Дроби. Умножение и деление дробей

Дроби — это обычные числа, их тоже можно складывать и вычитать. Но из-за того, что в них присутствует знаменатель, здесь требуются более сложные правила, нежели для целых чисел.

Рассмотрим самый простой случай, когда есть две дроби с одинаковыми знаменателями. Тогда:

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель опять же оставить без изменений.

Внутри каждого выражения знаменатели дробей равны. По определению сложения и вычитания дробей получаем:

Как видите, ничего сложного: просто складываем или вычитаем числители — и все.

Но даже в таких простых действиях люди умудряются допускать ошибки. Чаще всего забывают, что знаменатель не меняется. Например, при сложении их тоже начинают складывать, а это в корне неправильно.

Избавиться от вредной привычки складывать знаменатели достаточно просто. Попробуйте сделать то же самое при вычитании. В результате в знаменателе получится ноль, и дробь (внезапно!) потеряет смысл.

Поэтому запомните раз и навсегда: при сложении и вычитании знаменатель не меняется!

Также многие допускают ошибки при сложении нескольких отрицательных дробей. Возникает путаница со знаками: где ставить минус, а где — плюс.

Эта проблема тоже решается очень просто. Достаточно вспомнить, что минус перед знаком дроби всегда можно перенести в числитель — и наоборот. Ну и конечно, не забывайте два простых правила:

1. Плюс на минус дает минус;
2. Минус на минус дает плюс.

Разберем все это на конкретных примерах:

Задача. Найдите значение выражения:

В первом случае все просто, а во втором внесем минусы в числители дробей:

Что делать, если знаменатели разные

Напрямую складывать дроби с разными знаменателями нельзя. По крайней мере, мне такой способ неизвестен. Однако исходные дроби всегда можно переписать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.

Существует много способов преобразования дробей. Три из них рассмотрены в уроке «Приведение дробей к общему знаменателю », поэтому здесь мы не будем на них останавливаться. Лучше посмотрим на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

В первом случае приведем дроби к общему знаменателю методом «крест-накрест». Во втором будем искать НОК. Заметим, что 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последние множители в этих разложениях равны, а первые взаимно просты. Следовательно, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.

Что делать, если у дроби есть целая часть

Могу вас обрадовать: разные знаменатели у дробей — это еще не самое большое зло. Гораздо больше ошибок возникает тогда, когда в дробях-слагаемых выделена целая часть.

Безусловно, для таких дробей существуют собственные алгоритмы сложения и вычитания, но они довольно сложны и требуют долгого изучения. Лучше используйте простую схему, приведенную ниже:

1. Перевести все дроби, содержащие целую часть, в неправильные. Получим нормальные слагаемые (пусть даже с разными знаменателями), которые считаются по правилам, рассмотренным выше;
2. Собственно, вычислить сумму или разность полученных дробей. В результате мы практически найдем ответ;
3. Если это все, что требовалось в задаче, выполняем обратное преобразование, т.е. избавляемся от неправильной дроби, выделяя в ней целую часть.

Правила перехода к неправильным дробям и выделения целой части подробно описаны в уроке «Что такое числовая дробь ». Если не помните — обязательно повторите. Примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

Здесь все просто. Знаменатели внутри каждого выражения равны, поэтому остается перевести все дроби в неправильные и сосчитать. Имеем:

Чтобы упростить выкладки, я пропустил некоторые очевидные шаги в последних примерах.

Небольшое замечание к двум последним примерам, где вычитаются дроби с выделенной целой частью. Минус перед второй дробью означает, что вычитается именно вся дробь, а не только ее целая часть.

Перечитайте это предложение еще раз, взгляните на примеры — и задумайтесь. Именно здесь начинающие допускают огромное количество ошибок. Такие задачи обожают давать на контрольных работах. Вы также неоднократно встретитесь с ними в тестах к этому уроку, которые будут опубликованы в ближайшее время.

Резюме: общая схема вычислений

В заключение приведу общий алгоритм, который поможет найти сумму или разность двух и более дробей:

1. Если в одной или нескольких дробях выделена целая часть, переведите эти дроби в неправильные;
2. Приведите все дроби к общему знаменателю любым удобным для вас способом (если, конечно, этого не сделали составители задач);
3. Сложите или вычтите полученные числа по правилам сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями;
4. Если возможно, сократите полученный результат. Если дробь оказалась неправильной, выделите целую часть.

Помните, что выделять целую часть лучше в самом конце задачи, непосредственно перед записью ответа.

Калькулятор онлайн.
Вычисление выражения с числовыми дробями.
Умножение, вычитание, деление, сложение и сокращение дробей с разными знаменателями.

С помощью данного калькулятора онлайн вы можете умножить, вычесть, поделить, сложить и сократить числовые дроби с разными знаменателями.

Программа работает с правильными, неправильными и смешанными числовыми дробями.

Данная программа (калькулятор онлайн) умеет:
- выполнять сложение смешанных дробей с разными знаменателями
- выполнять вычетание смешанных дробей с разными знаменателями
- выполнять деление смешанных дробей с разными знаменателями
- выполнять умножение смешанных дробей с разными знаменателями
- приводить дроби к общему знаменателю
- преобразовывать смешанные дроби в неправильные
- сокращать дроби

Также можно ввести не выражение с дробями, а одну единственную дробь.
В этом случае дробь будет сокращена и из результата выделена целая часть.

Калькулятор онлайн для вычисления выражений с числовыми дробями не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс нахождения решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода выражений с числовыми дробями, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода выражений с числовыми дробями

В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3 + 7/5
Результат: \(-\frac{2}{3} + \frac{7}{5} \)

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: -1&2/3 * 5&8/3
Результат: \(-1\frac{2}{3} \cdot 5\frac{8}{3} \)

Деление дробей вводится знаком двоеточие: :
Ввод: -9&37/12: -3&5/14
Результат: \(-9\frac{37}{12} : \left(-3\frac{5}{14} \right) \)
Помните, что на ноль делить нельзя!

При вводе выражений с числовыми дробями можно использовать скобки.
Ввод: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
Результат: \(-\frac{2}{3} \cdot \left(6 \frac{1}{2} - \frac{5}{9} \right) : 2\frac{1}{4} + \frac{1}{3} \)

Введите выражение с числовыми дробями.

Вычислить

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

У вас в браузере отключено выполнение JavaScript.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Обыкновенные дроби. Деление с остатком

Если нам нужно разделить 497 на 4, то при делении мы увидим, что 497 не делится на 4 нацело, т.е. остаётся остаток от деления. В таких случаях говорят, что выполнено деление с остатком , и решение записывают в таком виде:
497: 4 = 124 (1 остаток).

Компоненты деления в левой части равенства называют так же, как при делении без остатка: 497 - делимое , 4 - делитель . Результат деления при делении с остатком называют неполным частным . В нашем случае это число 124. И, наконец, последний компонент, которого нет в обычном делении, - остаток . В тех случаях, когда остатка нет, говорят, что одно число разделилось на другое без остатка, или нацело . Считают, что при таком делении остаток равен нулю. В нашем случае остаток равен 1.

Остаток всегда меньше делителя.

Проверку при делении можно сделать умножением. Если, например, имеется равенство 64: 32 = 2, то проверку можно сделать так: 64 = 32 * 2.

Часто в случаях, когда выполняется деление с остатком, удобно использовать равенство
а = b * n + r ,
где а - делимое, b - делитель, n - неполное частное, r - остаток.

Частное от деления натуральных чисел можно записать в виде дроби.

Числитель дроби - это делимое, а знаменатель - делитель.

Поскольку числитель дроби - это делимое, а знаменатель - делитель, считают, что черта дроби означает действие деление . Иногда бывает удобно записывать деление в виде дроби, не используя знак «:».

Частное от деления натуральных чисел m и n можно записать в виде дроби \(\frac{m}{n} \), где числитель m - делимое, а знаменатель п - делитель:
\(m:n = \frac{m}{n} \)

Верны следующие правила:

Чтобы получить дробь \(\frac{m}{n} \), надо единицу разделить на n равных частей (долей) и взять m таких частей.

Чтобы получить дробь \(\frac{m}{n} \), надо число m разделить на число n.

Чтобы найти часть от целого, надо число, соответствующее целому, разделить на знаменатель и результат умножить на числитель дроби, которая выражает эту часть.

Чтобы найти целое по его части, надо число, соответствующее этой части, разделить на числитель и результат умножить на знаменатель дроби, которая выражает эту часть.

Если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
\(\large \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} \)

Если и числитель, и знаменатель дроби разделить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
\(\large \frac{a}{b} = \frac{a: m}{b: m} \)
Это свойство называют основным свойством дроби .

Два последних преобразования называют сокращением дроби .

Если дроби нужно представить в виде дробей с одним и тем же знаменателем, то такое действие называют приведением дробей к общему знаменателю .

Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа

Вы уже знаете, что дробь можно получить, если разделить целое на равные части и взять несколько таких частей. Например, дробь \(\frac{3}{4} \) означает три четвёртых доли единицы. Во многих задачах предыдущего параграфа обыкновенные дроби использовались для обозначения части целого. Здравый смысл подсказывает, что часть всегда должна быть меньше целого, но как тогда быть с такими дробями, как, например, \(\frac{5}{5} \) или \(\frac{8}{5} \)? Ясно, что это уже не часть единицы. Наверное, поэтому такие дроби, у которых числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильными дробями . Остальные дроби, т. е. дроби, у которых числитель меньше знаменателя, называют правильными дробями .

Как вы знаете, любую обыкновенную дробь, и правильную, и неправильную, можно рассматривать как результат деления числителя на знаменатель. Поэтому в математике, в отличие от обычного языка, термин «неправильная дробь» означает не то, что мы что-то сделали неправильно, а только то, что у этой дроби числитель больше знаменателя или равен ему.

Если число состоит из целой части и дроби, то такие дроби называются смешанными .

Например:
\(5:3 = 1\frac{2}{3} \) : 1 - целая часть, а \(\frac{2}{3} \) - дробная часть.

Если числитель дроби \(\frac{a}{b} \) делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её числитель разделить на это число:
\(\large \frac{a}{b} : n = \frac{a:n}{b} \)

Если числитель дроби \(\frac{a}{b} \) не делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её знаменатель умножить на это число:
\(\large \frac{a}{b} : n = \frac{a}{bn} \)

Заметим, что второе правило справедливо и в том случае, когда числитель делится на n. Поэтому мы можем его применять тогда, когда трудно с первого взгляда определить, делится числитель дроби на n или нет.

Действия с дробями. Сложение дробей.

С дробными числами, как и с натуральными числами, можно выполнять арифметические действия. Рассмотрим сначала сложение дробей. Легко сложить дроби с одинаковыми знаменателями. Найдем, например, сумму \(\frac{2}{7} \) и \(\frac{3}{7} \). Легко понять, что \(\frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7} \)

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

Используя буквы, правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так:
\(\large \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \)

Если требуется сложить дроби с разными знаменателями, то их предварительно следует привести к общему знаменателю. Например:
\(\large \frac{2}{3}+\frac{4}{5} = \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}+\frac{4\cdot 3}{5\cdot 3} = \frac{10}{15}+\frac{12}{15} = \frac{10+12}{15} = \frac{22}{15} \)

Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства сложения.

Сложение смешанных дробей

Такие записи, как \(2\frac{2}{3} \), называют смешанными дробями . При этом число 2 называют целой частью смешанной дроби, а число \(\frac{2}{3} \) - ее дробной частью . Запись \(2\frac{2}{3} \) читают так: «две и две трети».

При делении числа 8 на число 3 можно получить два ответа: \(\frac{8}{3} \) и \(2\frac{2}{3} \). Они выражают одно и то же дробное число, т.е \(\frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3} \)

Таким образом, неправильная дробь \(\frac{8}{3} \) представлена в виде смешанной дроби \(2\frac{2}{3} \). В таких случаях говорят, что из неправильной дроби выделили целую часть .

Вычитание дробей (дробных чисел)

Вычитание дробных чисел, как и натуральных, определяется на основе действия сложения: вычесть из одного числа другое - это значит найти такое число, которое при сложении со вторым дает первое. Например:
\(\frac{8}{9}-\frac{1}{9} = \frac{7}{9} \) так как \(\frac{7}{9}+\frac{1}{9} = \frac{8}{9} \)

Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями похоже на правило сложения таких дробей:
чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним.

С помощью букв это правило записывается так:
\(\large \frac{a}{c}-\frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} \)

Умножение дробей

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе - знаменателем.

С помощью букв правило умножения дробей можно записать так:
\(\large \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \)

Пользуясь сформулированным правилом, молено умножать дробь на натуральное число, на смешанную дробь, а также перемножать смешанные дроби. Для этого нужно натуральное число записать в виде дроби со знаменателем 1, смешанную дробь - в виде неправильной дроби.

Результат умножения надо упрощать (если это возможно), сокращая дробь и выделяя целую часть неправильной дроби.

Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства умножения, а также распределительное свойство умножения относительно сложения.

Деление дробей

Возьмем дробь \(\frac{2}{3} \) и «перевернем» ее, поменяв местами числитель и знаменатель. Получим дробь \(\frac{3}{2} \). Эту дробь называют обратной дроби \(\frac{2}{3} \).

Если мы теперь «перевернем» дробь \(\frac{3}{2} \), то получим исходную дробь \(\frac{2}{3} \). Поэтому такие дроби, как \(\frac{2}{3} \) и \(\frac{3}{2} \) называют взаимно обратными .

Взаимно обратными являются, например, дроби \(\frac{6}{5} \) и \(\frac{5}{6} \), \(\frac{7}{18} \) и \(\frac{18}{7} \).

С помощью букв взаимно обратные дроби можно записать так: \(\frac{a}{b} \) и \(\frac{b}{a} \)

Понятно, что произведение взаимно обратных дробей равно 1 . Например: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} =1 \)

Используя взаимно обратные дроби, можно деление дробей свести к умножению.

Правило деления дроби на дробь:
чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.

Эта статья представляет собой общий взгляд на действия с дробями. Здесь мы сформулируем и обоснуем правила сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень дробей общего вида A/B , где A и B некоторые числа, числовые выражения или выражения с переменными. По обыкновению материал будем снабжать поясняющими примерами с детальными описаниями решений.

Навигация по странице.

Правила выполнения действий с числовыми дробями общего вида

Давайте договоримся под числовыми дробями общего вида понимать дроби, в которых числитель и/или знаменатель могут быть представлены не только натуральными числами, но и другими числами или числовыми выражениями. Для наглядности приведем несколько примеров таких дробей: , .

Нам известны правила, по которым выполняются . По этим же правилам можно выполнять действия с дробями общего вида:

Обоснование правил

Для обоснования справедливости правил выполнения действий с числовыми дробями общего вида можно отталкиваться от следующих моментов:

• дробная черта - это по сути знак деления,
• деление на некоторое отличное от нуля число можно рассматривать как умножение на число, обратное делителю (этим сразу объясняется правило деления дробей),
• свойств действий с действительными числами ,
• и его обобщенном понимании ,

Они позволяют провести следующие преобразования, обосновывающие правила сложения, вычитания дробей с одинаковыми и разными знаменателями, а также правило умножения дробей:

Примеры

Приведем примеры выполнения действия с дробями общего вида по разученным в предыдущем пункте правилам. Сразу скажем, что обычно после проведения действий с дробями полученная дробь требует упрощения, причем процесс упрощения дроби часто сложнее, чем выполнение предшествующих действий. Мы не будем подробно останавливаться на упрощении дробей (соответствующие преобразования разобраны в статье преобразование дробей), чтобы не отвлекаться от интересующей нас темы.

Начнем с примеров сложения и вычитания числовых дробей с одинаковыми знаменателями. Для начала сложим дроби и . Очевидно, знаменатели равны. Согласно соответствующему правилу записываем дробь, числитель которой равен сумме числителей исходных дробей, а знаменатель оставляем прежним, имеем . Сложение выполнено, остается упростить полученную дробь: . Итак, .

Можно было решение вести по-другому: сначала осуществить переход к обыкновенным дробям, после чего провести сложение. При таком подходе имеем .

Теперь вычтем из дроби дробь . Знаменатели дробей равны, поэтому, действуем по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:

Переходим к примерам сложения и вычитания дробей с разными знаменателями. Здесь главная сложность заключается в приведении дробей к общему знаменателю. Для дробей общего вида это довольно обширная тема, ее мы разберем детально в отдельной статье приведение дробей к общему знаменателю . Сейчас же ограничимся парой общих рекомендаций, так как в данный момент нас больше интересует техника выполнения действий с дробями.

Вообще, процесс схож с приведением к общему знаменателю обыкновенных дробей. То есть, знаменатели представляются в виде произведений, дальше берутся все множители из знаменателя первой дроби и к ним добавляются недостающие множители из знаменателя второй дроби.

Когда знаменатели складываемых или вычитаемых дробей не имеют общих множителей, то в качестве общего знаменателя логично взять их произведение. Приведем пример.

Допустим, нам нужно выполнить сложение дробей и 1/2 . Здесь в качестве общего знаменателя логично взять произведение знаменателей исходных дробей, то есть, . В этом случае дополнительным множителем для первой дроби будет 2 . После умножения на него числителя и знаменателя дробь примет вид . А для второй дроби дополнительным множителем является выражение . С его помощью дробь 1/2 приводится к виду . Остается сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями. Вот краткая запись всего решения:

В случае дробей общего вида речь уже не идет о наименьшем общем знаменателе, к которому обычно приводятся обыкновенные дроби. Хотя в этом вопросе все же желательно стремиться к некоторому минимализму. Этим мы хотим сказать, что не стоит в качестве общего знаменателя сразу брать произведение знаменателей исходных дробей. Например, совсем не обязательно брать общим знаменателем дробей и произведение . Здесь в качестве общего знаменателя можно взять .

Переходим к примерам умножения дробей общего вида. Умножим дроби и . Правило выполнения этого действия нам предписывает записать дробь, числитель которой есть произведение числителей исходных дробей, а знаменатель – произведение знаменателей. Имеем . Здесь, как и во многих других случаях при умножении дробей, можно сократить дробь: .

Правило деления дробей позволяет от деления переходить к умножению на обратную дробь. Здесь нужно помнить, что для того, чтобы получить дробь, обратную данной, нужно переставить местами числитель и знаменатель данной дроби. Вот пример перехода от деления числовых дробей общего вида к умножению: . Остается выполнить умножение и упростить полученную в результате дробь (при необходимости смотрите преобразование иррациональных выражений):

Завершая информацию этого пункта, напомним, что любое число или числовое выражение можно представить в виде дроби со знаменателем 1 , поэтому, сложение, вычитание, умножение и деление числа и дроби можно рассматривать как выполнение соответствующего действия с дробями, одна из которых имеет единицу в знаменателе. Например, заменив в выражении корень из трех дробью , мы от умножения дроби на число перейдем к умножению двух дробей: .

Выполнение действий с дробями, содержащими переменные

Правила из первой части текущей статьи применяются и для выполнения действий с дробями, которые содержат переменные. Обоснуем первое из них – правило сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, остальные доказываются абсолютно аналогично.

Докажем, что для любых выражений A , C и D (D тождественно не равно нулю) имеет место равенство на его области допустимых значений переменных.

Возьмем некоторый набор переменных из ОДЗ. Пусть при этих значениях переменных выражения A , C и D принимают значения a 0 , c 0 и d 0 . Тогда подстановка значений переменных из выбранного набора в выражение обращает его в сумму (разность) числовых дробей с одинаковыми знаменателями вида , которая по правилу сложения (вычитания) числовых дробей с одинаковыми знаменателями равна . Но подстановка значений переменных из выбранного набора в выражение обращает его в ту же дробь . Это означает, что для выбранного набора значений переменных из ОДЗ значения выражений и равны. Понятно, что значения указанных выражений будут равны и для любого другого набора значений переменных из ОДЗ, а это означает, что выражения и тождественно равны, то есть, справедливо доказываемое равенство .

Примеры сложения и вычитания дробей с переменными

Когда знаменатели складываемых или вычитаемых дробей одинаковые, то все довольно просто – складываются или вычитаются числители, а знаменатель остается прежним. Понятно, что полученная после этого дробь при надобности и возможности упрощается.

Заметим, что иногда знаменатели дробей отличаются лишь с первого взгляда, но по факту являются тождественно равными выражениями, как например, и , или и . А иногда достаточно упростить исходные дроби, чтобы «проявились» их одинаковые знаменатели.

Пример.

, б) , в) .

Решение.

а) Нам нужно выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Согласно соответствующему правилу знаменатель оставляем прежним и вычитаем числители, имеем . Действие проведено. Но еще можно раскрыть скобки в числителе и привести подобные слагаемые : .

б) Очевидно, знаменатели складываемых дробей одинаковые. Поэтому, складываем числители, а знаменатель оставляем прежним: . Сложение выполнено. Но несложно заметить, что полученную дробь можно сократить. Действительно, числитель полученной дроби можно свернуть по формуле квадрат суммы как (lgx+2) 2 (смотрите формулы сокращенного умножения), таким образом, имеют место следующие преобразования: .

в) Дроби в сумме имеют разные знаменатели. Но, преобразовав одну из дробей, можно перейти к сложению дробей с одинаковыми знаменателями. Покажем два варианта решения.

Первый способ. Знаменатель первой дроби можно разложить на множители, воспользовавшись формулой разность квадратов, после чего сократить эту дробь: . Таким образом, . Еще не помешает освободиться от иррациональности в знаменателе дроби: .

Второй способ. Умножение числителя и знаменателя второй дроби на (это выражение не обращается в нуль ни при каких значениях переменной x из ОДЗ для исходного выражения) позволяет достичь сразу двух целей: освободиться от иррациональности и перейти к сложению дробей с одинаковыми знаменателями. Имеем

Ответ:

а) , б) , в) .

Последний пример подвел нас к вопросу приведения дробей к общему знаменателю. Там мы почти случайно пришли к одинаковым знаменателям, упрощая одну из складываемых дробей. Но в большинстве случаев при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями приходится целенаправленно приводить дроби к общему знаменателю. Для этого обычно знаменатели дробей представляются в виде произведений, берутся все множители из знаменателя первой дроби и к ним добавляются недостающие множители из знаменателя второй дроби.

Пример.

Выполнить действия с дробями: а) , б) , в) .

Решение.

а) Здесь нет надобности что-либо делать со знаменателями дробей. В качестве общего знаменателя берем произведение . В этом случае дополнительным множителем для первой дроби выступает выражение , а для второй дроби – число 3 . Эти дополнительные множители приводят дроби к общему знаменателю, что в дальнейшем позволяет выполнить нужное нам действие, имеем

б) В этом примере знаменатели уже представлены в виде произведений, и никаких дополнительных преобразований не требуют. Очевидно, множители в знаменателях отличаются лишь показателями степеней, поэтому, в качестве общего знаменателя берем произведение множителей с наибольшими показателями, то есть, . Тогда дополнительным множителем для первой дроби будет x 4 , а для второй – ln(x+1) . Теперь мы готовы выполнить вычитание дробей:

в) А в данном случае для начала поработаем со знаменателями дробей. Формулы разность квадратов и квадрат суммы позволяют от исходной суммы перейти к выражению . Теперь понятно, что эти дроби можно привести к общему знаменателю . При таком подходе решение будет иметь следующий вид:

Ответ:

а)

б)

в)

Примеры умножения дробей с переменными

Умножение дробей дает дробь, числитель которой есть произведение числителей исходных дробей, а знаменатель – произведение знаменателей. Здесь, как видите, все привычно и просто, и можно лишь добавить, что полученная в результате выполнения этого действия дробь часто оказывается сократимой. В этих случаях ее сокращают, если, конечно, это необходимо и оправданно.

Практически каждый пятиклассник после первого знакомства с обыкновенными дробями находится в небольшом шоке. Мало того, что нужно еще понять суть дроби, так с ними еще придется выполнять арифметические действия. После этого маленькие ученики будут систематически допрашивать своего учителя, разузнавать когда же эти дроби кончатся.

Чтобы избежать подобных ситуаций, достаточно всего лишь как можно проще объяснить детям эту нелегкую тему, а лучше в игровой форме.

Суть дроби

Перед тем, как узнать что такое дробь, ребенок должен познакомиться с понятием доля . Здесь лучше всего подойдет ассоциативный метод.

Представьте целый торт, который поделили на несколько равных частей, допустим на четыре. Тогда каждый кусочек торта, можно назвать долей. Если взять один из четырех кусков торта, то он будет одной четвертой долей.

Доли бывают разные, потому что, целое можно поделить на совершенно разное количество частей. Чем больше долей в целом, тем они меньше, и наоборот.

Чтобы доли можно было обозначить, придумали такое математическое понятие, как обыкновенная дробь . Дробь позволит нам записать столько долей, сколько потребуется.

Составными частями дроби являются числитель и знаменатель, которые разделены дробной чертой либо наклонной чертой. Многие дети не понимают их смысла, поэтому и суть дроби им не понятна. Дробная черта обозначает деление, здесь нет ничего сложного.

Знаменатель принято записывать снизу, под дробной чертой или справа от накл.черты. Он показывает количество долей целого. Числитель, он записывается сверху над дробной чертой или слева от накл.черты, определяет сколько долей взяли.К примеру дробь 4/7. В данном случае 7-это знаменатель, показывает, что есть всего 7 долей, а числитель 4 указывает на то, что из семи долей взяли четыре.

Основные доли и их запись в дробях:

Помимо обыкновеной, существует еще и десятичная дробь.

Действия с дробями 5 класс

В пятом классе учатся выполнять все арифметические действия с дробями.

Все действия с дробями выполняются по правилам, и надеяться на то, что не выучив правило все получится само сабой не стоит. Поэтому не стоит пренебрегать устной частью домашнего задания по математике.

Мы уже поняли, что запись десятичной и обыкновенной дроби различны, следовательно и арифметические действия будут выполняться по-разному. Действия с обыкновенными дробями зависят от тех чисел, которые стоят в знаменателе, а в десятичной-после запятой справа.

Для дробей, у которых знаменатели одинаковые, алгоритм сложения и вычитания очень прост. Действия выполняем только с числителями.

Для дробей с разными знаменателями нужно найти Наименьший Общий Знаменатель (НОЗ). Это то число, которое будет делиться без остатка на все знаменатели, и будет наименьшим из таких чисел, если их несколько.

Для сложения либо вычитания десятичных дробей, нужно записать их в столбик, запятая под запятой, и уравнить количество десятичных знаков если это требуется.

Чтобы перемножить обыкновенные дроби просто найди произведение числителей и знаменателей. Очень простое правило.

Деление выполняется по следующему алгоритму:

1. Делимое записать без изменения
2. Деление превратить в умножение
3. Делитель перевернуть (записать обратную дробь делителю)
4. Выполнить умножение

Сложение дробей, объяснение

Давайте более подробно разберем, как складывать обыкновенные и десятичные дроби.

Как видно на изображении выше, у дроби одна третья и две третьих общий знаменатель три. Значит требуется сложить только числители единицу и два, а знаменатель оставить без изменения. В итоге получается сумма три третьих. Такой ответ, когда числитель и знаменатель дроби равны, можно записать как 1, так как 3:3 = 1.

Требуется найти сумму дробей две третьих и две девятых. В этом случае знаменатели различны, 3 и 9. Чтобы выполнить сложение, нужно подобрать общий. Есть очень простой способ. Выбираем наибольший знаменатель, это 9. Проверяем делится ли он на 3. Так как 9:3 = 3 без остатка, следовательно 9 подходит как общий знаменатель.

Следующим шагом находим дополнительные множители для каждого числителя. Для этого общий знаменатель 9 делим поочередно на знаменатель каждой дроби, полученные числа и будут допол. множ. Для первой дроби: 9:3 = 3, дописываем к числителю первой дроби 3. Для второй дроби: 9:9 = 1, единицу можно не дописывать, так как при умножении на нее получится то же самое число.

Теперь умножаем числители на их дополнительные множители и складываем результаты. Полученная сумма дробь восемь девятых.

Сложение десятичных дробей выполняется по тому же правилу, что и сложение натуральных чисел. В столбик, разряд записывается под разрядом. Единственное отличие в том, что в десятичных дробях нужно правильно поставить запятую в результате. Для этого дроби записываются запятая под запятой, и в сумме требуется лишь снести запятую вниз.

Найдем сумму дробей 38, 251 и 1, 56. Чтобы было удобнее выполнять действия, мы уровняли количество десятичных знаков справа, добавив 0.

Складываем дроби не обращая внимания на запятую. А в полученной сумме просто опускаем запятую вниз. Ответ: 39, 811.

Вычитание дробей, объяснение

Чтобы найти разность дробей две третьих и одна третья, нужно вычислить разность числителей 2-1 = 1, а знаменатель оставить без изменения. В ответе получаем разность одну третью.

Найдем разность дробей пять шестых и семь десятых. Находим общий знаменатель. Используем способ подбора, из 6 и 10 наибольший 10. Проверяем: 10: 6 без остатка не делится. Добавляем еще 10, получается 20:6, тоже без остатка не делится. Снова увеличиваем на 10, получили 30:6 = 5. Общий знаменатель 30. Так же НОЗ можно найти по таблице умножения.

Находим дополнительные множители. 30:6 = 5 — для первой дроби. 30:10 = 3 — для второй. Перемножаем числители и их доп.множ. Получаем уменьшаемое 25/30 и вычитаемое 21/30. Далее выполняем вычитание числителей, а знаменатель оставляем без изменения.

В результате получилась разность 4/30. Дробь сократимая. Разделим ее на 2. В ответе 2/15.

Деление десятичных дробей 5 класс

В этой теме рассматривается два варианта действий:

Умножение десятичных дробей 5 класс

Вспомните, как вы умножаете натуральные числа, точно таким же способом и находят произведение десятичных дробей. Сначала разберемся, как умножить десятичную дробь на натуральное число. Для этого:

При умножении десятичной дроби на десятичную, действуем точно также.

Смешанные дроби 5 класс

Пятиклашки любят называть такие дроби не смешанные, а <<смешные>>, наверное так легче запомнить. Смешанные дроби называются так от того, что они получились путем соединения целого натурального числа и обыкновенной дроби.

Смешанная дробь состоит из целой и дробной части.

При чтении таких дробей сначала называют целую часть, затем дробную: одна целая две третьих, две целых одна пятая, три целых две пятых, четыре целых три четвертых.

Как же они получаются, эти смешанные дроби? Все довольно просто. Когда мы получаем в ответе неправильную дробь (дробь у которой числитель больше знаменателя), мы ее должны всегда переводить в смешанную. Достаточно разделить числитель на знаменатель. Это действие называется выделением целой части:

Перевести смешанную дробь обратно в неправильную тоже несложно:

Примеры с десятичными дробями 5 класс с объяснением

Много вопросов у детей вызывают примеры на несколько действий. Разберем пару таких примеров.

(0,4 · 8,25 — 2,025) : 0,5 =

Первым действием находим произведение чисел 8,25 и 0,4. Выполняем умножение по правилу. В ответе отсчитываем справа налево три знака и ставим запятую.

Второе действие находится там же в скобках, это разность. От 3,300 вычитаем 2,025. Записываем действие в столбик, запятая под запятой.

Третье действие-деление. Полученную разность во втором действии делим на 0,5. Запятая переносится на один знак. Результат 2,55.

Ответ: 2,55.

(0, 93 + 0, 07) : (0, 93 — 0, 805) =

Первое действие сумма в скобках.Складываем в столбик, помним, что запятая под запятой. Получаем ответ 1,00.

Второе действие разность из второй скобки. Так как у уменьшаемого меньше знаков после запятой, чем у вычитаемого, добавляем недостающий. Результат вычитания 0 ,125.

Третьим действие делим сумму на разность. Запятая переносится на три знака. Получилось деление 1000 на 125.

Ответ: 8 .

Примеры с обыкновенными дробями с разными знаменателями 5 класс с объяснением

В первом примере находим сумму дробей 5/8 и 3/7. Общим знаменателем будет число 56. Находим дополнительные множ., разделим 56:8 = 7 и 56:7 = 8. Дописываем их к первой и второй дроби соответственно. Перемножаем числители и их множители, получаем сумму дробей 35/56 и 24/56. Получили сумму 59/56. Дробь неправильная, переводим ее в смешанное число.Остальные примеры решаются аналогично.

Примеры с дробями 5 класс для тренировки

Для удобства переведите смешанные дроби в неправильные и выполняйте действия.

Как научить ребенка легко решать дроби с помощью лего

С помощью такого конструктора можно не только хорошо развивать воображение ребенка, но и объяснить наглядно в игровой форме, что такое доля и дробь.

На картинке ниже показано, что одна часть с восемью кружками это целое. Значит, взяв пазл с четырьмя кружками, получается половина, или 1/2. На картинке наглядно показано, как решать примеры с лего, если считать кружки на деталях.

Вы можете построить башенки из определенного количества частей и подписать каждую из них, как на картинке ниже. Например возьмем башенку из семи частей. Каждая часть зеленого конструктора будет 1/7. Если вы к одной такой части добавите еще две, то получится 3/7. Наглядное объяснение примера 1/7+2/7 = 3/7.

Чтобы получать пятерки по математике не забывайте учить правила и отрабатывать их на практике.

Данная статья рассматривает действия над дробями. Будут сформированы и обоснованы правила сложения, вычитания, умножения, деления или возведения в степень дробей вида A B , где A и B могут быть числами, числовыми выражениями или выражениями с переменными. В заключении будут рассмотрены примеры решения с подробным описанием.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Правила выполнения действий с числовыми дробями общего вида

Числовые дроби общего вида имеют числитель и знаменатель, в которых имеются натуральные числа или числовые выражения. Если рассмотреть такие дроби, как 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 · 3 4 · (5 - 2) , 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0 , 8 , 1 2 · 2 , π 1 - 2 3 + π , 2 0 , 5 ln 3 , то видно, что числитель и знаменатель может иметь не только числа, но и выражения различного плана.

Определение 1

Существуют правила, по которым идет выполнение действий с обыкновенными дробями. Оно подходит и для дробей общего вида:

• При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются только числители, а знаменатель остается прежним, а именно: a d ± c d = a ± c d , значения a , c и d ≠ 0 являются некоторыми числами или числовыми выражениями.
• При сложении или вычитании дроби при разных знаменателях, необходимо произвести приведение к общему, после чего произвести сложение или вычитание полученных дробей с одинаковыми показателями. Буквенно это выглядит таком образом a b ± c d = a · p ± c · r s , где значения a , b ≠ 0 , c , d ≠ 0 , p ≠ 0 , r ≠ 0 , s ≠ 0 являются действительными числами, а b · p = d · r = s . Когда p = d и r = b , тогда a b ± c d = a · d ± c · d b · d .
• При умножении дробей выполняется действие с числителями, после чего со знаменателями, тогда получим a b · c d = a · c b · d , где a , b ≠ 0 , c , d ≠ 0 выступают в роли действительных чисел.
• При делении дроби на дробь первую умножаем на вторую обратную, то есть производим замену местами числителя и знаменателя: a b: c d = a b · d c .

Обоснование правил

Определение 2

Существуют следующие математические моменты, на которые следует опираться при вычислении:

• дробная черта означает знак деления;
• деление на число рассматривается как умножение на его обратное значение;
• применение свойства действий с действительными числами;
• применение основного свойства дроби и числовых неравенств.

С их помощью можно производить преобразования вида:

a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · r s ; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c b · d

Примеры

В предыдущем пункте было сказано про действия с дробями. Именно после этого дробь нуждается в упрощении. Подробно эта тема была рассмотрена в пункте о преобразовании дробей.

Для начала рассмотрим пример сложения и вычитания дробей с одинаковым знаменателем.

Пример 1

Даны дроби 8 2 , 7 и 1 2 , 7 , то по правилу необходимо числитель сложить, а знаменатель переписать.

Решение

Тогда получаем дробь вида 8 + 1 2 , 7 . После выполнения сложения получаем дробь вида 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 . Значит, 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .

Ответ: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Имеется другой способ решения. Для начала производится переход к виду обыкновенной дроби, после чего выполняем упрощение. Это выглядит таким образом:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Пример 2

Произведем вычитание из 1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 дроби вида 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 .

Так как даны равные знаменатели, значит, что мы выполняем вычисление дроби при одинаковом знаменателе. Получим, что

1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 - 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1

Имеются примеры вычисления дробей с разными знаменателями. Важный пункт – это приведение к общему знаменателю. Без этого мы не сможем выполнять дальнейшие действия с дробями.

Процесс отдаленно напоминает приведение к общему знаменателю. То есть производится поиск наименьшего общего делителя в знаменателе, после чего добавляются недостающие множители к дробям.

Если складываемые дроби не имеют общих множителей, тогда им может стать их произведение.

Пример 3

Рассмотрим на примере сложения дробей 2 3 5 + 1 и 1 2 .

Решение

В данном случае общим знаменателем выступает произведение знаменателей. Тогда получаем, что 2 · 3 5 + 1 . Тогда при выставлении дополнительных множителей имеем, что к первой дроби он равен 2 , а ко второй 3 5 + 1 . После перемножения дроби приводятся к виду 4 2 · 3 5 + 1 . Общее приведение 1 2 будет иметь вид 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . Полученные дробные выражения складываем и получаем, что

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 · 2 2 · 3 5 + 1 + 1 · 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 = = 4 2 · 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 · 3 5 + 1

Ответ: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 · 3 5 + 1

Когда имеем дело с дробями общего вида, тогда о наименьшем общем знаменателе обычно дело не идет. В качестве знаменателя нерентабельно принимать произведение числителей. Для начала необходимо проверить, имеется ли число, которое меньше по значению, чем их произведение.

Пример 4

Рассмотрим на примере 1 6 · 2 1 5 и 1 4 · 2 3 5 , когда их произведение будет равно 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5 . Тогда в качестве общего знаменателя берем 12 · 2 3 5 .

Рассмотрим примеры умножений дробей общего вида.

Пример 5

Для этого необходимо произвести умножение 2 + 1 6 и 2 · 5 3 · 2 + 1 .

Решение

Следую правилу, необходимо переписать и в виде знаменателя написать произведение числителей. Получаем, что 2 + 1 6 · 2 · 5 3 · 2 + 1 2 + 1 · 2 · 5 6 · 3 · 2 + 1 . Когда дробь будет умножена, можно производить сокращения для ее упрощения. Тогда 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10 .

Используя правило перехода от деления к умножению на обратную дробь, получим дробь, обратную данной. Для этого числитель и знаменатель меняются местами. Рассмотрим на примере:

5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10

После чего должны выполнить умножение и упростить полученную дробь. Если необходимо, то избавиться от иррациональности в знаменателе. Получаем, что

5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 · 9 3 10 · 2 + 1 = 5 · 2 10 · 2 + 1 = 3 2 · 2 + 1 = = 3 · 2 - 1 2 · 2 + 1 · 2 - 1 = 3 · 2 - 1 2 · 2 2 - 1 2 = 3 · 2 - 1 2

Ответ: 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 · 2 - 1 2

Данный пункт применим, когда число или числовое выражение может быть представлено в виде дроби, имеющую знаменатель, равный 1 , тогда и действие с такой дробью рассматривается отдельным пунктом. Например, выражение 1 6 · 7 4 - 1 · 3 видно, что корень из 3 может быть заменен другим 3 1 выражением. Тогда эта запись будет выглядеть как умножение двух дробей вида 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1 .

Выполнение действие с дробями, содержащими переменные

Правила, рассмотренные в первой статье, применимы для действий с дробями, содержащими переменные. Рассмотрим правило вычитания, когда знаменатели одинаковые.

Необходимо доказать, что A , C и D (D не равное нулю) могут быть любыми выражениями, причем равенство A D ± C D = A ± C D равноценно с его областью допустимых значений.

Необходимо взять набор переменных ОДЗ. Тогда А, С, D должны принимать соответственные значения a 0 , c 0 и d 0 . Подстановка вида A D ± C D приводит разность вида a 0 d 0 ± c 0 d 0 , где по правилу сложения получаем формулу вида a 0 ± c 0 d 0 . Если подставить выражение A ± C D , тогда получаем ту же дробь вида a 0 ± c 0 d 0 . Отсюда делаем вывод, что выбранное значение, удовлетворяющее ОДЗ, A ± C D и A D ± C D считаются равными.

При любом значении переменных данные выражения будут равны, то есть их называют тождественно равными. Значит это выражение считается доказываемым равенством вида A D ± C D = A ± C D .

Примеры сложения и вычитания дробей с переменными

Когда имеются одинаковые знаменатели, необходимо только складывать или вычитать числители. Такая дробь может быть упрощена. Иногда приходится работать с дробями, которые являются тождественно равными, но при первом взгляде это незаметно, так как необходимо выполнять некоторые преобразования. Например, x 2 3 · x 1 3 + 1 и x 1 3 + 1 2 или 1 2 · sin 2 α и sin a · cos a . Чаще всего требуется упрощение исходного выражения для того, чтобы увидеть одинаковые знаменатели.

Пример 6

Вычислить: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 , 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Решение

1. Чтобы произвести вычисление, необходимо вычесть дроби, которым имеют одинаковые знаменатели. Тогда получаем, что x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . После чего можно выполнять раскрытие скобок с приведением подобных слагаемых. Получаем, что x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Так как знаменатели одинаковые, то остается только сложить числители, оставив знаменатель:​​​​​​ l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x · (l g x + 2)
   Сложение было выполнено. Видно, что можно произвести сокращение дроби. Ее числитель может быть свернут по формуле квадрата суммы, тогда получим (l g x + 2) 2 из формул сокращенного умножения. Тогда получаем, что
   l g 2 x + 4 + 2 · l g x x · (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x · (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Заданные дроби вида x - 1 x - 1 + x x + 1 с разными знаменателями. После преобразования можно перейти к сложению.

Рассмотрим двоякий способ решения.

Первый способ заключается в том, что знаменатель первой дроби подвергается разложению на множители при помощи квадратов, причем с ее последующим сокращением. Получим дробь вида

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) · x + 1 = 1 x + 1

Значит, x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

В таком случае необходимо избавляться от иррациональности в знаменателе.

1 + x x + 1 = 1 + x · x - 1 x + 1 · x - 1 = x - 1 + x · x - x x - 1

Второй способ заключается в умножении числителя и знаменателя второй дроби на выражение x - 1 . Таким образом, мы избавляемся от иррациональности и переходим к сложению дроби при наличии одинакового знаменателя. Тогда

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x · x - 1 x + 1 · x - 1 = = x - 1 x - 1 + x · x - x x - 1 = x - 1 + x · x - x x - 1

Ответ: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2 , 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x , 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 .

В последнем примере получили, что приведение к общему знаменателю неизбежно. Для этого необходимо упрощать дроби. Для сложения или вычитая всегда необходимо искать общий знаменатель, который выглядит как произведение знаменателей с добавлением дополниетльных множителей к числителям.

Пример 7

Вычислить значения дробей: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 · 2 , 2) x + 1 x · ln 2 (x + 1) · (2 x - 4) - sin x x 5 · ln (x + 1) · (2 x - 4) , 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x

Решение

1. Никаких сложных вычислений знаменатель не требует, поэтому нужно выбрать их произведение вида 3 · x 7 + 2 · 2 , тогда к первой дроби x 7 + 2 · 2 выбирают как дополнительный множитель, а 3 ко второй. При перемножении получаем дробь вида x 3 + 1 x 7 + 2 · 2 = x · x 7 + 2 · 2 3 · x 7 + 2 · 2 + 3 · 1 3 · x 7 + 2 · 2 = = x · x 7 + 2 · 2 + 3 3 · x 7 + 2 · 2 = x · x 7 + 2 · 2 · x + 3 3 · x 7 + 2 · 2
2. Видно, что знаменатели представлены в виде произведения, что означает ненужность дополнительных преобразований. Общим знаменателем будет считаться произведение вида x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Отсюда x 4 является дополнительным множителем к первой дроби, а ln (x + 1) ко второй. После чего производим вычитание и получаем, что:
   x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - sin x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 x - 4) = = x + 1 · x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 x - 4) = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 x - 4)
3. Данный пример имеет смысл при работе со знаменателями дробями. Необходимо применить формулы разности квадратов и квадрат суммы, так как именно они дадут возможность перейти к выражению вида 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) 2 . Видно, что дроби приводятся к общему знаменателю. Получаем, что cos x - x · cos x + x 2 .

После чего получаем, что

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = = 1 cos x - x · cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x · cos x + x 2 + cos x - x cos x - x · cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x · cos x + x 2 = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2

Ответ:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 · 2 = x · x 7 + 2 · 2 · x + 3 3 · x 7 + 2 · 2 , 2) x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 x - 4) , 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2 .

Примеры умножения дробей с переменными

При умножении дробей числитель умножается на числитель, а знаменатель на знаменатель. Тогда можно применять свойство сокращения.

Пример 8

Произвести умножение дробей x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 и 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x .

Решение

Необходимо выполнить умножение. Получаем, что

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 · 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) = = x - 2 · x · 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 x 2 · ln x 2 · ln x + 1 · sin (2 · x - x)

Число 3 переносится на первое место для удобства подсчетов, причем можно произвести сокращение дроби на x 2 , тогда получим выражение вида

3 · x - 2 · x · x 1 3 · x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · sin (2 · x - x)

Ответ: x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 · 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) = 3 · x - 2 · x · x 1 3 · x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · sin (2 · x - x) .

Деление

Деление у дробей аналогично умножению, так как первую дробь умножают на вторую обратную. Если взять к примеру дробь x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 и разделить на 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x , тогда это можно записать таким образом, как

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) , после чего заменить произведением вида x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 · 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x)

Возведение в степень

Перейдем к рассмотрению действия с дробями общего вида с возведением в степень. Если имеется степень с натуральным показателем, тогда действие рассматривают как умножение одинаковых дробей. Но рекомендовано использовать общий подход, базирующийся на свойствах степеней. Любые выражения А и С, где С тождественно не равняется нулю, а любое действительное r на ОДЗ для выражения вида A C r справедливо равенство A C r = A r C r . Результат – дробь, возведенная в степень. Для примера рассмотрим:

x 0 , 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

Порядок выполнения действий с дробями

Действия над дробями выполняются по определенным правилам. На практике замечаем, что выражение может содержать несколько дробей или дробных выражений. Тогда необходимо все действия выполнять в строгом порядке: возводить в степень, умножать, делить, после чего складывать и вычитать. При наличии скобок первое действие выполняется именно в них.

Пример 9

Вычислить 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Решение

Так как имеем одинаковый знаменатель, то 1 - x cos x и 1 c o s x , но производить вычитания по правилу нельзя, сначала выполняются действия в скобках, после чего умножение, а потом сложение. Тогда при вычислении получаем, что

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

При подстановке выражения в исходное получаем, что 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x . При умножении дробей имеем: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x . Произведя все подстановки, получим 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . Теперь необходимо работать с дробями, которые имеют разные знаменатели. Получим:

x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos x · x

Ответ: 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter