनमें से प्रत्येक 60 डिग्री के बराबर होता है। हालाँकि, चांदा का उपयोग करके बनाए गए ऐसे त्रिभुज का चित्र अत्यधिक सटीक नहीं होगा। इसलिए, इस आकृति को बनाने के लिए कंपास का उपयोग करना बेहतर है।
आपको चाहिये होगा
- पेंसिल, शासक, दिशा सूचक यंत्र
निर्देश
फिर एक कम्पास लें, इसे सिरों (त्रिभुज के भविष्य के शीर्ष) पर रखें और इस खंड की लंबाई के बराबर त्रिज्या के साथ एक वृत्त बनाएं। आपको पूरा वृत्त नहीं खींचना है, बल्कि खंड के विपरीत किनारे से उसका केवल एक चौथाई भाग ही खींचना है।
अब कंपास को खंड के दूसरे छोर पर ले जाएं और फिर से उसी त्रिज्या का एक वृत्त बनाएं। यहां खंड के दूर के छोर से पहले से निर्मित चाप के साथ चौराहे तक गुजरने वाले एक वृत्त का निर्माण करना पर्याप्त होगा। परिणामी बिंदु आपके त्रिभुज का तीसरा शीर्ष होगा।
निर्माण पूरा करने के लिए, रूलर और पेंसिल को फिर से लें और दोनों वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदु को खंड के दोनों सिरों से जोड़ दें। आपको एक त्रिभुज मिलेगा जिसकी तीनों भुजाएँ बिल्कुल बराबर होंगी - इसे रूलर से आसानी से जाँचा जा सकता है।
विषय पर वीडियो
त्रिभुज एक बहुभुज है जिसकी तीन भुजाएँ होती हैं। समबाहु या नियमित त्रिभुज वह त्रिभुज होता है जिसकी सभी भुजाएँ और कोण बराबर होते हैं। आइए देखें कि एक नियमित त्रिभुज कैसे बनाएं।
आपको चाहिये होगा
- शासक, दिशासूचक.
निर्देश
कम्पास का उपयोग करके, एक और वृत्त बनाएं, जिसका केंद्र बिंदु B पर होगा, और त्रिज्या खंड BA के बराबर होगी।
वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करेंगे। इनमें से कोई भी चुनें. इसे C कहें। यह त्रिभुज का तीसरा शीर्ष होगा।
शीर्षों को एक साथ जोड़ें. परिणामी त्रिभुज सही होगा. एक रूलर से इसकी भुजाओं को मापकर यह सुनिश्चित कर लें।
आइए दो रूलरों का उपयोग करके एक नियमित त्रिभुज बनाने के तरीके पर विचार करें। एक खंड बनाएं ठीक है, यह त्रिभुज की भुजाओं में से एक होगा, और बिंदु O और K इसके शीर्ष होंगे।
खंड ठीक बनाने के बाद रूलर को हिलाए बिना, उसके लंबवत एक और रूलर जोड़ दें। बीच में ओके खंड को काटते हुए एक सीधी रेखा एम खींचें।
एक रूलर का उपयोग करके, खंड OE को खंड OK के बराबर मापें ताकि एक छोर बिंदु O से मेल खाए और दूसरा सीधी रेखा m पर हो। बिंदु E त्रिभुज का तीसरा शीर्ष होगा।
बिंदु E और K को जोड़कर त्रिभुज का निर्माण पूरा करें। एक रूलर का उपयोग करके निर्माण की शुद्धता की जाँच करें।
टिप्पणी
आप चांदे का उपयोग करके कोणों को मापकर यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि त्रिभुज नियमित है।
मददगार सलाह
एक रूलर का उपयोग करके कागज की चेकर्ड शीट पर एक समबाहु त्रिभुज भी बनाया जा सकता है। किसी अन्य रूलर का उपयोग करने के बजाय, लंबवत रेखाओं का उपयोग करें।
स्रोत:
- त्रिभुजों का वर्गीकरण. समबाहु त्रिभुज
- त्रिभुज क्या है
- एक नियमित त्रिभुज का निर्माण
एक उत्कीर्ण त्रिभुज वह होता है जिसके सभी शीर्ष वृत्त पर होते हैं। यदि आप कम से कम एक भुजा और कोण जानते हैं तो आप इसे बना सकते हैं। परिवृत्त को परिवृत्त कहा जाता है, और यह इस त्रिभुज के लिए एकमात्र होगा।
आपको चाहिये होगा
- - घेरा;
- - त्रिभुज की भुजा और कोण;
- - कागज़;
- - दिशा सूचक यंत्र;
- - शासक;
- - चांदा;
- - कैलकुलेटर।
निर्देश
बिंदु A से, दिए गए कोण को आलेखित करने के लिए एक चाँदे का उपयोग करें। कोण की भुजा को तब तक जारी रखें जब तक वह वृत्त से प्रतिच्छेद न कर ले और बिंदु C रखें। बिंदु B और C को जोड़ें। आपके पास एक त्रिभुज ABC है। यह किसी भी प्रकार का हो सकता है. न्यून त्रिभुज के लिए वृत्त का केंद्र बाहर है, अधिक त्रिभुज के लिए यह बाहर है, और समकोण त्रिभुज के लिए यह कर्ण पर है। यदि आपको एक कोण नहीं, बल्कि, उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ दी गई हैं, तो त्रिज्या और ज्ञात भुजा से किसी एक कोण की गणना करें।
बहुत बार आपको विपरीत निर्माण से निपटना पड़ता है, जब आपको एक त्रिकोण दिया जाता है और आपको उसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करने की आवश्यकता होती है। इसकी त्रिज्या की गणना करें। यह आपको जो दिया गया है उसके आधार पर कई सूत्रों का उपयोग करके किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, त्रिज्या विपरीत कोण की भुजा और ज्या द्वारा पाई जा सकती है। इस मामले में, यह विपरीत कोण की ज्या के दोगुने से विभाजित भुजा की लंबाई के बराबर है। अर्थात्, R=a/2sinCAB। इसे पक्षों के गुणनफल के माध्यम से भी व्यक्त किया जा सकता है, इस मामले में R=abc/√(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)।
वृत्त का केंद्र निर्धारित करें. सभी भुजाओं को आधे में विभाजित करें और मध्य बिंदुओं पर लंब बनाएं। उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु वृत्त का केंद्र होगा। इसे इस प्रकार बनाएं कि यह कोनों के सभी शीर्षों को काट दे।
एक समकोण त्रिभुज की दो छोटी भुजाएँ, जिन्हें आमतौर पर पैर कहा जाता है, परिभाषा के अनुसार एक दूसरे के लंबवत होनी चाहिए। आकृति का यह गुण इसके निर्माण को बहुत सुविधाजनक बनाता है। हालाँकि, लंबवतता का सटीक निर्धारण करना हमेशा संभव नहीं होता है। ऐसे मामलों में, आप सभी भुजाओं की लंबाई की गणना कर सकते हैं - वे आपको एकमात्र संभव और इसलिए सही तरीके से एक त्रिकोण बनाने की अनुमति देंगे।
आपको चाहिये होगा
- कागज, पेंसिल, रूलर, चाँदा, कम्पास, वर्ग।
विश्वकोश यूट्यूब
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✪ 7वीं कक्षा, पाठ 22, परकार और रूलर के साथ निर्माण
✪ कंपास और रूलर के साथ ज्यामिति 7 वृत्त निर्माण
✪ दो भुजाओं और उनके बीच के कोण का उपयोग करके एक त्रिभुज की रचना करना
✪ ज्यामिति 7 निर्माण समस्याओं के उदाहरण
✪ 7वीं कक्षा, पाठ 23, निर्माण समस्याओं के उदाहरण
उपशीर्षक
उदाहरण
द्विभाजन समस्या. इस खंड को विभाजित करने के लिए कंपास और रूलर का उपयोग करें अबदो बराबर भागों में. समाधानों में से एक चित्र में दिखाया गया है:
- कम्पास का उपयोग करके हम बिंदुओं पर केंद्र वाले वृत्त बनाते हैं एऔर बी RADIUS अब.
- प्रतिच्छेदन बिंदु ढूँढना पीऔर क्यूदो निर्मित वृत्त (चाप)।
- रूलर का उपयोग करके, बिंदुओं से होकर गुजरने वाला एक खंड या रेखा खींचें पीऔर क्यू.
- खंड का वांछित मध्यबिंदु ढूँढना अब- प्रतिच्छेदन बिंदु अबऔर पी क्यू.
औपचारिक परिभाषा
निर्माण समस्याओं में, निम्नलिखित में से कई वस्तुओं पर विचार किया जाता है: समतल के सभी बिंदु, समतल की सभी सीधी रेखाएँ, और समतल के सभी वृत्त। समस्या की स्थितियों में, वस्तुओं का एक निश्चित सेट प्रारंभ में निर्दिष्ट किया जाता है (निर्मित माना जाता है)। इसे निर्मित वस्तुओं के सेट में जोड़ने (निर्माण) की अनुमति है:
- मनमाना बिंदु;
- किसी दी गई रेखा पर एक मनमाना बिंदु;
- किसी दिए गए वृत्त पर एक मनमाना बिंदु;
- दो दी गई रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु;
- किसी दी गई रेखा और किसी दिए गए वृत्त के प्रतिच्छेदन/स्पर्शरेखा के बिंदु;
- दो दिए गए वृत्तों के प्रतिच्छेदन/स्पर्शरेखा बिंदु;
- किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक मनमानी सीधी रेखा;
- दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा;
- किसी दिए गए बिंदु पर केंद्र के साथ एक मनमाना वृत्त;
- दो दिए गए बिंदुओं के बीच की दूरी के बराबर त्रिज्या वाला एक मनमाना वृत्त;
- एक वृत्त जिसका केंद्र किसी दिए गए बिंदु पर हो और त्रिज्या दो दिए गए बिंदुओं के बीच की दूरी के बराबर हो।
इन परिचालनों की एक सीमित संख्या का उपयोग करके, वस्तुओं के एक और सेट का निर्माण करना आवश्यक है जो मूल सेट के साथ दिए गए संबंध में है।
निर्माण समस्या के समाधान में तीन आवश्यक भाग शामिल हैं:
- किसी दिए गए सेट के निर्माण की विधि का विवरण.
- सबूत है कि वर्णित तरीके से निर्मित सेट वास्तव में मूल सेट के साथ दिए गए संबंध में है। आमतौर पर निर्माण का प्रमाण स्वयंसिद्ध और अन्य सिद्ध प्रमेयों के आधार पर प्रमेय के नियमित प्रमाण के रूप में किया जाता है।
- प्रारंभिक स्थितियों के विभिन्न संस्करणों के लिए इसकी प्रयोज्यता के साथ-साथ वर्णित विधि द्वारा प्राप्त समाधान की विशिष्टता या गैर-विशिष्टता के लिए वर्णित निर्माण विधि का विश्लेषण।
ज्ञात पहलु
कम्पास और रूलर का उपयोग करके एक और प्रसिद्ध और अघुलनशील समस्या तीन दी गई लंबाई के समद्विभाजकों का उपयोग करके एक त्रिभुज का निर्माण करना है। यह समस्या किसी ऐसे उपकरण के साथ भी अघुलनशील रहती है जो किसी कोण का त्रिविभाजन करता है, जैसे कि टॉमहॉक।
कम्पास और रूलर का उपयोग करके निर्माण के लिए स्वीकार्य खंड
इन उपकरणों का उपयोग करके, एक खंड का निर्माण करना संभव है जिसकी लंबाई है:
संख्यात्मक रूप से दिए गए खंडों की लंबाई के गुणनफल, भागफल और वर्गमूल के बराबर लंबाई वाले एक खंड का निर्माण करने के लिए, निर्माण तल पर एक इकाई खंड निर्दिष्ट करना आवश्यक है (अर्थात, लंबाई 1 का एक खंड)। कम्पास और रूलर का उपयोग करके अन्य प्राकृतिक शक्तियों वाले खंडों से जड़ें निकालना असंभव है जो 2 की शक्तियां नहीं हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, कम्पास और रूलर का उपयोग करके एक इकाई खंड से लंबाई का एक खंड बनाना असंभव है। इस तथ्य से, विशेष रूप से, यह निष्कर्ष निकलता है कि एक घन को दोगुना करने की समस्या हल नहीं हो सकती है।
संभव और असंभव निर्माण
औपचारिक दृष्टिकोण से, किसी भी निर्माण समस्या का समाधान कुछ बीजगणितीय समीकरण के ग्राफिकल समाधान में कम हो जाता है, और इस समीकरण के गुणांक दिए गए खंडों की लंबाई से संबंधित होते हैं। इसलिए, हम कह सकते हैं कि निर्माण कार्य कुछ बीजगणितीय समीकरण की वास्तविक जड़ों को खोजने के लिए नीचे आता है।
इसलिए, किसी संख्या के निर्माण के बारे में बात करना सुविधाजनक है - एक निश्चित प्रकार के समीकरण का ग्राफिकल समाधान।
खंडों के संभावित निर्माण के आधार पर, निम्नलिखित निर्माण संभव हैं:
- रैखिक समीकरणों के समाधान का निर्माण.
- समीकरणों के समाधान का निर्माण जो द्विघात समीकरणों के समाधान को कम करता है।
दूसरे शब्दों में, मूल संख्याओं के वर्गमूल (खंडों की लंबाई दी गई) का उपयोग करके केवल अंकगणितीय अभिव्यक्तियों के बराबर खंडों का निर्माण करना संभव है।
यह ध्यान रखना आवश्यक है कि निर्णय का उपयोग करके व्यक्त किया जाना आवश्यक है वर्गजड़ें, मनमानी डिग्री के मूलांक नहीं। भले ही किसी बीजगणितीय समीकरण का हल मूलांक में हो, तो इसका मतलब यह नहीं है कि कम्पास और रूलर से उसके हल के बराबर एक खंड बनाना संभव है। सबसे सरल समीकरण है: x 3 − 2 = 0 , (\displaystyle x^(3)-2=0,)घन को दोगुना करने की प्रसिद्ध समस्या से जुड़ा है, जो इस घन समीकरण में घट जाती है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, इस समीकरण का हल ( 2 3 (\displaystyle (\sqrt[(3)](2)))) का निर्माण कंपास और रूलर से नहीं किया जा सकता।
एक नियमित 17-गॉन का निर्माण करने की क्षमता इसके किनारे के केंद्रीय कोण की कोज्या के व्यंजक से प्राप्त होती है:
cos (2 π 17) = - 1 16 + 1 16 17 + 1 16 34 - 2 17 + (\displaystyle \cos (\left((\frac (2\pi )(17))\right))=- (\frac (1)(16))\;+\;(\frac (1)(16))(\sqrt (17))\;+\;(\frac (1)(16))(\sqrt (34-2(\sqrt (17))))\;+\;) + 1 8 17 + 3 17 − 34 − 2 17 − 2 34 + 2 17 , (\displaystyle +(\frac (1)(8))(\sqrt (17+3(\sqrt (17))-(\ sqrt (34-2(\sqrt (17))))-2(\sqrt (34+2(\sqrt (17))))),)जो, बदले में, फॉर्म के समीकरण को कम करने की संभावना से उत्पन्न होता है x F n - 1 = 0 , (\displaystyle x^(F_(n))-1=0,)कहाँ एफ एन (\डिस्प्लेस्टाइल एफ_(एन))- कोई भी अभाज्य संख्या फ़र्मेट, द्विघात समीकरण में चर के परिवर्तन का उपयोग करके।विविधताएं और सामान्यीकरण
- एक कंपास का उपयोग कर निर्माण।मोहर-माशेरोनी प्रमेय के अनुसार, एक कंपास की मदद से आप कोई भी आकृति बना सकते हैं जिसे एक कंपास और एक शासक के साथ बनाया जा सकता है। इस मामले में, एक सीधी रेखा का निर्माण तब माना जाता है जब उस पर दो बिंदु निर्दिष्ट हों।
- एक रूलर का उपयोग कर निर्माण।जाहिर है, एकल रूलर की सहायता से केवल प्रक्षेपी-अपरिवर्तनीय निर्माण ही किये जा सकते हैं। विशेष रूप से,
- किसी खंड को दो बराबर भागों में बाँटना भी असंभव है,
- किसी दिए गए वृत्त का केंद्र ज्ञात करना भी असंभव है।
- यदि समतल पर एक चिह्नित केंद्र और एक रूलर के साथ पहले से खींचा गया एक वृत्त है, तो आप कम्पास और रूलर के समान ही निर्माण कार्य कर सकते हैं (
यदि यह बिल्कुल स्वाभाविक है कि विभिन्न प्रकार के उपकरणों की अनुमति से निर्माण समस्याओं के एक बड़े समूह को हल करना संभव हो जाता है, तो कोई यह अनुमान लगा सकता है कि, इसके विपरीत, उपकरणों पर लगाए गए प्रतिबंधों के साथ, हल करने योग्य समस्याओं का वर्ग संकुचित हो जाएगा. इटालियन माशेरोनी (1750-1800) द्वारा की गई खोज और भी अधिक उल्लेखनीय है: सभी ज्यामितीय निर्माण जो एक कंपास और एक शासक के साथ किए जा सकते हैं, वे केवल एक कंपास के साथ किए जा सकते हैं। निःसंदेह, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि रूलर के बिना दो दिए गए बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचना वास्तव में असंभव है, इसलिए यह मूल निर्माण माशेरोनी के सिद्धांत के अंतर्गत नहीं आता है। इसके बजाय, हमें यह मानना होगा कि एक रेखा दी गई है यदि उसके दो बिंदु दिए गए हैं। लेकिन केवल एक कम्पास की सहायता से इस प्रकार परिभाषित दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु, या एक वृत्त के साथ एक रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाना संभव है।
संभवतः माशेरोनी के निर्माण का सबसे सरल उदाहरण किसी दिए गए खंड को दोगुना करना है। समाधान पहले ही पृष्ठ 185 पर दिया गया था। इसके अलावा, पृष्ठ 186 पर हमने सीखा कि किसी दिए गए खंड को आधे में कैसे विभाजित किया जाए। आइए अब देखें कि केंद्र O वाले वृत्त के चाप को कैसे समद्विभाजित किया जाए। यहां इस निर्माण का विवरण दिया गया है। एक त्रिज्या के साथ हम केंद्र वाले दो चाप खींचते हैं। बिंदु O से हम इन चापों पर दो ऐसे चाप लगाते हैं और फिर हम केंद्र P और त्रिज्या के साथ चाप का प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं और केंद्र और त्रिज्या वाला चाप पाते हैं। अंत में , त्रिज्या के रूप में एक खंड लेते हुए हम केंद्र पी के साथ चाप का वर्णन करते हैं या चाप के चौराहे बिंदु के साथ चौराहे तक चाप का वांछित मध्य बिंदु होता है। हम पाठक को एक अभ्यास के रूप में प्रमाण छोड़ते हैं।
चावल। 48. एक वृत्त और केंद्र से न गुजरने वाली एक रेखा का प्रतिच्छेदन
माशेरोनी के मुख्य कथन को यह दिखाकर साबित करना असंभव होगा कि हर निर्माण जो एक कंपास और स्ट्रेटएज के साथ किया जा सकता है, वह केवल एक कंपास के साथ कैसे किया जा सकता है: आखिरकार, संभावित निर्माण असंख्य हैं। लेकिन हम एक ही लक्ष्य प्राप्त करेंगे यदि हम यह स्थापित कर लें कि निम्नलिखित में से प्रत्येक बुनियादी निर्माण एक ही कंपास का उपयोग करके संभव है:
1. यदि केंद्र और त्रिज्या दी गई है तो एक वृत्त बनाएं।
2. दो वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।
3. रेखा और वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें।
4. दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।
कोई भी ज्यामितीय निर्माण (सामान्य अर्थ में, कम्पास और स्ट्रेटएज की धारणा के साथ) इन प्राथमिक निर्माणों के एक सीमित अनुक्रम से बना होता है। यह तुरंत स्पष्ट है कि उनमें से पहले दो को एक ही कंपास का उपयोग करके किया जा सकता है। पिछले पैराग्राफ में चर्चा किए गए व्युत्क्रम के गुणों का उपयोग करके अधिक कठिन निर्माण 3 और 4 किए जाते हैं।
आइए निर्माण 3 की ओर मुड़ें: हम इन बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा के साथ दिए गए वृत्त सी के प्रतिच्छेदन बिंदु पाएंगे। हम केंद्रों और त्रिज्याओं के साथ चाप खींचेंगे जो क्रमशः बराबर हैं और, बिंदु ओ को छोड़कर, वे पर प्रतिच्छेद करेंगे बिंदु पी. फिर हम वृत्त सी के सापेक्ष बिंदु पी के विपरीत एक बिंदु का निर्माण करेंगे (देखें। पृष्ठ 186 पर वर्णित निर्माण)। अंत में, आइए एक केंद्र और त्रिज्या के साथ एक वृत्त बनाएं (यह निश्चित रूप से सी के साथ प्रतिच्छेद करेगा): वृत्त सी के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु वांछित होंगे। इसे साबित करने के लिए, यह स्थापित करना पर्याप्त है कि प्रत्येक बिंदु समान दूरी पर है (जहां तक बिंदुओं की बात है, उनकी समान संपत्ति निर्माण से तुरंत मिलती है)। वास्तव में, यह इस तथ्य को संदर्भित करने के लिए पर्याप्त है कि बिंदु का व्युत्क्रम बिंदु वृत्त C की त्रिज्या के बराबर दूरी पर स्थित बिंदुओं से अलग होता है (पृष्ठ 184 देखें)। यह ध्यान देने योग्य है कि बिंदुओं से गुजरने वाला वृत्त वृत्त C के सापेक्ष व्युत्क्रम में व्युत्क्रम सीधी रेखा है, क्योंकि यह वृत्त और सीधी रेखा प्रतिच्छेद करती है
चावल। 49. एक वृत्त और केंद्र से गुजरने वाली एक रेखा का प्रतिच्छेदन
C के साथ समान बिंदुओं पर। (उलटा होने पर, मुख्य वृत्त पर बिंदु स्थिर रहते हैं।)
संकेतित निर्माण केवल तभी संभव नहीं है जब सीधी रेखा केंद्र सी से होकर गुजरती है। लेकिन फिर पृष्ठ 188 पर वर्णित निर्माण के माध्यम से प्रतिच्छेदन बिंदु पाए जा सकते हैं, जैसा कि तब प्राप्त होता है जब हम केंद्र बी के साथ एक मनमाना वृत्त बनाते हैं जो सी पर प्रतिच्छेद करता है। बिंदु दो दिए गए बिंदुओं को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा का व्युत्क्रम वृत्त खींचने की विधि तुरंत एक निर्माण देती है जो समस्या 4 को हल करती है। मान लें कि सीधी रेखाएं बिंदुओं द्वारा दी गई हैं (चित्र 50)।
चावल। 50. दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन
आइए एक मनमाना वृत्त C बनाएं और, उपरोक्त विधि का उपयोग करके, सीधी रेखाओं के विपरीत वृत्त बनाएं और। ये वृत्त बिंदु O और दूसरे बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। बिंदु X, बिंदु का व्युत्क्रम, वांछित प्रतिच्छेदन बिंदु है: कैसे बनाएं इसे पहले ही ऊपर समझाया जा चुका है। वह X वांछित बिंदु है, यह इस तथ्य से स्पष्ट है कि एक बिंदु के विपरीत एक अद्वितीय बिंदु है जो एक साथ दोनों रेखाओं से संबंधित है और इसलिए, बिंदु X, व्युत्क्रम, दोनों रेखाओं पर एक साथ स्थित होना चाहिए
ये दो निर्माण माशेरोनी के निर्माणों के बीच समानता के प्रमाण को पूरा करते हैं, जिसमें केवल एक कम्पास का उपयोग करने की अनुमति है, और एक कम्पास और एक शासक के साथ सामान्य ज्यामितीय निर्माण।
हमने यहां जिन व्यक्तिगत समस्याओं पर विचार किया, उन्हें हल करने की लालित्य की परवाह नहीं की, क्योंकि हमारा लक्ष्य माशेरोनी के निर्माणों के आंतरिक अर्थ को स्पष्ट करना था। लेकिन उदाहरण के तौर पर हम एक नियमित पंचकोण के निर्माण का भी संकेत देंगे; अधिक सटीक रूप से, हम वृत्त पर कुछ पाँच बिंदुओं को खोजने के बारे में बात कर रहे हैं जो एक नियमित अंकित पंचभुज के शीर्ष के रूप में काम कर सकते हैं।
मान लीजिए A वृत्त K पर एक मनमाना बिंदु है। चूँकि एक नियमित उत्कीर्ण षट्भुज की भुजा वृत्त की त्रिज्या के बराबर है, इसलिए K पर बिंदुओं को इस प्रकार आलेखित करना कठिन नहीं होगा कि
प्राचीन काल से जाना जाता है।
निर्माण कार्यों में निम्नलिखित कार्य संभव हैं:
- कोई भी चिन्हित करें बिंदुएक समतल पर, निर्मित रेखाओं में से एक पर एक बिंदु, या दो निर्मित रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु।
- का उपयोग करके दिशा सूचक यंत्रनिर्मित बिंदु पर एक केंद्र और पहले से निर्मित दो बिंदुओं के बीच की दूरी के बराबर त्रिज्या वाला एक वृत्त बनाएं।
- का उपयोग करके शासकोंदो निर्मित बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा खींचें।
इस मामले में, एक कम्पास और एक रूलर को विशेष रूप से आदर्श उपकरण माना जाता है:
1. सरल उदाहरण
किसी खंड को आधे में बाँटना
काम।इस खंड को विभाजित करने के लिए कंपास और रूलर का उपयोग करें अबदो बराबर भागों में. समाधानों में से एक चित्र में दिखाया गया है:
- कम्पास का उपयोग करके हम एक वृत्त का निर्माण करते हैं जिसका केंद्र एक बिंदु पर होता है ए RADIUS एबी.
- एक बिंदु पर केंद्र रखकर एक वृत्त की रचना करना बी RADIUS एबी.
- प्रतिच्छेदन बिंदु ढूँढना पीऔर क्यूदो निर्मित वृत्त.
- बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा खींचने के लिए रूलर का उपयोग करें पीऔर क्यू।
- प्रतिच्छेदन बिंदु ढूँढना अबऔर पी क्यू।यह खंड का वांछित मध्यबिंदु है एबी.
2. नियमित बहुभुज
प्राचीन भूगोलवेत्ता सही निर्माण की विधियाँ जानते थे एन-gons के लिए और ।
4. संभव और असंभव निर्माण
सभी निर्माण किसी समीकरण के समाधान से अधिक कुछ नहीं हैं, और इस समीकरण के गुणांक दिए गए खंडों की लंबाई से संबंधित हैं। इसलिए, किसी संख्या के निर्माण के बारे में बात करना सुविधाजनक है - एक निश्चित प्रकार के समीकरण का ग्राफिकल समाधान।
भवन आवश्यकताओं के ढांचे के भीतर, निम्नलिखित भवन संभव हैं:
दूसरे शब्दों में, आप केवल मूल संख्याओं के वर्गमूल (खंडों की लंबाई) का उपयोग करके अंकगणितीय अभिव्यक्तियों के बराबर संख्याएँ बना सकते हैं। उदाहरण के लिए,
5. विविधताएं और सामान्यीकरण
6. मज़ेदार तथ्य
- जियोजेब्रा, किग, केएसईजी - प्रोग्राम जो आपको कंपास और रूलर का उपयोग करके निर्माण करने की अनुमति देते हैं।
साहित्य
- ए. एडलर. ज्यामितीय निर्माण का सिद्धांत,जर्मन से अनुवाद जी. एम. फिख्तेनगोल्ट्स द्वारा। तीसरा संस्करण। एल., नवचपेडविद, 1940-232 पी.
- आई. अलेक्जेंड्रोव, ज्यामितीय निर्माण समस्याओं का संग्रह,अठारहवाँ संस्करण, एम., नवचपेडविड, 1950-176 पी.
- बी. आई. अर्गुनोव, एम बी बाल्क।
इस अनुच्छेद की सामग्री का उपयोग वैकल्पिक कक्षाओं में किया जा सकता है। इसे छात्रों के सामने व्याख्यान के रूप में और छात्र रिपोर्ट के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है।
जिन समस्याओं को प्राचीन काल से "प्राचीन काल की प्रसिद्ध समस्याओं" के रूप में जाना जाता है, उन्होंने कई शताब्दियों तक बहुत ध्यान आकर्षित किया है। इस नाम के तहत आमतौर पर तीन प्रसिद्ध समस्याएं सामने आती हैं:
1) वृत्त का वर्ग करना,
2) कोण का त्रिखंड,
3) घन को दोगुना करना।
ये सभी कार्य प्राचीन काल में लोगों की व्यावहारिक आवश्यकताओं से उत्पन्न हुए थे। अपने अस्तित्व के पहले चरण में, उन्होंने कम्प्यूटेशनल समस्याओं के रूप में कार्य किया: कुछ "व्यंजनों" का उपयोग करके, वांछित मात्राओं (एक वृत्त का क्षेत्रफल, परिधि, आदि) के अनुमानित मूल्यों की गणना की गई। इन समस्याओं के इतिहास के दूसरे चरण में, उनकी प्रकृति में महत्वपूर्ण परिवर्तन होते हैं: वे ज्यामितीय (रचनात्मक) समस्याएँ बन जाती हैं।
प्राचीन ग्रीस में इस अवधि के दौरान उन्हें शास्त्रीय सूत्रीकरण दिए गए थे:
1) दिए गए वृत्त के आकार के बराबर एक वर्ग बनाएं;
2) इस कोण को तीन बराबर भागों में विभाजित करें;
3) एक नए घन का एक किनारा बनाएं, जिसका आयतन दिए गए घन से दोगुना होगा।
इन सभी ज्यामितीय निर्माणों को कम्पास और रूलर का उपयोग करके करने का प्रस्ताव था।
इन समस्याओं के निरूपण की सरलता और उन्हें हल करने के रास्ते में आने वाली "दुर्गम कठिनाइयों" ने उनकी लोकप्रियता में वृद्धि में योगदान दिया। इन समस्याओं के कठोर समाधान प्रदान करने के प्रयास में, प्राचीन यूनानी वैज्ञानिकों ने "रास्ते में" गणित के लिए कई महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त किए, जिन्होंने असमान गणितीय ज्ञान को एक स्वतंत्र निगमनात्मक विज्ञान में बदलने में योगदान दिया (पाइथागोरस, चियोस के हिप्पोक्रेट्स और आर्किमिडीज़ बचे थे) उस समय एक विशेष रूप से ध्यान देने योग्य निशान)।
घन को दोगुना करने की समस्या.
एक घन को दोगुना करने की समस्या इस प्रकार है: किसी दिए गए घन के किनारे को जानकर, एक घन के एक किनारे का निर्माण करें जिसका आयतन दिए गए घन के आयतन का दोगुना होगा।
मान लीजिए a किसी दिए गए घन के किनारे की लंबाई है, x वांछित घन के किनारे की लंबाई है। मान लीजिए किसी दिए गए घन का आयतन है, और वांछित घन का आयतन है, तो, घन के आयतन की गणना के सूत्र के अनुसार, हमारे पास वह है: =, और चूँकि, समस्या की स्थितियों के अनुसार, हम समीकरण पर पहुंचें.
बीजगणित से यह ज्ञात होता है कि पूर्णांक गुणांक वाले दिए गए समीकरण की तर्कसंगत जड़ें केवल पूर्णांक हो सकती हैं और समीकरण के मुक्त पद के विभाजकों के बीच समाहित हो सकती हैं। लेकिन संख्या 2 के एकमात्र विभाजक संख्याएँ +1, - 1, +2, - 2 हैं, और उनमें से कोई भी मूल समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है। इसलिए, समीकरण की कोई तर्कसंगत जड़ें नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि एक घन को दोगुना करने की समस्या को कंपास और रूलर का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता है।
कम्पास और रूलर का उपयोग करके एक घन को दोगुना करने की समस्या को केवल लगभग ही हल किया जा सकता है। इस समस्या को लगभग हल करने का सबसे सरल तरीकों में से एक यहां दिया गया है।
माना AB=BC=a, और ABC. हम 1% की सटीकता के साथ AD=AC, फिर CD बनाते हैं। दरअसल, सीडी 1.2586... एक ही समय में =1.2599…
वृत्त का वर्ग करने की समस्या.
कम्पास और रूलर का उपयोग करके समस्या के समाधान न होने का औचित्य।
एक वृत्त का वर्ग करने की समस्या इस प्रकार है: वृत्त के आकार के बराबर एक वर्ग बनाएं।
मान लीजिए दिए गए वृत्त की त्रिज्या है, और मान लीजिए वांछित वर्ग की भुजा की लंबाई है। फिर, यहाँ से.
परिणामस्वरूप, यदि हम लंबाई का एक खंड बनाते हैं तो वृत्त का वर्ग करने की समस्या हल हो जाएगी। यदि किसी दिए गए वृत्त की त्रिज्या को एक इकाई खंड (=1) के रूप में लिया जाता है, तो मामला एक इकाई खंड से लंबाई के एक खंड के निर्माण तक कम हो जाएगा।
जैसा कि ज्ञात है, एक इकाई खंड को जानते हुए, हम केवल उन खंडों का निर्माण करने के लिए एक कम्पास और शासक का उपयोग कर सकते हैं जिनकी लंबाई तर्कसंगत संचालन के एक सीमित सेट का उपयोग करके और वर्गमूल निकालने के लिए तर्कसंगत संख्याओं के संदर्भ में व्यक्त की जाती है और इसलिए, बीजगणितीय संख्याएं हैं। इस मामले में, सभी बीजगणितीय संख्याओं का उपयोग नहीं किया जाएगा। उदाहरण के लिए, आप लंबाई आदि का एक खंड नहीं बना सकते।
1882 में, लिंडमैन ने साबित किया कि यह पारलौकिक है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि कम्पास और रूलर से लंबाई का एक खंड बनाना असंभव है और इसलिए, इन साधनों से एक वृत्त का वर्ग करने की समस्या हल नहीं हो पाती है।
कम्पास और रूलर का उपयोग करके समस्या का अनुमानित समाधान।
आइए लंबाई खंडों के अनुमानित निर्माण की तकनीकों में से एक पर विचार करें। यह तकनीक इस प्रकार है. बिंदु O पर केंद्र और एक के बराबर त्रिज्या वाले वृत्त AB के एक चौथाई को बिंदु C द्वारा आधे में विभाजित किया गया है। व्यास CD की निरंतरता पर, हम त्रिज्या के बराबर एक खंड DE निकालते हैं। बिंदु E से हम किरणें EA और EB खींचते हैं जब तक कि वे बिंदु C पर स्पर्शरेखा के साथ प्रतिच्छेद न कर दें। कटा हुआ खंड AB लगभग चाप AB की लंबाई के बराबर है, और दोगुना खंड अर्धवृत्त के बराबर है।
इस सन्निकटन की सापेक्ष त्रुटि 0.227% से अधिक नहीं है।
कोण त्रिखंड समस्या.
कम्पास और रूलर का उपयोग करके समस्या के समाधान न होने का औचित्य।
कोण त्रिखंड समस्या इस प्रकार है: इस कोण को तीन बराबर भागों में बाँट लें।
आइए हम स्वयं को 90 से अधिक न होने वाले कोणों की समस्या को हल करने तक सीमित रखें। यदि एक अधिक कोण है, तो =180-, जहां<90, так что, и поэтому задача о трисекции тупого угла сводится к задаче о трисекции острого угла.
ध्यान दें कि (एक इकाई खंड की उपस्थिति में) कोण (90) के निर्माण की समस्या खंड x=cos के निर्माण की समस्या के बराबर है। वास्तव में, यदि कोण का निर्माण किया जाता है, तो कर्ण और न्यून कोण का उपयोग करके खंड x = cos का निर्माण एक समकोण त्रिभुज के निर्माण तक कम हो जाता है।
पीछे। यदि एक खंड x का निर्माण किया जाता है, तो एक कोण का निर्माण इस प्रकार किया जाता है कि x = cos कर्ण और पैर का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज के निर्माण में घटाया जाता है।
माना कि दिया गया कोण है और वांछित कोण है, अत: =। तब cos=cos 3. यह ज्ञात है कि cos 3= 4cos-3cos. इसलिए, cos = और cos = मानते हुए, हम समीकरण पर पहुंचते हैं:
cos =4cos-3cos,
एक खंड, और इसलिए एक कोण, का निर्माण केवल तभी किया जा सकता है जब इस समीकरण में कम से कम एक तर्कसंगत जड़ हो। लेकिन यह हर किसी के लिए नहीं होता है, और इसलिए एक कोण के त्रिविभाजन की समस्या, आम तौर पर, एक कंपास और एक शासक का उपयोग करके हल नहीं की जा सकती है। उदाहरण के लिए। =60 के लिए हमें =1 मिलता है और पाया गया समीकरण निम्न रूप लेता है:। यह सत्यापित करना आसान है कि इस समीकरण का कोई तर्कसंगत मूल नहीं है, जिसका अर्थ है कि 60 के कोण को कम्पास और रूलर का उपयोग करके तीन बराबर भागों में विभाजित करना असंभव है। इस प्रकार, किसी कोण के त्रिविभाजन की समस्या को सामान्य रूप में कम्पास और रूलर से हल नहीं किया जा सकता है।
कम्पास और रूलर का उपयोग करके समस्या का अनुमानित समाधान।
आइए कम्पास और रूलर का उपयोग करके समस्या के अनुमानित समाधान के लिए अल्बर्ट ड्यूरर (1471-1528) द्वारा प्रस्तावित तरीकों में से एक पर विचार करें।
मान लीजिए कोण ASB दिया गया है। शीर्ष S से हम एक मनमाना त्रिज्या वाले एक वृत्त का वर्णन करते हैं और कोण की भुजाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को जीवा AB द्वारा वृत्त से जोड़ते हैं। हम इस जीवा को बिंदु R और R (A R = R R = RB) पर तीन बराबर भागों में विभाजित करते हैं। बिंदु A और B से, केंद्रों की तरह, त्रिज्या A R = RB के साथ हम वृत्त को बिंदु T और T पर प्रतिच्छेद करने वाले चाप का वर्णन करते हैं। आइए हम RSAB का संचालन करें। त्रिज्या ए एस = बीएस के साथ हम चाप खींचते हैं जो एबी को बिंदु यू और यू पर काटते हैं। चाप एटी, एसएस और टीबी एक दूसरे के बराबर हैं, क्योंकि वे समान जीवाओं द्वारा अंतरित होते हैं।
कोण X और फिर हम त्रिज्या AV और BV के साथ चाप खींचते हैं जो वृत्त को बिंदु X और