Урок разноуровневого обобщающего повторения на тему: «Сложение и вычитание рациональных дробей. Сложение и вычитание алгебраических дробей: правила, примеры

Цель урока:

образовательная - обобщить и систематизировать знания учащихся по темам: «Алгебраическая дробь и ее свойства. Сложение и вычитание алгебраических дробей», закрепить вычислительные навыки;

развивающая – развивать познавательную деятельность учащихся, формировать навыки самостоятельной работы, побуждать любознательность

воспитательная - воспитание внимания, тренировка памяти, развитие сообразительности, находчивости, товарищества

Оборудование: интерактивная доска, компьютер(презентация)

Ход урока:

1. Организационный момент. Тема урока записана на доске.

2. Ребята, сегодня у нас необычный урок. Мы с вами совершим небольшое путешествие в страну РАЦИОНАЛЬНЫХ (АЛГЕБРАИЧЕСКИХ) ДРОБЕЙ. Сегодня на уроке нужно быть очень внимательным и много трудиться. Только тогда удача будет наградой за труд, иначе можно попасть в очень неприятную историю. Впереди вас ждут станции, где вам надо будет показать свои знания, находчивость, смекалку. Маршрут путешествия мы будем выбирать, используя карту (слайд 2). Класс наш поделится на 3 команды (по рядам).Итак, в путь!

1.Поляна «Теоретическая»

Каждой команде предлагается ответить на 2 вопроса

На экране 6 подсолнухов, в каждом содержится вопрос. Команда выбирает вопрос и отвечает, за правильный ответ получают очки.

Сформулируйте основное свойство дробей.

Какая дробь называется алгебраической?

3.Сформулируйте правило изменения знака перед дробью?

4. Когда алгебраическая дробь равна нулю?

5. Когда алгебраическая дробь не имеет смысла?

6. Что называется сокращением дроби?

2.Замок алгоритмов

Сформулируйте алгоритм сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Сформулируйте алгоритм сложения и вычитания дробей с разными знаменателями

Типы задач

Сумма (разность ) дробей, знаменатели которых одинаковы.

Сумма (разность ) дробей, знаменатели которых одночлены, имеющие общие множители.

Сумма (разность ) дробей, знаменатели которых многочлены.

1) Выписать числители дробей, поставив между ними знак

2) Знаменатель оставить без изменения

3) преобразовать числитель новой дроби (раскрыть скобки, привести подобные, разложить на множители, сократить дробь, если возможно)

1) записать в знаменатель НОК коэффициентов одночленов.

2) выписать переменные, входящие в каждый из одночленов, с наибольшим показателем

3) составить произведение полученных множителей;

4)найти дополнительные множители для этого общий знаменатель разделить на знаменатель каждой дроби

5) записать числитель новой дроби, для этого дополнительный множитель каждой дроби умножить на соответствующий числитель, поставив между произведениями знак между дробями

6)

1)разложить на множители знаменатели дробей;

2) Найти НОЗ и записать в знаменатель

3) найти дополнительные множители

4) записать числитель новой дроби, для этого дополнительный множитель каждой дроби умножить на соответствующий числитель, поставить между произведениями знак между дробями

5) преобразовать числитель новой дроби

После повторения правил рассматриваются решения примеров на слайде.

I II III

1) 1)
1)

2)
2)
2)

3)
3)
3)

3.Исторический городок

Выполнив задания, найдите ответы. Каждому ответу соответствует буква,составьте слово, о происхождении которого вы узнаете из следующего слайда.

49+14у+у 2

а 3 – 125

(3с-2) 2

Слово алгебра произошло от слова алджабра , взятого из названия книги узбекского математика, астронома и географа Мухамеда Ал-Хорезми «Краткая книга об исчислениях ал-джабры и ва-л-мукабалы».

4.Загадочный лабиринт

Каждой команде по 4 находки в лабиринте, правильные ответы щелчком мышки попадают на свои места, неправильные покидают поле.

5.Остров ошибок.

6.Сказочный лес

Какой из героев сказок спрятал верный ответ? Определите зто, кликнув по изображению

1) Найдите дробь

2) При каких х выражение не имеет смысла?

Тема “Сложение и вычитание рациональных дробей ” – одна из ведущих в учебной программе по алгебре 8 класса. И навык, приобретенный в ходе ее изучения, крайне необходим для учащегося на все последующие годы обучения в школе.

Не секрет, что дети очень слабо овладевают техникой сложения рациональных дробей с разными знаменателями, из-за чего процент успешности в старших классах уменьшается.

В данной статье предлагается математическая сказка 8 класс на тему “Сложение рациональных дробей “, в которой делается акцент на запоминании алгоритма сложения и вычитания рациональных дробей с разными знаменателями.

Этот алгоритм носит название “Правило трех “С” (русский вариант).

“Сложение рациональных дробей”

Федя готовил домашнее задание. Задачу по алгебре стал делать последней.

Открыл раздел «Рациональные дроби» , закрыл глаза и начал думать.

« Опять эти иксы. А наша Анна Романовна ох, как любит их! Вот правил понапридумывали! Сложение, вычитание дробей… с одинаковыми знаменателями и с разными. Попробуй запомни, какой и где знаменатель писать, а какой числитель. А еще откуда-то взялся дополнительный множитель. А пример в книге решен как-то непонятно. Как разобраться с этими иксами? »

Рассуждая об иксах, Федя уснул. И снится ему, что он очень маленький, а над ним стоит огромный иксище и говорит: « За что ты, Федя, меня так не любишь? Я ничего тебе плохого не сделал » .

А Федя во сне: «Против тебя самого я ничего не имею. Но, когда ты в рациональных дробях стоишь, и их надо складывать и вычитать, у меня руки опускаются…».

«Я тебе помогу, – предложил X. – Запомни правило трех « С » , что означает: С низу, С боку и С верху.

Снизу означает, что сначала записывай общий знаменатель, он снизу.

Сбоку – это значит, что потом дополнительный множитель пиши, он сбоку.

Сверху – числитель, так как он сверху дроби.

Как их найти, прочитай внимательно в учебнике».

Проснулся от сна Федя, посмотрел на записанное правило сложения рациональных дробей с разными знаменателями и вдруг все понял.

Математична казка 8 клас “Додавання раціональних дробів”.

Федько готував домашнє завдання. Завдання з алгебри почав робити останнім.

Відкрив розділ «Раціональні дроби», заплющив очі і почав міркувати. «Знову ці ікси. А наша Ганна Романівна ох, як любить їх! От правил понавигадували! Додавання, віднімання дробів, з однаковими знаменниками та з різними. Спробуй запам’ятай, який і де знаменник писати, а який чисельник. А ще звідкись узявся додатковий множник. А приклад у книжці розв’язано якось незрозуміло. Як розібратися з цими іксами?»

Міркуючи про ікси, Федько заснув. І сниться йому, що він дуже маленький, а над ним стоїть велетенський іксище і промовляє: «За що ти, Федю, мене так не любиш? Я ж нічого тобі поганого не зробив».

А Федько уві сні: «Проти тебе самого я нічого не маю. Але, коли ти у раціональних дробах стоїш, і їх треба додавати і віднімати, у мене руки опускаються».

«Я тобі допоможу, - запропонував X. - Запам’ятай правило трьох «З» , що означає: З низу, З боку і З верху.

Знизу означає, що спочатку записуй спільний знаменник, він знизу.

Збоку - це значить, що потім додатковий множник пиши, він збоку.

Зверху - чисельник, тому що він зверху дробу.

Як їх знайти, прочитай уважно у підручнику».

Прокинувся від сну Федько, подивився на записане правило додавання та віднімання дробів з різнимии знаменниками і раптом усе зрозумів.

*************************************************************************************************

Внимание!

Алгоритм сложения и вычитания рациональных дробей с разными знаменателями , а также примеры с подробным разбором решения можно

Уважаемые читатели!

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ

Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями выполняют по тому же алгоритму, что используется для сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями: сначала приводят дроби к общему знаменателю с помощью соответствующих дополнительных множи-
телей, а затем складывают или вычитают полученные дроби с одинаковыми знаменателями по правилу из § 3. Можно сформулировать алгоритм, охватывающий любые случаи сложения (вычитания) алгебраических дробей.

Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей

Пример 1. Выполнить действия:

Решение. Для каждой пары заданных здесь алгебраических дробей общий знаменатель был найден выше, в примере из § 2. Опираясь на указанный пример, получаем:

Самое трудное в приведенном алгоритме — это, конечно, первый шаг: отыскание общего знаменателя и приведение дробей к общему знаменателю. В примере 1 вы этой трудности, может быть, не ощутили, поскольку мы воспользовались готовыми результатами из § 2.

Чтобы выработать правило отыскания общего знаменателя, проанализируем пример 1.
Для дробей общий знаменатель есть число 15 оно делится и на 3 и на 5, является их общим кратным (даже наименьшим общим кратным).
Для дробей — общим знаменателем является одночлен 12b 3 . Он делится и на 4b 2 и на 6b 3 , т. е. на оба одночлена, служащие знаменателями дробей.

Обратите внимание: число 12 — наименьшее общее кратное чисел 4 и 6. Переменная b входит в знаменатель первой дроби с показателем 2, в знаменатель
второй дроби — с показателем 3. Это наибольшее значение показателя 3 фигурирует в общем знаменателе.
Для дробей

общим знаменателем служит произведение (х + у)(х - у) — оно делится и на знаменатель х + у и на знаменатель х-у.

При отыскании общего знаменателя приходится, естественно, все заданные знаменатели разлагать на множители (если это не было подготовлено в условии). А далее следует провести работу по этапам: найти наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов (речь идет о целочисленных коэффициентах), определить для каждого несколько раз встречающегося буквенного множителя наибольший показатель степени, собрать все это в одно произведение.

Теперь можно оформить соответствующий алгоритм.

Алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей

Прежде чем двигаться дальше, попробуйте применить этот алгоритм к обоснованию поиска общего знаменателя для алгебраических дробей из примера 1.
Замечание. На самом деле общих знаменателей для двух алгебраических дробей можно найти сколько угодно. Например, для дробей общим
знаменателем может быть и число 30, и число 60, и даже одночлен 15а2Ь. Дело в том, что и 30, и 60, и 15а 2 b можно разделить как на 3, так и на 5. Для
дробей —
общим знаменателем, кроме найденного выше одночлена 12b , может быть и 24b 3 и 48а 2 b 4 . Чем же одночлен 12b 3 лучше, чем 24b 3 , чем 48а 2 b 4 ? Он проще (по виду). Его иногда называют даже не общим знаменателем, а наименьшим общим знаменателем. Таким образом, приведенный алгоритм — это алгоритм
отыскания самого простого из общих знаменателей нескольких алгебраических дробей, алгоритм отыскания наименьшего общего знаменателя.

Снова вернемся к примеру 1, а. Чтобы сложить алгебраические дроби , надо было не только найти общий знаменатель (число 15), но и отыскать для каждой из дробей дополнительные множители, которые позволили бы привести дроби к общему знаменателю. Для дроби таким дополнительным мно-
жителем служит число 5 (числитель и знаменатель этой дроби умножили дополнительно на 5), для дроби число 3 (числитель и знаменатель этой дроби умножили дополнительно на 3).

Дополнительный множитель есть частное от деления общего знаменателя на знаменатель данной дроби.
Обычно используют следующую запись:

Снова вернемся к примеру 1,6. Общим знаменателем для дробей является одночлен 12b 3 . Дополнительный множитель для первой дроби равен Зb (поскольку 12b 3: 4b 2 = З Ь), для второй дроби он равен 2 (поскольку 12b 3: 6b 3 = 2). Значит, решение примера 1,6 можно оформить так:

Выше был сформулирован алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей. Но опыт показывает, что этот алгоритм не всегда бывает понятен учащимся, поэтому мы дадим несколько видоизмененную формулировку.

Правило приведения алгебраических дробей к общему знаменателю

Пример 2. Упростить выражение

Решение.
Первый этап. Найдем общий знаменатель и дополнительные множители.

Имеем
4а 2 - 1 = (2а - 1) (2а + 1),
2а 2 + а = а(2а + 1).
Первый знаменатель берем целиком, а из второго — добавляем множитель а, которого нет в первом знаменателе. Получим общий знаменатель

a(2a - 1) (2a +1).

Удобно расположить записи в виде таблицы:

Второй этап.
Выполним преобразования:

При наличии некоторого опыта первый этап можно не выделять, выполняя его одновременно со вторым этапом.

В заключение рассмотрим более сложный пример (для желающих).

Пример 3 . Упростить выражение

Решение.
Первый этап.
Разложим все знаменатели на множители:

1) 2а 4 + 4а 3 b + 2a 2 b 2 = 2а 2 (а 2 + 2аb + b 2) = 2а 2 (а + b) 2 ;

2) 3ab 2 - За 3 = За (b 2 - а 2) = За (b - а) (b + а);

3) 6а 4 -6а 3 b = 6а 3 (а- b).

Первый знаменатель берем целиком, из второго возьмем недостающие множители 3 и b - а (или a — b), из третьего — недостающий множитель а (поскольку третий знаменатель содержит множитель а 3).

Алгебраические дроби

Заметим, что если у дополнительного множителя появляется знак «-», то его обычно ставят перед всей дробью, т. е. перед второй дробью придется поменять знак.

Второй этап.
Выполним преобразования:

Отметим, что замена выражения, данного в примере 3, той алгебраической дробью, которая получилась в результате, есть тождественное преобразование при допустимых значениях переменных. В данном случае допустимыми являются любые значения переменных а и Ь, кроме a = 0, a = b, a = - b (в этих
случаях знаменатели обращаются в нуль).