Lezione "costruzione con compasso e righello". Costruire, utilizzando compasso e righello, un segmento uguale al prodotto o rapporto di altri due - lavoro creativo Costruire figure utilizzando un compasso

Istruzioni

Posiziona l'ago della bussola nel punto segnato. Usando una gamba con uno stilo, disegna un arco di cerchio con un raggio misurato.

Posiziona un punto ovunque lungo la circonferenza dell'arco disegnato. Questo sarà il secondo vertice B del triangolo che si sta creando.

Posiziona la gamba sul secondo picco in modo simile. Disegna un altro cerchio in modo che intersechi il primo.

Il terzo vertice C del triangolo creato si trova nel punto di intersezione di entrambi gli archi disegnati. Segnatelo sulla foto.

Dopo aver ricevuto tutti e tre i vertici, collegali con linee rette utilizzando qualsiasi superficie piana (preferibilmente un righello). Si costruisce il triangolo ABC.

Se un cerchio tocca tutti e tre i lati di un dato triangolo e il suo centro è interno al triangolo, allora si dice inscritto nel triangolo.

Avrai bisogno

• righello, compasso

Istruzioni

Dai vertici del triangolo (il lato opposto all'angolo da dividere), si disegnano con un compasso archi circolari di raggio arbitrario finché non si intersecano tra loro;

Il punto di intersezione degli archi lungo la riga è collegato al vertice dell'angolo divisibile;

Lo stesso si fa con qualunque altro angolo;

Il raggio di un cerchio inscritto in un triangolo sarà il rapporto tra l'area del triangolo e il suo semiperimetro: r=S/p, dove S è l'area del triangolo, e p=(a+ b+c)/2 è il semiperimetro del triangolo.

Il raggio di una circonferenza inscritta in un triangolo è equidistante da tutti i lati del triangolo.

Fonti:

• http://www.alleng.ru/d/math/math42.htm

Consideriamo il problema della costruzione di un triangolo, a patto che si conoscano i suoi tre lati oppure un lato e due angoli.

Avrai bisogno

• - bussola
• - governate
• - goniometro

Istruzioni

Diciamo che ci sono tre lati: a, b e c. Usarlo non è difficile con questi lati. Per prima cosa selezioniamo il più lungo di questi lati, lasciamo che sia il lato c, e disegniamolo. Quindi impostiamo l'apertura del compasso sul valore dell'altro lato, il lato a, e disegniamo un cerchio con un compasso di raggio a con il centro su una delle estremità del lato c. Ora imposta l'apertura del compasso sulla dimensione del lato b e disegna un cerchio con il centro all'altra estremità del lato c. Il raggio di questo cerchio è b. Colleghiamo il punto di intersezione dei cerchi con i centri e otteniamo un triangolo con i lati richiesti.

Per disegnare un triangolo con un dato lato e due angoli adiacenti, usa un goniometro. Disegna un lato della lunghezza specificata. Ai suoi bordi, segna gli angoli con un goniometro. All'intersezione dei lati degli angoli, ottieni il terzo vertice del triangolo.

Video sull'argomento

Nota

Per i lati di un triangolo vale la seguente affermazione: la somma delle lunghezze di due lati qualsiasi deve essere maggiore del terzo. Se ciò non viene soddisfatto, è impossibile costruire un triangolo del genere.

I cerchi nel passaggio 1 si intersecano in due punti. Puoi sceglierne uno qualsiasi, i triangoli saranno uguali.

Un triangolo regolare è quello in cui tutti i lati hanno la stessa lunghezza. Sulla base di questa definizione, costruire questo tipo di triangolo non è un compito difficile.

Avrai bisogno

• Righello, foglio di carta a righe, matita

Istruzioni

Usando un righello, collega i punti segnati sul pezzo di carta in sequenza, uno dopo l'altro, come mostrato nella Figura 2.

Nota

In un triangolo regolare (equilatero), tutti gli angoli sono uguali a 60 gradi.

Consigli utili

Un triangolo equilatero è anche un triangolo isoscele. Se un triangolo è isoscele significa che 2 dei suoi 3 lati sono uguali e il terzo lato è considerato base. Qualsiasi triangolo regolare è isoscele, mentre non è vero il viceversa.

Qualsiasi triangolo equilatero ha gli stessi non solo i lati, ma anche gli angoli, ciascuno dei quali è uguale a 60 gradi. Tuttavia, il disegno di un triangolo di questo tipo, costruito utilizzando un goniometro, non sarà molto accurato. Pertanto, per costruire questa figura, è meglio usare un compasso.

Avrai bisogno

• Matita, righello, compasso

Istruzioni

Quindi prendi un compasso, posizionalo alle estremità (il futuro vertice del triangolo) e disegna un cerchio con un raggio pari alla lunghezza di questo segmento. Non devi disegnare l'intero cerchio, ma disegnane solo un quarto, dal bordo opposto del segmento.

Ora sposta la bussola all'altra estremità del segmento e disegna nuovamente un cerchio dello stesso raggio. Qui basterà costruire una circonferenza che passa dall'estremità lontana del segmento fino all'intersezione con l'arco già costruito. Il punto risultante sarà il terzo vertice del tuo triangolo.

Per completare la costruzione, prendi nuovamente righello e matita e collega il punto di intersezione dei due cerchi con entrambe le estremità del segmento. Otterrai un triangolo con tutti e tre i lati assolutamente uguali: questo può essere facilmente controllato con un righello.

Video sull'argomento

Un triangolo è un poligono che ha tre lati. Un triangolo equilatero o regolare è un triangolo in cui tutti i lati e gli angoli sono uguali. Diamo un'occhiata a come disegnare un triangolo regolare.

Avrai bisogno

• Righello, compasso.

Istruzioni

Usando un compasso, traccia un altro cerchio, il cui centro sarà nel punto B e il raggio sarà uguale al segmento BA.

I cerchi si intersecheranno in due punti. Scegline uno qualsiasi. Chiamatelo C. Questo sarà il terzo vertice del triangolo.

Collega i vertici insieme. Il triangolo risultante sarà corretto. Assicurati di questo misurandone i lati con un righello.

Consideriamo un modo per costruire un triangolo regolare utilizzando due righelli. Disegna un segmento OK, sarà uno dei lati del triangolo e i punti O e K saranno i suoi vertici.

Senza spostare il righello dopo aver costruito il segmento OK, attacca un altro righello perpendicolare ad esso. Disegna una linea retta m che interseca il segmento OK al centro.

Utilizzando un righello, misura un segmento OE uguale al segmento OK in modo che un'estremità coincida con il punto O e l'altra sia sulla retta m. Il punto E sarà il terzo vertice del triangolo.

Completa la costruzione del triangolo collegando i punti E e K. Controlla la correttezza della costruzione utilizzando un righello.

Nota

Puoi assicurarti che il triangolo sia regolare usando un goniometro misurando gli angoli.

Consigli utili

È anche possibile disegnare un triangolo equilatero su un foglio di carta a scacchi utilizzando un righello. Invece di usare un altro righello, usa linee perpendicolari.

Fonti:

• Classificazione dei triangoli. Triangoli equilateri
• Cos'è un triangolo
• costruzione di un triangolo regolare

Un triangolo inscritto è quello i cui vertici appartengono tutti alla circonferenza. Puoi costruirlo se conosci almeno un lato e un angolo. La circonferenza circoscritta si chiama circonferenza circoscritta e sarà l'unica per questo triangolo.

Avrai bisogno

• - cerchio;
• - lato e angolo di un triangolo;
• - carta;
• - bussola;
• - governate;
• - goniometro;
• - calcolatrice.

Istruzioni

Dal punto A, utilizza un goniometro per tracciare l'angolo dato. Continua il lato dell'angolo finché non si interseca con il cerchio e posiziona il punto C. Collega i punti B e C. Hai un triangolo ABC. Può essere di qualsiasi tipo. Il centro del cerchio in un triangolo acuto è all'esterno, in un triangolo ottuso è all'esterno e in un triangolo rettangolo è sull'ipotenusa. Se non ti viene fornito un angolo, ma, ad esempio, tre lati di un triangolo, calcola uno degli angoli dal raggio e dal lato noto.

Molto più spesso devi affrontare la costruzione inversa, quando ti viene dato un triangolo e devi descrivere un cerchio attorno ad esso. Calcola il suo raggio. Questo può essere fatto utilizzando diverse formule, a seconda di ciò che ti viene dato. Il raggio può essere trovato, ad esempio, dal lato e dal seno dell'angolo opposto. In questo caso è uguale alla lunghezza del lato divisa per il doppio del seno dell'angolo opposto. Cioè, R=a/2sinCAB. Può anche essere espresso attraverso il prodotto dei lati, in questo caso R=abc/√(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a).

Determina il centro del cerchio. Dividi tutti i lati a metà e traccia le perpendicolari ai punti medi. Il punto della loro intersezione sarà il centro del cerchio. Disegnalo in modo che intersechi tutti i vertici degli angoli.

I due lati corti di un triangolo rettangolo, che solitamente vengono chiamati cateti, per definizione devono essere perpendicolari tra loro. Questa proprietà della figura facilita notevolmente la sua costruzione. Tuttavia, non è sempre possibile determinare con precisione la perpendicolarità. In questi casi, puoi calcolare le lunghezze di tutti i lati: ti permetteranno di costruire un triangolo nell'unico modo possibile, e quindi corretto.

Avrai bisogno

• Carta, matita, righello, goniometro, compasso, squadra.

YouTube enciclopedico

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✪ 7° elementare, lezione 22, Costruzioni con compasso e righello

✪ Geometria 7 Costruzioni circolari con compasso e righello

✪ Costruire un triangolo utilizzando due lati e l'angolo compreso tra loro

✪ Geometria 7 Esempi di problemi di costruzione

✪ 7a elementare, lezione 23, Esempi di problemi di costruzione

Sottotitoli

Esempi

Problema di bisezione. Usa un compasso e un righello per dividere questo segmento AB in due parti uguali. Una delle soluzioni è mostrata in figura:

• Usando un compasso disegniamo cerchi con i centri nei punti UN E B raggio AB.
• Trovare punti di intersezione P E Q due cerchi costruiti (archi).
• Usando un righello, disegna un segmento o una linea che passa attraverso i punti P E Q.
• Trovare il punto medio desiderato del segmento AB- punto di intersezione AB E PQ.

Definizione formale

Nei problemi di costruzione vengono considerati molti dei seguenti oggetti: tutti i punti del piano, tutte le rette del piano e tutte le circonferenze del piano. Nelle condizioni del problema, viene inizialmente specificato un determinato insieme di oggetti (considerato costruito). È consentito aggiungere (costruire) all'insieme di oggetti costruiti:

1. punto arbitrario;
2. un punto arbitrario su una determinata linea;
3. un punto arbitrario su un dato cerchio;
4. il punto di intersezione di due linee date;
5. punti di intersezione/tangenza di una data retta e di un dato cerchio;
6. punti di intersezione/tangenza di due cerchi dati;
7. una linea retta arbitraria passante per un dato punto;
8. una retta passante per due punti dati;
9. un cerchio arbitrario con un centro in un dato punto;
10. un cerchio arbitrario con un raggio uguale alla distanza tra due punti dati;
11. una circonferenza con centro in un dato punto e raggio pari alla distanza tra due punti dati.

È necessario, utilizzando un numero finito di queste operazioni, costruire un altro insieme di oggetti che sia in una determinata relazione con l'insieme originale.

La soluzione al problema della costruzione contiene tre parti essenziali:

1. Descrizione del metodo per costruire un dato insieme.
2. Prova che l'insieme costruito nel modo descritto è effettivamente in una determinata relazione con l'insieme originale. Solitamente la dimostrazione della costruzione viene effettuata come una normale dimostrazione del teorema, basata su assiomi e altri teoremi dimostrati.
3. Analisi del metodo di costruzione descritto per la sua applicabilità a diverse versioni delle condizioni iniziali, nonché per l'unicità o non unicità della soluzione ottenuta con il metodo descritto.

Problemi noti

Un altro problema ben noto e insolubile che utilizza compasso e righello è la costruzione di un triangolo utilizzando tre bisettrici di data lunghezza. Questo problema rimane insolubile anche con uno strumento che esegue la trisezione di un angolo, come un tomahawk.

Segmenti accettabili per la costruzione utilizzando compasso e righello

Utilizzando questi strumenti è possibile costruire un segmento la cui lunghezza è:

Per costruire un segmento di lunghezza numericamente uguale a prodotto, quoziente e radice quadrata delle lunghezze di segmenti dati, è necessario specificare sul piano di costruzione un segmento unitario (cioè un segmento di lunghezza 1). Utilizzando compasso e righello è impossibile estrarre radici da segmenti con altre potenze naturali che non siano potenze di 2. Quindi, ad esempio, è impossibile costruire un segmento di lunghezza da un segmento unitario utilizzando un compasso e un righello. Da questo fatto, in particolare, deriva che il problema del raddoppio del cubo è irrisolvibile.

Costruzioni possibili e impossibili

Da un punto di vista formale, la soluzione di qualsiasi problema di costruzione si riduce a una soluzione grafica di qualche equazione algebrica, e i coefficienti di questa equazione sono legati alle lunghezze di determinati segmenti. Pertanto, possiamo dire che il compito della costruzione si riduce alla ricerca delle radici reali di qualche equazione algebrica.

Pertanto, è conveniente parlare di costruzione di un numero: una soluzione grafica a un'equazione di un certo tipo.

In base alle possibili costruzioni dei segmenti, sono possibili le seguenti costruzioni:

• Costruzione di soluzioni di equazioni lineari.
• Costruzione di soluzioni di equazioni che si riducono a soluzioni di equazioni quadratiche.

In altre parole, è possibile costruire solo segmenti uguali a espressioni aritmetiche utilizzando la radice quadrata dei numeri originali (data la lunghezza dei segmenti).

È importante notare che è essenziale che la decisione sia espressa utilizzando piazza radici, non radicali di grado arbitrario. Anche se un'equazione algebrica ha una soluzione in radicali, non ne consegue che sia possibile costruire un segmento uguale alla sua soluzione con compasso e riga. L'equazione più semplice è: x 3 − 2 = 0 , (\displaystyle x^(3)-2=0,) associato al famoso problema del raddoppio del cubo, che si riduce a questa equazione cubica. Come accennato in precedenza, la soluzione di questa equazione ( 2 3 (\displaystyle (\sqrt[(3)](2)))) non può essere costruito con compasso e righello.

La capacità di costruire un 17-gono regolare deriva dall'espressione del coseno dell'angolo al centro del suo lato:

cos ⁡ (2 π 17) = − 1 16 + 1 16 17 + 1 16 34 − 2 17 + (\displaystyle \cos (\left((\frac (2\pi )(17))\right))=- (\frac (1)(16))\;+\;(\frac (1)(16))(\sqrt (17))\;+\;(\frac (1)(16))(\sqrt (34-2(\quadrato (17))))\;+\;) + 1 8 17 + 3 17 − 34 − 2 17 − 2 34 + 2 17 , (\displaystyle +(\frac (1)(8))(\sqrt (17+3(\sqrt (17))-(\ quadrato (34-2(\quadrato (17))))-2(\quadrato (34+2(\quadrato (17)))))),) il che, a sua volta, consegue dalla possibilità di ridurre un'equazione della forma x F n - 1 = 0 , (\displaystyle x^(F_(n))-1=0,) Dove Fn (\displaystyle F_(n))- qualsiasi numero primo Fermat, utilizzando un cambio di variabile in un'equazione quadratica.

Variazioni e generalizzazioni

• Costruzioni utilizzando una bussola. Secondo il teorema di Mohr-Mascheroni, con l'aiuto di un compasso puoi costruire qualsiasi figura che possa essere costruita con un compasso e una riga. In questo caso una linea retta si considera costruita se su di essa sono specificati due punti.
• Costruzioni utilizzando un righello. Ovviamente con l'ausilio di un unico regolo si possono eseguire solo costruzioni proiettive-invarianti. In particolare,
  • è impossibile perfino dividere un segmento in due parti uguali,
  • È anche impossibile trovare il centro di un dato cerchio.

Tuttavia,

• Se sul piano è presente un cerchio già tracciato con un centro segnato e un righello, è possibile eseguire le stesse costruzioni che con compasso e righello (

Se è del tutto naturale che con la disponibilità di una maggiore varietà di strumenti diventi possibile risolvere un insieme più ampio di problemi costruttivi, allora si potrebbe prevedere che, al contrario, con le restrizioni imposte agli strumenti, la classe dei problemi risolvibili sarà ristretto. Tanto più notevole è la scoperta fatta dall'italiano Mascheroni (1750-1800): tutte le costruzioni geometriche che si possono fare con compasso e riga possono essere fatte solo con un compasso. Va ovviamente notato che è impossibile tracciare effettivamente una linea retta passante per due punti dati senza un righello, quindi questa costruzione di base non è coperta dalla teoria di Mascheroni. Dobbiamo invece supporre che una retta sia data se siano dati due dei suoi punti. Ma con l'aiuto del solo compasso è possibile trovare il punto di intersezione di due linee così definite, oppure il punto di intersezione di una linea con un cerchio.

Probabilmente l'esempio più semplice della costruzione di Mascheroni è il raddoppio di un dato segmento. La soluzione è già stata data a pagina 185. Inoltre, a pagina 186 abbiamo imparato come dividere un dato segmento a metà. Vediamo ora come dividere in due un arco di cerchio con centro O. Ecco la descrizione di questa costruzione. Disegniamo due archi con centri con raggio.Dal punto O tracciamo due di questi archi su questi archi e poi troviamo il punto di intersezione dell'arco con il centro P e il raggio e l'arco con il centro e il raggio.Infine , prendendo come raggio un segmento descriviamo l'arco con centro P oppure fino a quando l'intersezione con il punto di intersezione dell'arco è il punto medio desiderato dell'arco. Lasciamo la dimostrazione al lettore come esercizio.

Riso. 48. Intersezione di un cerchio e di una linea non passante per il centro

Sarebbe impossibile provare l'affermazione principale di Mascheroni mostrando, per ogni costruzione che si può fare con compasso e riga, come si può fare solo con compasso: del resto le costruzioni possibili sono innumerevoli. Ma raggiungeremo lo stesso obiettivo se stabiliamo che ciascuna delle seguenti costruzioni di base è fattibile utilizzando un’unica bussola:

1. Disegna un cerchio se vengono forniti il ​​centro e il raggio.

2. Trova i punti di intersezione di due cerchi.

3. Trova i punti di intersezione della linea e del cerchio.

4. Trova il punto di intersezione di due linee.

Qualsiasi costruzione geometrica (nel senso comune del termine, con l'assunzione di compasso e riga) è composta da una sequenza finita di queste costruzioni elementari. Che i primi due possano essere realizzati utilizzando un'unica bussola è subito chiaro. Le costruzioni più difficili 3 e 4 vengono eseguite utilizzando le proprietà di inversione discusse nel paragrafo precedente.

Passiamo alla costruzione 3: troveremo i punti di intersezione di un dato cerchio C con una retta passante per questi punti, disegneremo archi con centri e raggi rispettivamente uguali e, ad eccezione del punto O, si intersecheranno in punto P. Quindi costruiremo un punto inverso al punto P relativo al cerchio C (vedi costruzione descritta a pagina 186). Infine disegniamo una circonferenza con centro e raggio (si intersecherà sicuramente con C): i suoi punti di intersezione con la circonferenza C saranno quelli desiderati. Per dimostrarlo è sufficiente stabilire che ciascuno dei punti si trova alle stesse distanze (per quanto riguarda i punti, la loro similarità consegue immediatamente dalla costruzione). Basta infatti fare riferimento al fatto che il punto reciproco del punto è separato dai punti ad una distanza pari al raggio del cerchio C (vedi pagina 184). Vale la pena notare che il cerchio passante per i punti è la retta inversa in inversione rispetto al cerchio C, poiché questo cerchio e la retta si intersecano

Riso. 49. L'intersezione di un cerchio e una linea passante per il centro

con C negli stessi punti. (Quando invertiti, i punti sul cerchio principale rimangono fermi.)

La costruzione indicata non è fattibile solo se la retta passa per il centro C. Ma allora i punti di intersezione si possono trovare mediante la costruzione descritta a pagina 188, come ottenuta tracciando un cerchio arbitrario con centro B intersecante C in punti Il metodo per tracciare la circonferenza inversa di una retta che collega due punti dati dà immediatamente una costruzione che risolve il problema 4. Sia le rette siano date da punti (Fig. 50).

Riso. 50. Intersezione di due linee

Disegniamo un cerchio arbitrario C e, usando il metodo sopra, costruiamo cerchi inversi alle linee rette e. Questi cerchi si intersecano nel punto O e in un altro punto. Il punto X, l'inverso del punto, è il punto di intersezione desiderato: come costruire è già stato spiegato sopra. Che X sia il punto desiderato risulta evidente dal fatto che esiste un unico punto inverso ad un punto che appartiene contemporaneamente ad entrambe le rette e, quindi, il punto X, l'inverso, deve giacere contemporaneamente su entrambe le rette.

Queste due costruzioni completano la dimostrazione dell'equivalenza tra le costruzioni di Mascheroni, in cui è consentito l'uso del solo compasso, e le costruzioni geometriche ordinarie con compasso e riga.

Non ci interessava l’eleganza della risoluzione dei singoli problemi qui considerati, poiché il nostro obiettivo era chiarire il significato interiore delle costruzioni di Mascheroni. Ma indicheremo come esempio anche la costruzione di un pentagono regolare; più precisamente si tratta di trovare circa cinque punti sul cerchio che possano fungere da vertici di un pentagono regolare inscritto.

Sia A un punto arbitrario sul cerchio K. Poiché il lato di un esagono regolare inscritto è uguale al raggio del cerchio, non sarà difficile tracciare punti su K tali che

Conosciuto fin dall'antichità.

Nelle attività di costruzione sono possibili le seguenti operazioni:

• Segna qualsiasi punto su un piano, un punto su una delle linee costruite o il punto di intersezione di due linee costruite.
• Usando bussola disegna un cerchio con centro nel punto costruito e raggio pari alla distanza tra i due punti già costruiti.
• Usando governanti traccia una linea retta passante per i due punti costruiti.

In questo caso, compasso e righello sono considerati strumenti ideali, in particolare:

1. Esempio semplice

Dividere un segmento a metà

Compito. Usa un compasso e un righello per dividere questo segmento AB in due parti uguali. Una delle soluzioni è mostrata in figura:

• Usando un compasso costruiamo una circonferenza con il centro in un punto UN raggio AB.
• Costruzione di una circonferenza con centro in un punto B raggio AB.
• Trovare punti di intersezione P E Q due cerchi costruiti.
• Usa un righello per tracciare una linea che collega i punti P E Q.
• Trovare il punto di intersezione AB E P.Q. Questo è il punto medio desiderato del segmento AB.

2. Poligoni regolari

Gli antichi geometri conoscevano i metodi corretti per costruire n-gon per e .

4. Costruzioni possibili e impossibili

Tutte le costruzioni non sono altro che la soluzione di qualche equazione, e i coefficienti di questa equazione sono legati alla lunghezza di determinati segmenti. Pertanto, è conveniente parlare di costruzione di un numero: una soluzione grafica a un'equazione di un certo tipo.

Nell'ambito dei requisiti edilizi sono possibili i seguenti edifici:

In altre parole, puoi costruire numeri uguali a espressioni aritmetiche solo utilizzando la radice quadrata dei numeri originali (la lunghezza dei segmenti). Per esempio,

5. Variazioni e generalizzazioni

6. Fatti divertenti

• GeoGebra, Kig, KSEG - programmi che ti consentono di eseguire costruzioni utilizzando compassi e righelli.

Letteratura

• A.Adler. Teoria delle costruzioni geometriche, Traduzione dal tedesco di G. M. Fikhtengolts. Terza edizione. L., Navchpedvid, 1940-232 pag.
• I. Alexandrov, Raccolta di problemi di costruzione geometrica, Diciottesima edizione, M., Navchpedvid, 1950-176 p.
• B. I. Argunov, M B Balk.

Il materiale contenuto in questo paragrafo può essere utilizzato nelle lezioni opzionali. Può essere presentato agli studenti, sia sotto forma di lezione frontale, sia sotto forma di relazioni degli studenti.

I problemi conosciuti fin dall’antichità come “famosi problemi dell’antichità” hanno attirato molta attenzione per molti secoli. Sotto questo nome apparivano solitamente tre famosi problemi:

1) quadratura del cerchio,

2) trisezione dell'angolo,

3) raddoppiando il cubo.

Tutti questi compiti nascevano nei tempi antichi dai bisogni pratici delle persone. Nella prima fase della loro esistenza, fungevano da problemi computazionali: utilizzando alcune “ricette”, venivano calcolati valori approssimativi delle quantità desiderate (area di un cerchio, circonferenza, ecc.). Nella seconda fase della storia di questi problemi si verificano cambiamenti significativi nella loro natura: diventano problemi geometrici (costruttivi).

Nell'Antica Grecia durante questo periodo furono date formulazioni classiche:

1) costruire un quadrato di dimensioni uguali al cerchio dato;

2) dividere questo angolo in tre parti uguali;

3) costruire lo spigolo di un nuovo cubo, il cui volume sarebbe il doppio di quello del cubo dato.

È stato proposto di realizzare tutte queste costruzioni geometriche utilizzando compasso e righello.

La semplicità della formulazione di questi problemi e le “difficoltà insormontabili” incontrate nel percorso per risolverli hanno contribuito alla crescita della loro popolarità. Nel tentativo di fornire soluzioni rigorose a questi problemi, gli scienziati dell'antica Grecia ottennero "lungo la strada" molti risultati importanti per la matematica, che contribuirono alla trasformazione delle più disparate conoscenze matematiche in una scienza deduttiva indipendente (i Pitagorici, Ippocrate di Chio e Archimede lasciarono un segno particolarmente evidente in quel momento).

Il problema del raddoppio del cubo.

Il problema di raddoppiare un cubo è il seguente: conoscendo lo spigolo di un dato cubo, costruisci uno spigolo di un cubo il cui volume sia il doppio del volume del cubo dato.

Sia a la lunghezza del bordo di un dato cubo, x la lunghezza del bordo del cubo desiderato. Sia il volume di un dato cubo e il volume del cubo desiderato, quindi, secondo la formula per calcolare il volume di un cubo, abbiamo che: =, e poiché, secondo le condizioni del problema, noi arrivare all'equazione.

È noto dall'algebra che le radici razionali di una data equazione a coefficienti interi possono essere solo intere ed essere contenute tra i divisori del termine libero dell'equazione. Ma gli unici divisori del numero 2 sono i numeri +1, - 1, +2, - 2, e nessuno di essi soddisfa l'equazione originale. Pertanto, l'equazione non ha radici razionali, il che significa che il problema del raddoppio di un cubo non può essere risolto utilizzando compasso e righello.

Il problema di raddoppiare un cubo utilizzando compasso e righello può essere risolto solo approssimativamente. Ecco uno dei modi più semplici per risolvere approssimativamente questo problema.

Sia AB=BC=a e ABC. Costruiamo AD=AC, quindi CD con una precisione dell'1%. Infatti, CD 1.2586…. Allo stesso tempo =1.2599….

Il problema della quadratura del cerchio.

Giustificazione dell'irrisolvibilità del problema utilizzando compasso e righello.

Il problema della quadratura di un cerchio è il seguente: costruire un quadrato di dimensioni uguali al cerchio.

Sia il raggio del cerchio dato e sia la lunghezza del lato del quadrato desiderato. Poi, da qui.

Di conseguenza, il problema della quadratura del cerchio sarà risolto se costruiamo un segmento lungo. Se il raggio di un dato cerchio viene preso come segmento unitario (=1), allora il problema si ridurrà a costruire un segmento di lunghezza da un segmento unitario.

Come è noto, conoscendo un segmento unitario, possiamo usare compasso e righello per costruire solo quei segmenti le cui lunghezze sono espresse in termini di numeri razionali utilizzando un insieme finito di operazioni razionali ed estraendo radici quadrate e, quindi, sono numeri algebrici. In questo caso non verranno utilizzati tutti i numeri algebrici. Ad esempio, non è possibile costruire un segmento di lunghezza, ecc.

Nel 1882 Lindemann dimostrò che è trascendentale. Ne consegue che è impossibile costruire un segmento di lunghezza con compasso e riga e, quindi, con questi mezzi il problema della quadratura di un cerchio è irrisolvibile.

Soluzione approssimativa del problema utilizzando compasso e righello.

Consideriamo una delle tecniche per la costruzione approssimativa di segmenti di lunghezza. Questa tecnica è la seguente. Un quarto del cerchio AB con centro nel punto O e raggio uguale a uno è diviso a metà dal punto C. Sulla continuazione del diametro CD tracciamo un segmento DE uguale al raggio. Dal punto E tracciamo i raggi EA ed EB finché non si intersecano con la tangente nel punto C. Il segmento tagliato AB è approssimativamente uguale alla lunghezza dell'arco AB e il segmento raddoppiato è uguale al semicerchio.

L'errore relativo di questa approssimazione non supera lo 0,227%.

Problema della trisezione dell'angolo.

Giustificazione dell'irrisolvibilità del problema utilizzando compasso e righello.

Il problema della trisezione dell'angolo è il seguente: Dividi questo angolo in tre parti uguali.

Limitiamoci a risolvere il problema per angoli non superiori a 90. Se è un angolo ottuso, allora =180-, dove<90, так что, и поэтому задача о трисекции тупого угла сводится к задаче о трисекции острого угла.

Si noti che (in presenza di un segmento unitario) il problema di costruire l'angolo (90) equivale al problema di costruire il segmento x=cos. Infatti, se si costruisce l'angolo, allora la costruzione del segmento x = cos si riduce alla costruzione di un triangolo rettangolo utilizzando l'ipotenusa e un angolo acuto.

Indietro. Se si costruisce un segmento x, allora la costruzione di un angolo tale che x = cos si riduce alla costruzione di un triangolo rettangolo utilizzando l'ipotenusa e il cateto.

Sia l'angolo dato e l'angolo desiderato, quindi =. Allora cos=cos 3. È noto che cos 3= 4cos-3cos. Pertanto, assumendo cos = e cos =, arriviamo all'equazione:

cos =4cos-3cos,

Un segmento, e quindi un angolo, può essere costruito solo se questa equazione ha almeno una radice razionale. Ma questo non accade per tutti, e quindi il problema della trisezione di un angolo, in generale, non può essere risolto utilizzando compasso e righello. Per esempio. Per =60 otteniamo =1 e l'equazione trovata assume la forma: . È facile verificare che questa equazione non ha alcuna radice razionale, il che significa che è impossibile dividere un angolo di 60° in tre parti uguali utilizzando compasso e riga. Pertanto, il problema della trisezione di un angolo non può essere risolto con un compasso e un righello in forma generale.

Soluzione approssimativa del problema utilizzando compasso e righello.

Consideriamo uno dei metodi per la soluzione approssimativa del problema utilizzando compasso e righello, proposto da Albert Dürer (1471-1528).

Sia dato l'angolo ASB. Dal vertice S descriviamo un cerchio di raggio arbitrario e colleghiamo i punti di intersezione dei lati dell'angolo con il cerchio mediante la corda AB. Dividiamo questo accordo in tre parti uguali nei punti R e R (A R = R R = RB). Dai punti A e B, come dai centri, con raggi A R = RB descriviamo archi che intersecano il cerchio nei punti T e T. Eseguiamo RSAB. Con raggi A S= BS tracciamo archi che intersecano AB nei punti U e U. Gli archi AT, SS e TB sono tra loro uguali, poiché sottesi da corde uguali.

Per trovare i punti di trisezione dell'angolo X e X, Dürer divide i segmenti RU e RU in tre parti uguali per i punti PV e PV. Poi disegniamo degli archi di raggio AV e BV che intersecano il cerchio nei punti X e X. Congiungendo questi punti con S, otteniamo la divisione di questo angolo in tre parti uguali con buona approssimazione ai valori veri.