Методика изучения элементов алгебры. Элементы алгебры в начальной школе

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ЕЛЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. И.А.БУНИНА

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО, ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА, ВЕЛИЧИН И ДОЛЕЙ

В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ

Учебное пособие

Елец – 2006

ББК 65

Составители Фаустова Н.П., Долгошеева Е.В. Методика изучения алгебраического, геометрического материала, величин и дробей в начальных классах. - Елец, 2006. - 46 с.

В данном пособии раскрывается методика изучения алгебраического, геометрического материала, величин и долей в начальных классах.

Пособие предназначено для студентов факультета педагогики и методики начального образования дневной и заочной формы обучения, может быть использовано учителями начальных классов, преподавателями факультета ПиМНО вузов и педколледжей.

Пособие составлено в соответствии с ГОСом и рабочей программой по данному курсу.

Рецензенты:

Кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики Т.А. Позняк

Ведущий специалист отдела народного образования администрации Елецкого района Липецкой области Авдеева М.В.

© Фаустова Н.П., Долгошеева Е.В., 2006 г.

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ ШКОЛЫ

1.1. Общие вопросы методики изучения алгебраического материала.

1.2. Методика изучения числовых выражений.

1.3. Изучение буквенных выражений.

1.4. Изучение числовых равенств и неравенств.

1.5. Методика изучения уравнений.

1.6. Решение простых арифметических задач с помощью составления уравнений.

1.1. Общие вопросы методики изучения алгебраического материала

Введение алгебраического материала в начальный курс математики позволяет подготовить учащихся к изучению основных понятий современной математики (переменная, уравнение, равенство, неравенство и др.), способствует обобщению арифметических знаний, формированию у детей функционального мышления.



Учащиеся начальных классов должны получить первоначальные сведения о математических выражениях, числовых равенствах и неравенствах, научиться решать уравнения, предусмотренные учебной программой и простые арифметические задачи с помощью составления уравнения (теоретическая основа выбора арифметического действия в которых связь между компонентами и результатом соответствующего арифметического действия0.

Изучение алгебраического материала ведётся в тесной связи с арифметическим материалом.

Методика изучения числовых выражений

В математике под выражением понимают построенную по определённым правилам последовательность математических символов, обозначающих числа и действия над ними.

Выражения вида: 6; 3+2; 8:4+(7-3) - числовые выражения; вида: 8-а; 30:в; 5+(3+с) - буквенные выражения (выражения с переменной).

Задачи изучения темы

2) Ознакомить учащихся с правилами порядка выполнения арифметических действий.

3) Научить находить числовые значения выражений.

4) Ознакомить с тождественными преобразованиями выражений на основе свойств арифметических действий.

Решение поставленных задач осуществляется на протяжении всех лет обучения в начальных классах, начиная с первых дней пребывания ребёнка в школе.

В методике работы над числовыми выражениями предусматривается три этапа: на первом этапе - формирование понятий о простейших выражениях (сумма, разность, произведение, частное двух чисел); на втором этапе - о выражениях, содержащих два и более арифметических действия одной ступени; на третьем этапе - о выражениях, содержащих два и более арифметических действия разных ступеней.

С простейшими выражениями - суммой и разностью - учащихся знакомят в первом классе (по программе 1-4) с произведением и частным - во втором классе (с термином «произведение» - во 2 классе, с термином «частное» - в третьем классе).

Рассмотрим методику изучения числовых выражений.

Выполняя операции над множествами, дети, прежде всего, усваивают конкретный смысл сложения и вычитания, поэтому в записях вида 3+2, 7-1 знаки действий осознаются ими как краткое обозначение слов «прибавить», «вычесть» (к 3 прибавить 2). В дальнейшем понятия о действиях углубляются: учащиеся узнают, что, прибавляя (вычитая) несколько единиц, мы увеличиваем (уменьшаем) число на столько же единиц (чтение: 3 увеличить на 2), затем дети узнают название знаков действий «плюс» (чтение: 3 плюс 2), «минус».

В теме «Сложение и вычитание в пределах 20» детей знакомят с понятиями «сумма», «разность» как названиями математических выражений и как названием результата арифметических действий сложения и вычитания.

Рассмотрим фрагмент урока (2 кл.).

На доску с помощью воды прикрепить 4 красных и 3 жёлтых круга:

Сколько красных кругов? (Записать число 4.)

Сколько жёлтых кругов? (Записать число 3.)

Какое действие над записанными числами 3 и 4 нужно выполнить, чтобы узнать, сколько красных и сколько жёлтых кругов вместе? (появляется запись: 4+3).

Скажите, не считая, сколько всего кругов?

Такое выражение в математике, когда между числами стоит знак «+», называют суммой (Скажем вместе: сумма) и читают так: сумма четырёх и трёх.

А теперь узнаем, чему же равна сумма чисел 4 и 3 (даём полный ответ).

Аналогично про разность.

При изучении сложения и вычитания в пределах 10 включаются выражения, состоящие из 3 и более чисел, соединённых одинаковыми и разными знаками арифметических действий: 3+1+2, 4-1-1, 7-4+3 и т.д. Раскрывая смысл таких выражений, учитель показывает способ их чтения. Вычисляя значения этих выражений, дети практически овладевают правилом о порядке арифметических действий в выражениях без скобок, хотя и не формулируют его: 10-3+2=7+2=9. Такие записи являются первым шагом в выполнении тождественных преобразований.

Методика ознакомления с выражениями со скобками может быть различной (Описать в тетради фрагмент урока, подготовиться к проведению на практических занятиях).

Умение составлять и находить значение выражения используется детьми при решении арифметических задач, вместе с тем здесь происходит дальнейшее овладение понятием «выражение», усваивается конкретный смысл выражений в записях решения задач.

Представляет интерес вид работы, предложенный латвийским методистом Я.Я. Менцисом.

Даётся текст, например, такой: «У мальчика было 24 р., пирожное стоит 6 р., конфета 2 р.», предлагается:

а) составить все виды выражений по этому тексту и объяснить, что они показывают;

б) объяснить, что показывают выражения:

24-2 24-(6+2) 24:6 24-6 3

В 3 классе наряду с выражениями, рассмотренными ранее, включают выражения, состоящие из двух простых выражений (37+6)-(42+1), а также состоящие из числа и произведения или частного двух чисел. Например: 75-50:25+2. Там, где порядок выполнения действий не совпадает с порядком их записи, используют скобки: 16-6:(8-5). Дети должны научиться правильно читать и записывать эти выражения, находить их значения.

Термины «выражение», «значение выражения» вводятся без определений. Для того, чтобы детям облегчить работу по чтению и нахождению значения сложных выражений, методисты рекомендуют использовать схему, которая составляется коллективно и используется при чтении выражений:

1) Установлю, какое действие выполняется последним.

2) Подумаю, как называются числа при выполнении это действия.

3) Прочитаю, чем выражены эти числа.

Правила порядка выполнения действий в сложных выражениях изучаются в 3 классе, но практически некоторые из них дети используют в первом и втором классах.

Первым рассматривается правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, когда над числами производят либо только сложение и вычитание, либо умножение и деление (3 кл.). Цель работы на данном этапе - опираясь на практические умения учащихся, приобретённые ранее, обратить внимание на порядок выполнения действий в таких выражениях и сформулировать правило.

Подведение детей к формулировке правила, осознание его может быть различным. Главная опора на имеющийся опыт, максимально возможная самостоятельность, создание ситуации поиска и открытия, доказательности.

Можно использовать методический приём Ш.А. Амонашвили «ошибка учителя».

Например. Учитель сообщает, что при нахождении значения следующих выражений у него получились ответы, в правильности которых он уверен (ответы закрыты).

36:2 6=6 и т.д.

Предлагает детям самим найти значения выражений, а затем сопоставить ответы с ответами, полученными учителем (к этому моменту результаты арифметических действий открываются). Дети доказывают, что учителем допущены ошибки и на основе изучения частных фактов формулируют правило (см. учебник математики, 3 кл.).

Аналогично можно ввести остальные правила порядка выполнения действий: когда в выражениях без скобок содержатся действия 1 и 2 ступени, в выражениях со скобками. Важно, чтобы дети осознали, что изменение порядка выполнения арифметических действий приводит к изменению результата, в связи с чем математики решили договориться и сформулировали правила, которые необходимо строго соблюдать.

Преобразование выражения - замена данного выражения другим с тем же числовым значением. Учащиеся выполняют такие преобразования выражений, опираясь на свойства арифметических действий и следствия из них (,с.249-250).

При изучении каждого свойства учащиеся убеждаются в том, что в выражениях определенного вида можно выполнять дей­ствия по-разному, но значение выражения при этомне изме­няется. В дальнейшем знания свойств действий учащиеся применяют для преобразования заданных выражений в тождественные выражения. Например, предлагаются задания вида: продолжить запись так, чтобы знак « = » сохранился:

76-(20 + 4) =76-20... (10 + 7) -5= 10-5...

60: (2 10) =60:10...

Выполняя первое задание, учащиеся рассуждают так: слева из 76 вычитают сумму чисел 20 и 4, справа из 76 вычли 20; чтобы справа получилось столько же, сколько слева, надо спра­ва еще вычесть 4. Аналогично преобразуются другие выражения, т. е., прочитаввыражение, ученик вспоминает соответст­вующее правило. И, выполняя действия по правилу, получает преобразованное выражение. Чтобы убедиться в правильности преобразования, дети вычисляют значения заданного и преобра­зованного выражений и сравнивают их.

Применяя знания свойств действий для обоснования прие­мов вычислений, учащиеся I-IV классов выполняют преобразования выражений вида:

72:3= (60+12):3 = 60:3+12:3 = 24 18·30= 18·(3·10) = (18·3) ·10=540

Здесь также необходимо, чтобы учащиеся не только поясня­ли, на основе чего получают каждое последующее выражение, но и понимали, что все эти выражения соединены знаком « = », потому что имеют одинаковые значения. Для этого изредка сле­дует предлагать детям вычислять значения выражений и cpавнивать их. Это предупреждает ошибки вида: 75 - 30 = 70 - 30 = 40+5 = 45, 24 12= (10 + 2) =24 10+24 2 = 288.

Учащиеся II-IV классов выполняют преобразование выра­жений не только на основе свойств действии, но и на основе их конкретного смысла. Например, сумму одинаковых слагае­мых заменяют произведением: (6+ 6 + 6 = 6 3, и наоборот: 9 4 = = 9 + 9 + 9 + 9). Опираясь также на смысл действия умножения, преобразуют более сложные выражения: 8 4 + 8 = 8 5, 7 6-7=7 5.

На основе вычислений и анализа специально подобранных выражений учащихся IV класса подводят к выводу о том, что если в выражениях со скобками скобки не влияют на порядок действий, то их можно не ставить. В дальнейшем, используя изученные свойства действий и правила порядка действий, учащиеся уп­ражняются в преобразовании выражений со скобками в тож­дественные им выражения без скобок. Например, предлагается записать данные выражения без скобок так, чтобы их значения не изменились:

(65 + 30)-20 (20 + 4) 3

96 - (16 + 30) (40 + 24): 4

Так, первое из заданных выражений дети заменяют выражениями: 65 + 30-20, 65-20+30, поясняя порядок выполне­ния действий в них. Таким образом, учащиеся убеждаются, что значение выражения не меняется при изменении порядка дей­ствий только в том случае, если при этом применяются свой­ства действий.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

хорошую работу на сайт">

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Методика изучения алгебраического материала

Лекция 1. Математические выражения

1.1 Изучение понятия "математическое выражение"

Алгебраический материал изучается, начиная с 1 класса в тесной связи с арифметическим материалом и геометрическим. Введение элементов алгебры способствует общению понятий о числе, арифметических действиях, математических отношениях и вместе с тем готовит детей к изучению алгебры в следующих классах.

Основными алгебраическими понятиями курса являются "равенство", "неравенство", "выражение", уравнение". Определений данных понятий в курсе математики начальных классов нет. Учащиеся уясняют эти понятия на уровне представлений в процессе выполнения специально подобранных упражнений.

Программой по математике в 1-4 классах предусматривается научить детей читать и записывать магматические выражения: ознакомить с правилами порядком выполнения действий и научить ими пользоваться при вычислениях, ознакомить учащихся с тождественными преобразованиями выражений.

При формировании у детей понятия математического выражения необходимо учитывать, что знак действия, поставленный между числами имеет двоякий смысл; с одной стороны, он обозначает действие, которое надо выполнить над числами (например, 6+4 - прибавить 4); с другой стороны, знак действия служит для обозначения выражения (6+4 - это сумма чисел 6 и 4).

В методике работы над выражениями предусматривается два этапа. На первом из них формируется понятие о простейших выражениях (сумма, разность, произведение, частное двух чисел), а на втором - о сложных (сумма про, изведения и числа, разность двух частных и т.д.).

Знакомство с первым выражением - суммой двух; чисел происходит в 1 классе при изучении сложения в вычитания в пределах 10. Выполняя операции над множествами, дети, прежде всего, усваивают конкретный смысл сложения и вычитания, поэтому в записях вида 5+1, 6-2 знаки действий осознаются ими как краткое обозначение слов "прибавить", "вычесть". Это находит отражение в чтении (к 5 прибавить 1 равно 6, из 6 вычесть 2 равно 4). В дальнейшем понятия об этих действиях углубляются. Учащиеся узнают, что, прибавляя несколько единиц, увеличиваем число на столько же единиц, а вычитая - уменьшаем его на столько же единиц. Это также находит отражение в новой форме чтения записей (4 увеличить на 2 равно 6, 7 уменьшить на 2 равно 5), Затем дети узнают названия знаков действий: "плюс", "минус" и читают примеры, называя знаки действий (4+2=6, 7-3 =4),

Ознакомившись с названиями компонентов и результатом действия сложения, учащиеся используют термин "сумма" для обозначения числа, являющегося результатом сложения. Опираясь на знания детей о названиях чисел при сложении, учитель поясняет, что в примерах на сложение запись, состоящая из двух чисел, соединенных знаком "плюс", называется так же, как и число, стоящее по другую сторону от знака "равно" (9 сумма" 6+3 - тоже сумма). Наглядно изображается это так:

Чтобы дети усвоили новое значение термина "сумма" как название выражения, даются такие упражнения: "Запишите сумму чисел 7 и 2; вычислите, чему равна сумма чисел 3 и 4; прочитайте запись (6+3), скажите, чему равна сумма; замените число суммой чисел (9= ?+?); сравните суммы чисел (6+3 и 6+2), скажите, какая из них больше, запишите со знаком "больше" и прочитайте запись". В процессе таких упражнений учащиеся постепенно осознают двоякий смысл термина "сумма": чтобы записать сумму чисел, надо их соединить знаком "плюс"; чтобы найти значение суммы, надо сложить заданные числа.

Примерно в таком же плане идет работа над следующими выражениями: разностью, произведением и частным двух чисел. Однако теперь каждый из этих терминов вводится сразу и как название выражения, и как название результата действия. Умение читать и записывать выражения, находить их значение с помощью соответствующего действия вырабатывается в процессе многократных упражнений, аналогичных упражнениям с суммой.

При изучении сложения и вычитания в пределах 10 включаются выражения, состоящие из трех и более чисел, соединенных одинаковыми или различными знаками действий вида: 3+1+1, 4-1-1, 2+2+2. Вычисляя значения этих выражений, дети в выражениях овладевают правилом о порядке выполнения Действий в выражениях без скобок, хотя и не формулируют его. Несколько позднее детей учат преобразовывать выражения в процессе вычислений: например: 7+5=3+5=8. Такие записи являются первым шагом в выполнении тождественных преобразований.

Знакомство первоклассников с выражениями вида: 10 - (6+2), (7-4)+5 и т.п. готовит их к изучению правил прибавления числа к сумме, вычитания числа из суммы и др., к записи решения составных задач, а также способствуют более глубокому усвоению понятия выражения.

Методика ознакомления учащихся с выражением вида: 10+(6-2), (7+4)+5 и т.п. готовит их к изучению правил прибавления числа к сумме, вычитания числа из суммы и др., к записи решения составных задач, а также способствуют более глубокому усвоению понятия выражения.

Методика ознакомления учащихся с выражением вида: 10+(6-2), (5+3) -1 может быть различной. Можно сразу учить читать готовые выражения по аналогии с образцом и вычислять значения выражений, поясняя последовательность действий. Возможен и другой путь ознакомления детей с выражениями данного вида - составление этих выражений учащимися из заданного числа и простейшего выражения.

Умение составлять и находить значение выражений используется учащимися при решении составных задач, вместе с тем здесь происходит дальнейшее овладение понятием выражения, усваивается конкретный смысл выражений в записях решений задач. Полезно в этом плане упражнение: дается условие задачи, например, "У мальчика было 24 рубля. Мороженое стоит 12 рублей, а конфета - 6 рублей". Дети должны объяснить, что в этом случае показывают следующие выражения:

Во втором классе вводятся термины "математическое выражение" и "значение выражения" (без определения). После записи нескольких примеров в одно действие учитель сообщает, что эти примеры иначе называются математическими выражениями.

По заданию учителя дети сами составляют различные выражения. Учитель предлагает вычислить результаты и поясняет, что результаты иначе называют значениями математических выражений. Затем рассматриваются и более сложные математические выражения.

В дальнейшем при выполнении различных упражнений сначала учитель, а затем и дети употребляют новые термины (запишите выражения, найдите значение выражения, сравните выражения и т.п.).

В сложных выражениях знаки действий, соединяющие простейшие выражения, также имеют двоякий смысл, что постепенно раскрывается учащимися. Например, в выражении 20+(34-8) знак "+" обозначает действие, которое надо выполнить над числом 20 и разностью чисел 34 и 8 (к 20 прибавить разность чисел 34 и 8). Кроме того, знак "плюс" служит для обозначения суммы - это выражение есть сумма, в которой первое слагаемое 20, а второе слагаемое выражено разностью чисел 34 и 8.

После того как дети ознакомятся во втором классе с порядком выполнения действий в сложных выражениях, приступают к формированию понятий суммы, разности, произведения, частного, в которых отдельные элементы заданы выражениями.

В дальнейшем, в процессе многократных упражнений в чтении, составлении и записи выражений, учащиеся постепенно овладевают умением устанавливать вид сложного выражения (в 2-3 действия).

Значительно облегчает детям работу схема, которая составляется коллективно и используется при чтении выражений:

установить, какое действие выполняется последним;

вспомнить, как называются числа при выполнении этого действия;

Упражнения в чтении и записи сложных действий, простейшими выражениями, помогают детям усвоить правила порядка действий.

1.2 Изучение правил порядка действий

Правила порядка выполнения действий в сложных выражениях изучаются во 2 классе, но практически некоторые из них дети используют еще в 1 классе.

Сначала рассматривается правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, когда над числами производят либо только сложение и вычитание, либо только умножение и деление. Необходимость введения выражений, содержащих два и более арифметических действий одной ступени, возникает при знакомстве учеников с вычислительными приемами сложения и вычитания в пределах 10, а именно:

Аналогично: 6 - 1 - 1, 6 - 2 - 1, 6 - 2 - 2.

Так как для нахождения значений этих выражений школьники обращаются к предметным действиям, которые выполняются в определенном порядке, то они легко усваивают тот факт, что арифметические действия (сложение и вычитание), которые имеют место в выражениях, выполняются последовательно слева направо.

С числовыми выражениями, содержащими действия сложения и вычитания, а также скобки, учащиеся впервые встречаются в теме "Сложение и вычитание в пределах 10". Когда дети встречаются с такими выражениями в 1 классе, например: 7 - 2 + 4, 9 - 3 - 1 , 4 +3 - 2; во 2 классе, например: 70 - 36 +10, 80 - 10 - 15, 32+18 - 17; 4*10:5, 60:10*3, 36:9*3, учитель показывает, как читают и записывают такие выражения и как находят их значение (например, 4*10:5 читают: 4 умножить на 10 и полученный результат разделить на 5). К моменту изучения во 2 классе темы "Порядок действий" учащиеся умеют находить значения выражений этого вида. Цель работы на данном этапе - опираясь практические умения учащихся, обратить их внимание на порядок выполнения действий в таких выражениях и сформулировать соответствующее правило. Учащиеся самостоятельно решают подобранные учителем примеры и объясняют, в каком порядке выполняли; действия в каждом примере. Затем формулируют сами или читают по учебнику вывод: если в выражении без скобок указаны только действия сложения и вычитания (или только действия умножения и деления), то их выполняют в том порядке, в каком они записаны (т.е. слева направо).

Несмотря на то, что в выражениях вида а+в+с, а+(в+с) и (а+в)+с наличие скобок не влияет на порядок выполнения действий в силу сочетательного закона сложения, на этом этапе учащихся целесообразнее сориентировать на то, что сначала выполняется действие в скобках. Это связано с тем, что для выражений вида а - (в+с) и а - (в - с) такое обобщение неприемлемо и учащимся на начальном этапе довольно трудно будет сориентироваться в назначении скобок для различных числовых выражений. Использование скобок в числовых выражениях, содержащих действия сложения и вычитания, в дальнейшем получает свое развитие, которое связано с изучением таких правил, как прибавление суммы к числу, числа к сумме, вычитание суммы из числа и числа из суммы. Но при первом знакомстве со скобками важно нацелить учащихся на то, что сначала выполняется действие в скобках.

Учитель обращает внимание детей на то, как важно соблюдать это правило при вычислениях, иначе можно получить неверное равенство. Например, учащиеся объясняют, каким образом, получены значения выражений: 70 - 36 +10=24, 60:10 - 3 =2, почему они неверны, какие значения в действительности имеют эти выражения. Аналогично изучают порядок действий в выражениях со скобками вида: 65 - (26 - 14), 50:(30 - 20), 90:(2 * 5). С такими выражениями учащиеся также знакомы и умеют их читать, записывать и вычислять их значение. Объяснив порядок выполнения действий в нескольких таких выражениях, дети формулируют вывод: в выражениях со скобками первым выполняется действие над числами, записанными в скобках. Рассматривая эти выражения нетрудно показать, что действия в них выполняются не в том порядке, в каком записаны; чтобы показать другой порядок их выполнения, и использованы скобки.

Следующим вводится правило порядка выполнения действий в выражениях без скобок, когда в них содержатся действия первой и второй ступени. Поскольку правила порядка действий приняты по договоренности, учитель сообщает их детям или же учащиеся знакомятся с ними по учебнику. Чтобы учащиеся усвоили введенные правила, наряду с тренировочными упражнениями включают решение примеров с пояснением порядка выполнения их действий. Эффективны также упражнения в объяснении ошибок на порядок выполнения действий. Например, из заданных пар примеров предлагается выписать только те, где вычисления выполнены по правилам порядка действий:

После объяснения ошибок можно дать задание: используя скобки, изменить порядок действий так, чтобы выражение имело заданное значение. Например, чтобы первое из приведенных выражений имело значение, равное 10, надо записать его так: (20+30):5=10.

Особенно полезны упражнения на вычисление значения выражения, когда ученику приходится применять все изученные правила. Например, на доске или в тетрадях записывается выражение 36:6+3*2. Учащиеся вычисляют его значение. Затем по заданию учителя дети изменяют с помощью скобок порядок действий в выражении:

Интересным, но более трудным является обратное упражнение: расставить скобки так, чтобы выражение имело заданное значение:

Также интересными являются упражнения следующего вида:

1. Расставьте скобки так, чтобы равенства были верными:

25-17:4=2 3*6-4=6

2. Поставьте вместо звездочек знаки "+" или "-" так, чтобы получились верные равенства:

3. Поставьте вместо звездочек знаки арифметических действий так, чтобы равенства были верными:

Выполняя такие упражнения, учащиеся убеждаются в том, что значение выражения может измениться, если изменяется порядок действий.

Для усвоения правил порядка действий необходимо в 3 и 4 классах включать все более усложняющиеся выражения, при вычислении значений которых ученик применял бы каждый раз не одно, а два или три правила порядка выполнения действий, например:

90*8- (240+170)+190,

469148-148*9+(30 100 - 26909).

При этом числа следует подбирать так, чтобы они допускали выполнение действий в любом порядке, что создает условия для сознательного применения изученных правил.

1.3 Ознакомление с преобразованием выражений

Преобразование выражения - это замена данного выражения другим, значение которого равно значению данного выражения. Учащиеся выполняют такие образования выражений, опираясь на свойства арифметических действий и следствия, вытекающие из них.

При изучении каждого правила учащиеся убеждаются в том, что в выражениях определенного вида можно выполнять действия по-разному, но значение выражения при этом не изменяется. В дальнейшем знания свойств действий учащиеся применяют для преобразования заданных выражений в равные им выражения. Например, предлагаются задания вида: продолжить запись так, чтобы знак "=" сохранился:

56- (20+1)=56-20...

(10+5) * 4=10*4...

60:(2*10)=60:10...

Выполняя первое задание, учащиеся рассуждают так: слева из 56 вычитают сумму чисел 20 и 1, справа из 56 вычли 20; чтобы справа получилось столько же, сколько слева, надо справа еще вычесть 1. Аналогично преобразуются другие выражения, т.е., прочитав выражение, ученик вспоминает соответствующее правило и, выполняя действия по правилу, получает преобразованное выражение. Чтобы убедиться в правильности преобразования, дети вычисляют значения заданного и преобразованного выражений и сравнивают их. Применяя знания свойств действий для обоснования приемов вычислений, учащиеся 2-4 классов выполняют преобразования выражений вида:

54+30=(50+4)+20=(50+20)+4=70+4=74

72:3=(60+12):3=60:3+12:3=24

16 * 40=16 * (3 * 10)=(16 * 3) * 10=540

Здесь также необходимо, чтобы учащиеся не только поясняли, на основе чего получают каждое последующее выражение, но и понимали, что все эти выражения соединены знаком " = ", потому что имеют одинаковые значения. Для этого иногда следует предлагать детям вычислять значения выражений и сравнивать их. Это предупреждает ошибки вида:

75-30=70-30=40+5=45,

24*12=(10+2)=24*10 +24*2=288.

Учащиеся 2 - 3 классов выполняют преобразование выражений не только на основе свойств действии, но и на основе определений действий. Например, сумму одинаковых слагаемых заменяют произведением: 6+6+6=6 * 3, и наоборот: 9 * 4=9+9+9+9. Опираясь также на смысл действия умножения, преобразуют более сложные выражения: 8 * 4+8=8 * 5, 7 * 6 - 7 =7 * 5.

На основе вычислений и анализа специально подобранных выражений учащихся 3 класса подводят к выводу о том, что если в выражениях со скобками скобки не влияют на порядок действий, то их можно не ставить: (30+20)+10=30+20+10, (10-6):4=10-6:4 и т.д. В дальнейшем, используя изученные свойства действий и правила порядка действий, учащиеся упражняются в преобразовании выражений со скобками в тождественные им выражения без скобок. Например, предлагается записать данные выражения без скобок так, чтобы их значения не изменились: (65+30) - 20 (20+4) * 3

Объясняя решение первого из заданных выражений на основе правила вычитания числа из суммы, дети заменяют его выражениями: 65+30 - 20, 65 - 20+30, 30 - 20+65, поясняя порядок выполнения действий в них. Выполняя такие упражнения, учащиеся убеждаются, что значение выражения не меняется при изменении порядка действий только в том случае, если при этом применяются свойства действий.

Таким образом, знакомство школьников начальных классов с понятием выражение тесно связано с формированием вычислительных умений и навыков. В то же время введение понятия выражения позволяет организовать соответствующую работу по развитию математической речи учащихся.

Лекция 2. Буквенная символика, равенства, неравенства, уравнения

2.1 Методика ознакомления с буквенной символикой

В соответствии с программой по математике буквенная символика вводится в 3 классе.

Здесь учащиеся знакомятся с буквой а, как символом для обозначения неизвестного числа или одного из компонентов выражения при решении выражений вида: запиши вместо "окошечка" букву а. Найти значения суммы а+6, если а=8, а=7. Затем на последующих уроках знакомятся с некоторыми буквами латинского алфавита, обозначающими один из компонентов в выражении. С буквой х, как символом для обозначения неизвестного числа при решении уравнений вида: а+х=в, х - с =в - знакомятся в 4 четверти в 3 классе.

Введение буквы как символа для обозначения переменной позволяет уже в начальных классах начать работу над формированием понятия переменной, раньше приобщить детей к математическому языку символов.

Подготовительная работа к раскрытию смысла буквы как символа для обозначения переменной проводится в начале учебного года в 3 классе. На этом первом этапе дети знакомятся с некоторыми буквами латинского алфавита (а, в, с, d, k) для обозначения переменной, т.е. одного из компонентов в выражении.

При введении буквенной символики для обозначения числовой переменной важную роль в системе упражнений играет умелое комбинирование индуктивного и дедуктивного методов. В соответствии с этим упражнения предусматривают переходы от числовых выражений к буквенным и, обратно, от буквенных выражений к числовым. Например, на доску вывешивается плакат с тремя карманами, на которых написано: "1 слагаемое", "2 слагаемое", "сумма".

В процессе беседы с учениками учитель заполняет карманы плаката карточками с записанными на них числами и математическими выражениями:

Далее выясняется, можно ли еще составить выражения, сколько таких выражений можно составить. Дети составляют другие выражения и находят в них общее: одинаковое действие - сложение и различное - разные слагаемые. Учитель поясняет, что, вместо того, чтобы записывать разные числа, можно обозначить любое число, которое может быть слагаемым, какой-нибудь буквой, например а, любое число, которое может быть вторым слагаемым, например, в. Тогда сумму можно обозначить так: а+ в (соответствующие карточки выставляются в карманы плаката).

Учитель поясняет, что а+в также математическое выражение, только в нем слагаемые обозначены буквами каждая из букв обозначает любые числа. Эти числа называются значениями букв.

Аналогично вводится разность чисел как обобщенная запись числовых выражений. Чтобы учащиеся осознали, что буквы, входящие в выражение, например, в+с, могут принимать множество числовых значений, а само буквенное выражение является обобщенной записью числовых выражений, предусматриваются упражнения на переход от буквенных выражений к числовым.

Учащиеся убеждаются, что, придавая буквам личные числовые значения, можно получить много, сколько угодно числовых выражений. В таком же плане проводится работа по конкретизации буквенного выражения - разность чисел.

Далее в связи с работой над выражениями раскрывается понятие постоянной величины. С этой целью рассматриваются выражения, в которых постоянная величина фиксируется с помощью числа, например: а±12, 8±с. Здесь, как и на первом этапе, предусматриваются упражнения на переход от числовых выражений к выражениям, записанным с помощью букв и цифр, и обратно.

С этой целью на первых порах используются плакат с тремя карманами.

Заполняя карманы плаката карточками с записанными на них числами и математическими выражениями, учащиеся замечают, что значения первого слагаемого изменяются, а второго - не изменяются.

Учитель поясняет, что второе слагаемое можно записать с помощью чисел, тогда сумму чисел можно записать так: т + 8, и карточки вставляются в соответствующие карманы плаката.

Аналогичным образом можно получить математические выражения вида: 17±а, в ±30, а позднее - выражения вида: 7* в, с*4, а:8, 48:в.

В 4 классе проводятся упражнения вида: Найди значения выражения а:в, если

а=3 400 и в=2;

а=2 800 и в=7.

Когда учащиеся уясняют смысл буквенной символики, можно использовать буквы в качестве средства обобщения формируемых у них знаний.

Конкретной базой для использования буквенной символики как инструмента обобщения служат знания об арифметических действиях и те знания, которые формируются на их основе.

К ним относятся понятия об арифметических действиях, их свойствах, о связях между компонентами и результатами действий, об изменении результатов арифметических действий в зависимости от изменения одного из компонентов и т.п.

Таким образом, использование буквенной символики способствует повышению уровня обобщения знаний, приобретаемых учащимися начальных классов, и готовит их к изучению систематического курса алгебры в следующих классах.

2.2 Числовые равенства, неравенства

Понятие о равенствах, неравенствах и уравнениях раскрывается во взаимосвязи. Работа над ними ведется с 1 класса, органически сочетаясь с изучением арифметического материала.

По новой программе ставится задача научить детей выполнять сравнение чисел, а также сравнение выражений с целью установления отношений "больше", "меньше", "равно"; научить записывать результаты сравнения с помощью знаков ">", "<", "=" и читать полученные равенства и неравенства.

Числовые равенства и неравенства учащиеся получают на основе сравнения заданных чисел или арифметических выражений. Первоначально у младших Школьников формируются понятия только о верных Равенствах и неравенствах (5>4, 6<7, 8=8).

Впоследствии, когда учащиеся накопят опыт работы над выражениями и неравенствами с переменной, после рассмотрения понятий истинного и ложного (верного и неверного) высказывания переходят к такому определению понятий равенства и неравенства, по которым любые два числа, два выражения, соединенные одним из знаков "больше", "меньше" называется неравенством. При этом различают верные и неверные равенства и неравенства. В 3 классе предлагаются такие упражнения: проверь, верны ли данные равенства (4 четверть): 760 - 400=90*4; 630:7=640:8.

Но этих упражнений мало. В 4 классе предлагаются аналогичные упражнения и другие, вида: проверь, верны ли неравенства: 478*24<478* (3*9); 356*10*6>356*16.

Ознакомление с равенствами и неравенствами в начальных классах непосредственно связывается с изучением нумерации и арифметических действий. математический алгебра уравнение

Сравнение чисел осуществляется сначала на основе сравнения множеств, которое выполняется, как известно, с помощью установления взаимно-однозначного соответствия. Этому способу сравнения множеств учат детей в подготовительный период и в начале изучения нумерации чисел первого десятка. Попутно выполняется счет элементов множеств и сравнение полученных чисел. В дальнейшем при сравнении чисел учащиеся опираются на их место в натуральном ряду: 9<10, потому что при счете число 9 называют перед числом 10, и т.д.

Установленные отношения записываются с помощью знаков ">", "<", "=", учащиеся упражняются в чтении и записи равенств и неравенств. Впоследствии при изучении нумерации чисел в пределах 100, 1000, а также нумерации многозначны: чисел сравнение чисел осуществляется либо на основе сопоставления их по месту в натуральном ряду, либо на основе разложения чисел по десятичному составу сравнения соответствующих разрядных чисел, начиная с высшего разряда.

Сравнение именованных чисел сначала выполняется с опорой на сравнение самих значений величин, а потом осуществляется на основе сравнения отвлеченных чисел, для чего заданные именованные числа выражаются в одинаковых единицах измерения.

Сравнение именованных чисел вызывает большие трудности у учащихся, поэтому, чтобы научить этой операции, надо систематически во 2-4 классах предлагать разнообразные упражнения:

1 дм * 1 см, 2 дм * 2 см

Замените равным числом: 7 км 500 м = _____ м

3) Подберите числа таким образом, чтобы запись была верна: ____ ч < ____ мин, ___ см=__ дм и т.д.

4) Проверить верные или неверные равенства даны, исправьте знак, если равенства неверны:

4 т 8 ц=480 кг, 100 мин.=1 ч, 2 м 5 см=250 см.

Переход к сравнению выражений осуществляется постепенно. Сначала в процессе изучения сложения и. вычитания в пределах 10 дети длительное время упражняются в сравнении выражения и числа. Первые неравенства вида 3+1>3, 3 - 1<3 полезно получать из равенства (3=3), сопровождая преобразования соответствующими операциями над множествами. В дальнейшем выражение и число учащиеся сравнивают, не прибегая к операциям над множествами: находят значение выражения и сравнивают его с заданным числом, что отражается в записях:

После знакомства с названиями выражений учащиеся читают равенства и неравенства так: сумма чисел 5 и 3 больше, чем 5.

Опираясь на операции над множествами и сравнение множеств, учащиеся практически усваивают важные свойства равенств и неравенств (если а=в, то в=а). Сравнить два выражения - значит, сравнить их значения. Сравнение чисел и выражений впервые включается при изучении чисел в пределах 20, а затем при изучении действий во всех концентрах эти упражнения систематически предлагаются детям.

При изучении действий в других концентрах упражнения на сравнение выражений усложняются: более сложными становятся выражения, учащимся предлагаются задания вставить в одно из выражений подходящее число так, чтобы получить верные равенства ила неравенства, составить из данных выражений верные равенства или верные неравенства.

Таким образом, при изучении всех концентров упражнения на сравнение чисел и выражений, с одной стороны, способствуют формированию понятий о равенствах и неравенствах, а с другой стороны, усвоению знаний о нумерации и арифметических действиях, а также выработке вычислительных навыков.

2.3 Методика ознакомления с неравенствами с переменной

Неравенства с переменной вида: х+3 < 7, 10 - х >5 вводятся в 3 классе. Сначала переменная обозначается не буквой, а "окошечком", затем обозначается буквой.

Термины "решить неравенство", "решение неравенства" не вводятся в начальных классах, поскольку во многих случаях ограничиваются подбором только нескольких значений переменной, при котором получается верное неравенство. Упражнения выполняются под руководством учителя.

Упражнения с неравенствами закрепляют вычислительные навыки, а также помогают усвоению арифметических знаний. Подбирая значения буквы в неравенствах и равенствах вида: 5 + х = 5, 5 - х =5 10 * х=10, 10* х <10, учащиеся закрепляют знания особых случаев действий. Но самым важным является то, что работая с неравенствами, учащиеся закрепляют представление о переменной и подготавливаются к решению неравенств в 5 классе. В соответствии с программой в 1-4 классах рассматриваются упражнения первой степени с одним неизвестным вида: 7+х=10, х* (17 - 10)=70.

Упражнения в начальных классах рассматриваются как верные равенства, решение уравнения сводится к отыскиванию того значения буквы (неизвестного числа), при котором данное выражение имеет указанное значение. Нахождение неизвестного числа в таких равенствах выполняется на основе знания связи между результатом и компонентами арифметических действий. Эти требования программы определяют методику работы над уравнениями,

2.4 Методика изучения уравнений

На подготовительном этапе к введению первых уравнений при изучении сложения и вычитания в пределах 10 учащиеся усваивают связь между суммой и слагаемыми. Кроме того, к этому времени дети овладевают умением сравнивать выражение и число и получают первые представления о числовых равенствах вида: 8=5+3, 6+4=40. Большое значение в плане подготовки к введению уравнений имеют упражнения на подбор пропущенного числа в равенствах вида: 4+*=6, 5- *=2, В процессе выполнения таких упражнений дети привыкают к мысли, что неизвестным может быть не только сумма или разность, но и одно из слагаемых.

Понятие об уравнении вводится в 3 классе. Решаются уравнения устно, способом подбора, т.е. детям предлагают простые уравнения вида: х + 3=5. Для решения таких уравнений дети вспоминают состав чисел в пределах 10, в данном случае состав числа 5 (3 и 2), значит, х=2.

В 4 классе учитель показывает запись решения уравнения, опираясь на знания детей о связях между компонентами и результатом арифметических действий. Например, 6+х=15. Нам неизвестно второе слагаемое, Чтобы получить второе слагаемое надо из суммы вычесть первое слагаемое.

Запись решения:

Проверка:

Учащимся надо объяснить, что когда производим проверку, надо обязательно после подстановки вместо х полученного числа, найти значение полученного выражения.

Позже, на следующем этапе, уравнения решаются на основе знания правил нахождения неизвестного компонента.

На каждый случай отводится отдельный урок.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

    Понятие неравенства, его сущность и особенности, классификация и разновидности. Основные свойства числовых неравенств. Методика графического решения неравенств второй степени. Системы неравенств с двумя переменными, с переменной под знаком модуля.

    реферат , добавлен 31.01.2009

    Тригонометрические уравнения и неравенства в школьном курсе математики. Анализ материала по тригонометрии в различных учебниках. Виды тригонометрических уравнений и методы их решения. Формирование навыков решения тригонометрических уравнений и неравенств.

    дипломная работа , добавлен 06.05.2010

    Теоретические сведения по теме "Признаки равенства треугольников". Методика изучения темы "Признаки равенства треугольников". Тема урока "Треугольник. Виды треугольников". "Свойства равнобедренного и равностороннего треугольников".

    курсовая работа , добавлен 11.01.2004

    Типы уравнений, допускающих понижение порядка. Линейное дифференциальное уравнение высшего порядка. Теоремы о свойствах частичных решений. Определитель Вронского и его применение. Использование формулы Эйлера. Нахождение корней алгебраического уравнения.

    презентация , добавлен 29.03.2016

    Понятие и математическое описание элементов дифференциального уравнения как уравнения, связывающего искомую функцию одной или нескольких переменных. Состав неполного и линейного дифференциального уравнения первого порядка, их применение в экономике.

    реферат , добавлен 06.08.2013

    Метод аналитического решения (в радикалах) алгебраического уравнения n-ой степени с возвратом к корням исходного уравнения. Собственные значения для нахождения функций от матриц. Устойчивость решений линейных дифференциальных и разностных уравнений.

    научная работа , добавлен 05.05.2010

    Вид уравнения Риккати при произвольном дробно-линейном преобразовании зависимой переменной. Свойства отражающей функции, ее построение для нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Формулировка и доказательства леммы для ОФ уравнения Риккати.

    курсовая работа , добавлен 22.11.2014

    Основные направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики, ее связь с числовой и функциональной системой. Особенности изучения, аналитический и графический методы решения уравнений и неравенств, содержащих параметры.

    курсовая работа , добавлен 01.02.2015

    Систематизация сведений о линейных и квадратичных зависимостях и связанных с ними уравнениях и неравенствах. Выделение полного квадрата, как метод решения некоторых нестандартных задач. Свойства функции |х|. Уравнения и неравенства, содержащие модули.

    дипломная работа , добавлен 25.06.2010

    Анализ особенностей разработки вычислительной программы. Общая характеристика метода простых итераций. Знакомство с основными способами решения нелинейного алгебраического уравнения. Рассмотрение этапов решения уравнения методом половинного деления.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВВЕДЕНИЕ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение

В любой современной системе общего образования математика занимает одно из центральных мест, что, несомненно, говорит об уникальности этой области знаний.

Что представляет собой современная математика? Зачем она нужна? Эти и подобные им вопросы часто задают учителям дети. И каждый раз ответ будет разным в зависимости от уровня развития ребенка и его образовательных потребностей.

Часто говорят, что математика - это язык современной науки. Однако, представляется, что это высказывание имеет существенный дефект. Язык математики распространен так широко и так часто оказывается эффективным именно потому, что математика к нему не сводится.

Выдающийся отечественный математик А.Н. Колмогоров писал: "Математика не просто один из языков. Математика - это язык плюс рассуждения, это как бы язык и логика вместе. Математика - орудие для размышления. В ней сконцентрированы результаты точного мышления многих людей. При помощи математики можно связать одно рассуждение с другим. Очевидные сложности природы с ее странными законами и правилами, каждое из которых допускает отдельное очень подробное объяснение, на самом деле тесно связаны. Однако, если вы не желаете пользоваться математикой, то в этом огромном многообразии фактов вы не увидите, что логика позволяет переходить от одного к другому " .

Таким образом, математика позволяет сформировать определенные формы мышления, необходимые для изучения окружающего нас мира.

Каково же влияние математики вообще и школьной математики в частности на воспитание творческой личности? Обучение на уроках математики искусству решать задачи доставляет нам исключительно благоприятную возможность для формирования у учащихся определенного склада ума. Необходимость исследовательской деятельности развивает интерес к закономерностям, учит видеть красоту и гармонию человеческой мысли. Все это является на наш взгляд важнейшим элементом общей культуры. Важное влияние оказывает курс математики на формирование различных форм мышления: логического, пространственно-геометрического, алгоритмического. Любой творческий процесс начинается с формулировки гипотезы. Математика при соответствующей организации обучения, будучи хорошей школой построения и проверки гипотез, учит сравнивать различные гипотезы, находить оптимальный вариант, ставить новые задачи, искать пути их решения. Помимо всего прочего, она вырабатывает еще и привычку к методичной работе, без которой не мыслим ни один творческий процесс. Максимально раскрывая возможности человеческого мышления, математика является его высшим достижением. Она помогает человеку в осознании самого себя и формировании своего характера. Это то немногое из большого списка причин, в силу которых математические знания должны стать неотъемлемой частью общей культуры и обязательным элементом в воспитании и обучении ребенка. Курс математики (без геометрии) в нашей 10-летней школе фактически разбит на три основные части: на арифметику (I - V классы), алгебру (VI - VIII классы) и элементы анализа (IX - Х классы). Что служит основанием для такого подразделения? Конечно, каждая эта часть имеет свою особую "технологию".

Так, в арифметике она связана, например, с вычислениями, производимыми над многозначными числами, в алгебре - с тождественными преобразованиями, логарифмированием, в анализе - с дифференцированием и т.д. Но каковы более глубокие основания, связанные с понятийным содержанием каждой части? Следующий вопрос касается оснований для различения школьной арифметики и алгебры (т.е. первой и второй части курса). В арифметику включают изучение натуральных чисел (целых положительных) и дробей (простых и десятичных). Однако специальный анализ показывает, что соединение этих видов чисел в одном школьном учебном предмете неправомерно.

Дело в том, что эти числа имеют разные функции: первые связаны со счетом предметов, вторые - с измерением величин. Это обстоятельство весьма важно для понимания того факта, что дробные (рациональные) числа являются лишь частным случаем действительных чисел.

С точки зрения измерения величин, как отмечал А.Н. Колмогоров, "нет столь глубокого различия между рациональными и иррациональными действительными числами. Из педагогических соображений надолго задерживаются на рациональных числах, так как их легко записать в форме дробей; однако то употребление, которое им с самого начала придается, должно было бы сразу привести к действительным числам во всей их общности" .

А.Н. Колмогоров считал оправданным как с точки зрения истории развития математики, так и по существу предложение А. Лебега переходить в обучении после натуральных чисел сразу к происхождению и логической природе действительных чисел. При этом, как отмечал А.Н. Колмогоров, "подход к построению рациональных и действительных чисел с точки зрения измерения величин нисколько не менее научен, чем, например, введение рациональных чисел в виде "пар". Для школы же он имеет несомненное преимущество" (.

Таким образом, есть реальная возможность на базе натуральных (целых) чисел сразу формировать "самое общее понятие числа" (по терминологии А. Лебега), понятие действительного числа. Но со стороны построения программы это означает не более не менее, как ликвидацию арифметики дробей в ее школьной интерпретации. Переход от целых чисел к действительным - это переход от арифметики к "алгебре", к созданию фундамента для анализа. Эти идеи, высказанные более 20 лет назад, актуальны и сегодня.

1. Общетеоретические аспекты изучения алгебраического материала в начальной школе

алгебраический школа сравнение математика

1.1 Опыт введения элементов алгебры в начальной школе

Содержание учебного предмета, как известно, зависит от многих факторов - от требований жизни к знаниям учащихся, от уровня соответствующих наук, от психических и физических возрастных возможностей детей и т.д. Правильный учет этих факторов является существенным условием наиболее эффективного обучения школьников, расширения их познавательных возможностей. Но иногда это условие по тем или иным причинам не соблюдается. В этом случае преподавание не дает должного эффекта как в отношении усвоения детьми круга необходимых знаний, так и в отношении развития их интеллекта .

Представляется, что в настоящее время программы преподавания некоторых учебных предметов, в частности математики, не соответствуют новым требованиям жизни, уровню развития современных наук (например, математики) и новым данным возрастной психологии и логики. Это обстоятельство диктует необходимость всесторонней теоретической и экспериментальной проверки возможных проектов нового содержания учебных предметов.

Фундамент математических знаний закладывается в начальной школе. Но, к сожалению, как сами математики, так и методисты и психологи уделяют весьма малое внимание именно содержанию начальной математики. Достаточно сказать, что программа по математике в начальной школе (I - IV классы) в основных своих чертах сложилась еще 50 - 60 лет назад и отражает, естественно, систему математических, методических и психологических представлений того времени .

Рассмотрим характерные особенности государственного стандарта по математике в начальной школе. Основным ее содержанием являются целые числа и действия над ними, изучаемые в определенной последовательности. Вначале изучаются четыре действия в пределе 10 и 20, затем - устные вычисления в пределе 100, устные и письменные вычисления в пределе 1000 и, наконец, в пределе миллионов и миллиардов. В IV классе изучаются некоторые зависимости между данными и результатами арифметических действий, а также простейшие дроби. Наряду с этим программа предполагает изучение метрических мер и мер времени, овладение умением пользоваться ими для измерения, знание некоторых элементов наглядной геометрии - вычерчивание прямоугольника и квадрата, измерение отрезков, площадей прямоугольника и квадрата, вычисление объемов .

Полученные знания и навыки ученики должны применять к решению задач и к выполнению простейших расчетов. На протяжении всего курса решение задач проводится параллельно изучению чисел и действий - для этого отводится половина соответствующего времени. Решение задач помогает учащимся понять конкретный смысл действий, уяснить различные случаи их применения, установить зависимость между величинами, получить элементарные навыки анализа и синтеза.

С I по IV класс дети решают следующие основные типы задач (простых и составных): на нахождение суммы и остатка, произведения и частного, на увеличение и уменьшение данных чисел, на разностное и кратное сравнение, на простое тройное правило, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестного по двум разностям, на вычисление среднего арифметического и некоторые другие виды задач .

С разными типами зависимостей величин дети сталкиваются при решении задач. Но весьма характерно - учащиеся приступают к задачам после и по мере изучения чисел; главное, что требуется при решении - это найти числовой ответ. Дети с большим трудом выявляют свойства количественных отношений в конкретных, частных ситуациях, которые принято считать арифметическими задачами. Практика показывает, что манипулирование числами часто заменяет действительный анализ условий задачи с точки зрения зависимостей реальных величин. Задачи, вводимые в учебники, не представляют к тому же системы, в которой более "сложные" ситуации были бы связаны и с более "глубокими" пластами количественных отношений. Задачи одной и той же трудности можно встретить и в начале, и в конце учебника. Они меняются от раздела к разделу и от класса к классу по запутанности сюжета (возрастает число действий), по рангу чисел (от десяти до миллиарда), по сложности физических зависимостей (от задач на распределение до задач на движение) и по другим параметрам. Только один параметр - углубление в систему собственно математических закономерностей - в них проявляется слабо, неотчетливо. Поэтому очень сложно установить критерий математической трудности той или иной задачи. Почему задачи на нахождение неизвестного по двум разностям и на выяснение среднего арифметического (III класс) труднее задач на разностное и кратное сравнение (II класс)? Методика не дает на этот вопрос убедительного и логичного ответа .

Таким образом, учащиеся начальных классов не получают адекватных, полноценных знаний о зависимостях величин и общих свойствах количества ни при изучении элементов теории чисел, ибо они в школьном курсе связаны по преимуществу с техникой вычислений, ни при решении задач, ибо последние не обладают соответствующей формой и не имеют требуемой системы. Попытки методистов усовершенствовать приемы преподавания хотя и приводят к частным успехам, однако не меняют общего положения дела, так как они заранее ограничены рамками принятого содержания.

Представляется, что в основе критического анализа принятой программы по арифметике должны лежать следующие положения:

Понятие числа не тождественно понятию о количественной характеристике объектов;

Число не является исходной формой количественных отношений.

Приведем обоснование этих положений. Общеизвестно, что современная математика (в частности, алгебра) изучает такие моменты количественных отношений, которые не имеют числовой оболочки. Также хорошо известно, что некоторые количественные отношения вполне выразимы без чисел и до чисел, например, в отрезках, объемах и т.д. (отношение "больше", "меньше", "равно"). Изложение исходных общематематических понятий в современных руководствах осуществляется в такой символике, которая не предполагает обязательного выражения объектов числами. Так, в книге Е.Г. Гонина "Теоретическая арифметика" основные математические объекты с самого начала обозначаются буквами и особыми знаками .

Характерно, что те или иные виды чисел и числовые зависимости приводятся лишь как примеры, иллюстрации свойств множеств, а не как их единственно возможная и единственно существующая форма выражения. Далее, примечательно, что многие иллюстрации отдельных математических определений даются в графической форме, через соотношение отрезков, площадей . Все основные свойства множеств и величин можно вывести и обосновать без привлечения числовых систем; более того, последние сами получают обоснование на основе общематематических понятий.

В свою очередь многочисленные наблюдения психологов и педагогов показывают, что количественные представления возникают у детей задолго до появления у них знаний о числах и приемах оперирования ими. Правда, есть тенденция относить эти представления к категории "доматематических образований" (что вполне естественно для традиционных методик, отождествляющих количественную характеристику объекта с числом), однако, это не меняет существенной их функции в общей ориентировке ребенка в свойствах вещей. И порой случается, что глубина этих якобы "доматематических образований" более существенна для развития собственно математического мышления ребенка, чем знание тонкостей вычислительной техники и умение находить чисто числовые зависимости. Примечательно, что акад. А.Н. Колмогоров, характеризуя особенности математического творчества, специально отмечает следующее обстоятельство: "В основе большинства математических открытий лежит какая-либо простая идея: наглядное геометрическое построение, новое элементарное неравенство и т.п. Нужно только применить надлежащим образом эту простую идею к решению задачи, которая с первого взгляда кажется недоступной" .

В настоящее время целесообразны самые различные идеи относительно структуры и способов построения новой программы. К работе по ее конструированию необходимо привлечь математиков, психологов, логиков, методистов. Но во всех своих конкретных вариантах она, как представляется, должна удовлетворять следующим основным требованиям:

Преодолевать существующий разрыв между содержанием математики в начальной и средней школе;

Давать систему знаний об основных закономерностях количественных отношений объективного мира; при этом свойства чисел, как особой формы выражения количества, должны стать специальным, но не основным разделом программы;

Прививать детям приемы математического мышления, а не только навыки вычислений: это предполагает построение такой системы задач, в основе которой лежит углубление в сферу зависимостей реальных величин (связь математики с физикой, химией, биологией и другими науками, изучающими конкретные величины);

Решительно упрощать всю технику вычисления, сводя до минимума ту работу, которую нельзя выполнить без соответствующих таблиц, справочников и других подсобных (в частности, электронных) средств.

Смысл этих требований ясен: в начальной школе вполне возможно преподавать математику как науку о закономерностях количественных отношений, о зависимостях величин; техника вычислений и элементы теории чисел должны стать особым и частным разделом программы.

Опыт конструирования новой программы по математике и ее экспериментальная проверка, проводимая начиная с конца 1960-х годов, позволяют уже в настоящее время говорить о возможности введения в школу начиная с I класса систематического курса математики, дающего знания о количественных отношениях и зависимостях величин в алгебраической форме.

1.2 Проблема происхождения алгебраических понятий и ее значение для построения учебного предмета

Разделение школьного курса математики на алгебру и арифметику, конечно же, условно. Переход от одного к другому происходит постепенно. В школьной практике смысл этого перехода маскируется тем, что изучение дробей фактически происходит без развернутой опоры на измерение величин - дроби даются как отношения пар чисел (хотя формально важность измерения величин в методических руководствах признается). Развернутое введение дробных чисел на основе измерения величин неизбежно приводит к понятию действительного числа. Но последнего как раз обычно и не происходит, так как учащихся долго держат на работе с рациональными числами, а тем самым задерживают их переход к "алгебре" .

Иными словами, школьная алгебра начинается именно тогда, когда создаются условия для перехода от целых к действительным числам, к выражению результата измерения дробью (простой и десятичной - конечной, а затем бесконечной). Причем исходным может быть знакомство с операцией измерения, получение конечных десятичных дробей и изучение действий над ними. Если учащиеся уже владеют такой формой записи результата измерения, то это служит предпосылкой для "забрасывания" идеи о том, что число может выражаться и бесконечной дробью. И эту предпосылку целесообразно создавать уже в пределах начальной школы.

Если понятие дробного (рационального) числа изъять из компетенции школьной арифметики, то граница между нею и "алгеброй" пройдет по линии различия между целым и действительным числами. Именно оно "рубит" курс математики на две части. Здесь не простое различие, а принципиальный "дуализм" источников - счета и измерения .

Следуя идеям Лебега относительно "общего понятия числа", можно обеспечить полное единство преподавания математики, но лишь с момента и после ознакомления детей со счетом и целым (натуральным) числом. Конечно, сроки этого предварительного ознакомления могут быть разными (в традиционных программах для начальной школы они явно затянуты), в курс начальной арифметики можно даже вносить элементы практических измерений (что имеет место в программе), - однако все это не снимает различия оснований у арифметики и "алгебры" как учебных предметов. "Дуализм" исходных пунктов препятствует и тому, чтобы в курсе арифметики по-настоящему "приживались" разделы, связанные с измерением величин и переходом к подлинным дробям. Авторы программ и методисты стремятся сохранить устойчивость и "чистоту" арифметики как школьного учебного предмета. Указанное различие источников является основной причиной преподавания математики по схеме - сначала арифметика (целое число), затем "алгебра" (действительное число) .

Эта схема кажется вполне естественной и незыблемой, к тому же она оправдывается многолетней практикой преподавания математики. Но есть обстоятельства, которые с логико-психологической точки зрения требуют более тщательного анализа правомерности этой жесткой схемы преподавания.

Дело в том, что при всем различии этих видов чисел они относятся именно к числам, т.е. к особой форме отображения количественных отношений. Принадлежность целого и действительного чисел к "числам" служит основанием для предположения о генетической производности и самих различий счета и измерения: у них есть особый и единый источник, соответствующий самой форме числа .

Знание особенностей этой единой основы счета и измерения позволит более четко представить условия их происхождения, с одной стороны, и взаимосвязь - с другой.

К чему же обратиться, чтобы нащупать общий корень ветвистого дерева чисел? Представляется, что, прежде всего, необходимо проанализировать содержание понятия величина. Правда, с этим термином сразу связывается другой - измерение. Однако правомерность подобного соединения не исключает определенной самостоятельности смысла "величины". Рассмотрение этого аспекта позволяет сделать выводы, сближающие, с одной стороны, измерение со счетом, с другой - оперирование числами с некоторыми общематематическими отношениями и закономерностями .

Итак, что такое "величина" и какой интерес она представляет для построения начальных разделов школьной математики? В общем употреблении термин "величина" связан с понятиями "равно", "больше", "меньше", которые описывают самые различные качества (длину и плотность, температуру и белизну). В.Ф. Каган ставит вопрос о том, какими общими свойствами эти понятия обладают. Он показывает, что они относятся к совокупностям - множествам однородных предметов, сопоставление элементов которых позволяет применить термины "больше", "равно", "меньше" (например, к совокупностям всех прямолинейных отрезков, весов, скоростей и т.д.) .

Множество предметов только тогда претворяется в величину, когда устанавливаются критерии, позволяющие установить относительно любых его элементов А и В, будет ли А равно В, больше В или меньше В. При этом для любых двух элементов А и В имеет место одно и только одно из соотношений: А=В, А>В, А<В. Эти предложения составляют полную дизъюнкцию (по крайней мере, одно имеет место, но каждое исключает все остальные).

В.Ф. Каган выделяет следующие восемь основных свойств понятий "равно", "больше", "меньше": .

1) Имеет место по крайней мере одно из соотношений: А=В, А>В, А<В.

2) Если имеет место соотношение А=В, то не имеет места соотношение А<В.

3) Если имеет место соотношение А=В, то не имеет места соотношение А>В.

4) Если А=В и В=С, то А=С.

5) Если А>В и В>С, то А>С.

6) Если А<В и В<С, то А<С.

7) Равенство есть отношение обратимое: из соотношения А=В всегда следует соотношение В=А.

8) Равенство есть соотношение возвратное: каков бы ни был элемент А рассматриваемого множества, А=А.

Первые три предложения характеризуют дизъюнкцию основных соотношений "=", ">", "<". Предложения 4 - 6 - их транзитивность при любых

трех элементах А, В и С. Следующие предложения 7 - 8 характеризуют только равенство - его обратимость и возвратность (или рефлексивность). Эти восемь основных положений В.Ф.Каган называет поcтулатами сравнения, на базе которых можно вывести ряд других свойств величины.

Эти выводные свойства В.Ф. Каган описывает в форме восьми теорем:

I. Соотношение А>В исключает соотношение В>А (А<В исключает В<А).

II. Если А>В, то В<А (если А<В, то В>А).

III. Если имеет место А>В, то не имеет места A

IV. Если А1=А2, А2=А3,.., Аn-1=А1, то А1=Аn.

V. Если А1>А2, А2>А3,.., Аn-1>Аn, то А1>Аn.

VI. Если А1<А2, А2<А3,.., Аn-1<Аn, то А1<Аn.

VII. Если А=С и В=С, то А=В.

VIII. Если имеет место равенство или неравенство А=В, или А>В, или А<В, то оно не нарушится, когда мы один из его элементов заменим равным ему элементом (здесь имеет место соотношение типа: если А=В и А=С, то С=В; если А>В и А=С, то С>В и т.д.).

Постулатами сравнения и теоремами, указывает В.Ф. Каган, "исчерпываются все те свойства понятий "равно", "больше" и "меньше", которые в математике с ними связываются и находят себе применение независимо от индивидуальных свойств того множества, к элементам коего мы их в различных частных случаях применяем" .

Свойства, указанные в постулатах и теоремах, могут характеризовать не только те непосредственные особенности объектов, которые мы привыкли связывать с "равно", "больше", "меньше", но и со многими другими особенностями (например, они могут характеризовать отношение "предок - потомок"). Это позволяет встать при их описании на общую точку зрения и рассматривать, например, под углом зрения этих постулатов и теорем любые три вида отношений "альфа", "бета", "гамма" (при этом можно установить, удовлетворяют ли эти отношения постулатам и теоремам и при каких условиях).

Под таким углом зрения можно, например, рассматривать такое свойство вещей, как твердость (тверже, мягче, одинаковая твердость), последовательность событий во времени (следование, предшествование, одновременность) и т.д. Во всех этих случаях соотношения "альфа", "бета", "гамма" получают свою конкретную интерпретацию. Задача, связанная с подбором такого множества тел, которое бы имело эти отношения, а также выявление признаков, по которым можно было бы характеризовать "альфа", "бета", "гамма", - это есть задача на определение критериев сравнения в данном множестве тел (практически ее в ряде случаев решить нелегко). "Устанавливая критерии сравнения, мы претворяем множество в величину", - писал В.Ф. Каган . Реальные объекты могут рассматриваться под углом зрения разных критериев. Так, группа людей может рассматриваться по такому критерию, как последовательность моментов рождения каждого ее члена. Другой критерий - относительное положение, которое примут головы этих людей, если их поставить рядом на одной горизонтальной плоскости. В каждом случае группа будет претворяться в величину, имеющую соответствующее наименование - возраст, рост. В практике величиной обычно обозначают как бы не самое множество элементов, а новое понятие, введенное для различения критериев сравнения (наименование величины). Так возникают понятия "объем", "вес", "электрическое напряжение" и т.д. "При этом для математика величина вполне определена, когда указаны множество элементов и критерии сравнения", - отмечал В.Ф. Каган .

В качестве важнейшего примера математической величины этот автор рассматривает натуральный ряд чисел. С точки зрения такого критерия сравнения, как положение, занимаемое числами в ряду (занимают одно место, следует за..., предшествует), этот ряд удовлетворяет постулатам и поэтому представляет собой величину. По соответствующим критериям сравнения совокупность дробей также претворяется в величину. Таково, по В.Ф. Кагану, содержание теории величины, играющей важнейшую роль в деле обоснования всей математики.

Работая с величинами (отдельные их значения целесообразно фиксировать буквами), можно производить сложную систему преобразований, устанавливая зависимости их свойств, переходя от равенства к неравенству, выполняя сложение (и вычитание), причем при сложении можно руководствоваться коммутативным и ассоциативным свойствами. Так, если дано соотношение А=В, то при "решении" задач можно руководствоваться соотношением В=А. В другом случае при наличии соотношений А>В, В=С можно заключить, что А>С. Поскольку при а>b существует такое с, что а=b+с, то можно найти разность а и b (а-b=с), и т.д.

Все эти преобразования можно выполнить на физических телах и других объектах, установив критерии сравнения и соответствие выделенных отношений постулатам сравнения.

Приведенные выше материалы позволяют заключить, что и натуральные, и действительные числа одинаково прочно связаны с величинами и некоторыми их существенными особенностями. Нельзя ли эти и другие свойства сделать предметом специального изучения ребенка еще до того, как вводится числовая форма описания отношения величин? Они могут послужить предпосылками для последующего развернутого введения числа и его разных видов, в частности для пропедевтики дробей, понятий координат, функции и других понятий уже в младших классах .

Что может быть содержанием этого начального раздела? Это знакомство с физическими объектами, критериями их сравнения, выделяющими величину, как предмет математического рассмотрения, знакомство со способами сравнения и знаковыми средствами фиксации его результатов, с приемами анализа общих свойств величин. Это содержание нужно развернуть в относительно подробную программу преподавания и, главное, связать ее с теми действиями ребенка, посредством которых он может этим содержанием овладеть (конечно, в соответствующей форме). Вместе с тем нужно экспериментальным, опытным путем установить, могут ли дети 7 лет усвоить эту программу, и какова целесообразность ее введения для последующего преподавания математики в начальных классах в направлении сближения арифметики и начальной алгебры.

До сих пор наши рассуждения носили теоретический характер и были направлены на выяснение математических предпосылок построения такого начального раздела курса, который знакомил бы детей с основными алгебраическими понятиями (до специального введения числа). Выше были описаны основные свойства, характеризующие величины. Естественно, что детям 7 лет бессмысленно читать "лекции" относительно этих свойств .

Необходимо было найти такую форму работы детей с дидактическим материалом, посредством которой они смогли бы, с одной стороны, выявить в окружающих их вещах эти свойства, с другой - научились бы фиксировать их определенной символикой и проводить элементарный математический анализ выделяемых отношений.

В этом плане программа должна содержать, во-первых, указание тех свойств предмета, которые подлежат освоению, во-вторых, описание дидактических материалов, в-третьих, - и это с психологической точки зрения главное - характеристики тех действий, посредством которых ребенок выделяет определенные свойства предмета и осваивает их. Эти "составляющие" образуют программу преподавания в собственном смысле этого слова. Конкретные особенности этой гипотетической программы и ее "составляющих" имеет смысл излагать при описании процесса самого обучения и его результатов .

Здесь представляется схема данной программы и ее узловые темы.

Тема I. Уравнивание и комплектование объектов (по длине, объему, весу, составу частей и другим параметрам).

Практические задачи на уравнивание и комплектование. Выделение признаков (критериев), по которым одни и те же объекты могут быть уравнены или укомплектованы. Словесное обозначение этих признаков ("по длине", по весу" и т.д.).

Эти задачи решаются в процессе работы с дидактическим материалом (планками, грузами и т.д.) путем:

Выбора "такого же" предмета,

Воспроизведения (построения) "такого же" предмета по выделенному (указанному) параметру.

Тема II. Сравнение объектов и фиксация его результатов формулой равенства-неравенства.

1. Задачи на сравнение объектов и знаковое обозначение результатов этого действия.

2. Словесная фиксация результатов сравнения (термины "больше", "меньше", "равно"). Письменные знаки ">", "<", "=".

3. Обозначение результата сравнения рисунком ("копирующим", а затем "отвлеченным" - линиями).

4. Обозначение сравниваемых объектов буквами. Запись результата сравнения формулами: А=Б; А<Б, А>B. Буква как знак, фиксирующий непосредственно данное, частное значение объекта по выделенному параметру (по весу, по объему и т.д.).

5. Невозможность фиксации результата сравнения разными формулами. Выбор определенной формулы для данного результата (полная дизъюнкция отношений больше - меньше - равно).

Тема III. Свойства равенства и неравенства.

1. Обратимость и рефлексивность равенства (если А=Б, то Б=А; А=А).

2. Связь отношений "больше" и "меньше" в неравенствах при "перестановках" сравниваемых сторон (если А>Б, то Б<А и т.п.).

3. Транзитивность как свойство равенства и неравенства:

если А=Б, если А>Б, если А<Б,

а Б=В, а Б>В, а Б<В,

то А=В; тo A>B; тo А<В.

4. Переход от работы с предметным дидактическим материалом к оценкам свойств равенства-неравенства при наличии только буквенных формул. Решение разнообразных задач, требующих знания этих свойств (например, решение задач, связанных со связью отношений типа: дано, что А>В, а В=С; узнать отношение между А и С).

Тема IV. Операция сложения (вычитания).

1. Наблюдения за изменениями объектов по тому или иному параметру (по объему, по весу, по длительности и т.д.). Изображение увеличения и уменьшения знаками "+" и "-" (плюс и минус).

2. Нарушение ранее установленного равенства при соответствующем изменении той или иной его стороны. Переход от равенства к неравенству. Запись формул типа:

если А=Б, если А=Б,

то А+К>Б; то А-К<Б.

3. Способы перехода к новому равенству (его "восстановление" по принципу:

прибавление "равного" к "равным" дает "равное").

Работа с формулами типа:

то А+К>Б, но А+К=Б+К.

4. Решение разнообразных задач, требующих применения операции сложения (вычитания) при переходе от равенства к неравенству и обратно.

Тема V. Переход от неравенства типа А<Б к равенству через операцию сложения (вычитания).

1. Задачи, требующие такого перехода. Необходимость определения значения величины, на которую разнятся сравниваемые объекты. Возможность записи равенства при неизвестном конкретном значении этой величины. Способ использования х (икса).

Запись формул типа:

если A<Б, если А>Б,

то A+х=Б; то А-x=B.

2. Определение значения х. Подстановка этого значения в формулу (знакомство со скобками). Формулы типа

3. Решение задач (в том числе и "сюжетно-текстовых"), требующих выполнения указанных операций.

Тема Vl. Сложение-вычитание равенств-неравенств. Подстановка.

1. Сложение-вычитание равенств-неравенств:

если А=Б если А>В если А>В

и М=D, и К>Е, и Б=Г, то A+M=Б+D; то А+К>В+E; то А+-Б>В+-Г.

2. Возможность представления значения величины суммой нескольких значений. Подстановка типа:

3. Решение разнообразных задач, требующих учета свойств отношений, с которыми дети познакомились в процессе работы (многие задачи требуют одновременного учета нескольких свойств, сообразительности при оценке смысла формул; описание задач и решения приведены ниже) .

Такова программа, рассчитанная на 3,5 - 4 мес. первого полугодия. Как показывает опыт экспериментального обучения, при правильном планировании уроков, при усовершенствовании методики преподавания и удачном выборе дидактических пособий весь изложенный в программе материал может быть полноценно усвоен детьми за более короткий срок (за 3 месяца). Как строится наша программа дальше? Прежде всего дети знакомятся со способом получения числа, выражающим отношение какого-либо объекта как целого (той же величины, представленной непрерывным или дискретным объектом) к его части. Само это отношение и его конкретное значение изображается формулой А/К=n, где n - любое целое число, чаще всего выражающее отношение с точностью до "единицы" (лишь при специальном подборе материала или при сосчитывании лишь "качественно" отдельных вещей можно получить абсолютно точное целое число). Дети с самого начала "вынуждены" иметь в виду, что при измерении или сосчитывании может получиться остаток, наличие которого нужно специально оговаривать. Это первая ступенька к последующей работе с дробным числом. При такой форме получения числа нетрудно подвести детей к описанию объекта формулой типа А=5k (если отношение было равно "5"). Вместе с первой формулой она открывает возможности для специального изучения зависимостей между объектом, основанием (мерой) и результатом счета (измерения), что также служит пропедевтикой для перехода к дробным числам (в частности, для понимания основного свойства дроби). Другая линия развертывания программы, реализуемая уже в I классе, - это перенесение на числа (целые) основных свойств величины (дизъюнкции равенства-неравенства, транзитивности, обратимости) и операции сложения (коммутативности, ассоциативности, монотонности, возможности вычитания). В частности, работая на числовом луче, дети могут быстро претворить последовательность чисел в величину (например, отчетливо оценивать их транзитивность, выполняя записи типа 3<5<8, одновременно связывая отношения "меньше-больше": 5<8, но 5<3, и т.д.) .

Знакомство с некоторыми так сказать "структурными" особенностями равенства позволяет детям иначе подойти к связи сложения и вычитания. Так, при переходе от неравенства к равенству выполняются следующие преобразования: 7<11; 7+х=11; x=11-7; х=4. В другом случае дети складывают и вычитают элементы равенств и неравенств, выполняя при этом работу, связанную с устными вычислениями. Например, дано 8+1=6+3 и 4>2; найти отношение между левой и правой частями формулы при 8+1-4...6+3-2; в случае неравенства привести это выражение к равенству (вначале нужно поставить знак "меньше", а затем приплюсовать к левой части "двойку").

Таким образом, обращение с числовым рядом как с величиной позволяет по-новому формировать сами навыки сложения-вычитания (а затем умножения-деления).

2.1 Обучение в начальной школе с точки зрения потребностей средней школы

Как известно, при изучении математики в 5-м классе существенная часть времени отводится на повторение того, что дети должны были усвоить в начальной школе. Это повторение практически во всех существующих учебниках занимает 1,5 учебной четверти. Такая ситуация сложилась неслучайно. Ее причина - недовольство учителей математики средней школы подготовкой выпускников начальной школы. В чем же причина такого положения? Для этого была проанализированы пять наиболее известных сегодня учебников математики начальной школы. Это учебники М.И. Моро, И.И. Аргинской, Н.Б. Истоминой, Л.Г. Петерсон , , , .

Анализ этих учебников выявил несколько негативных моментов, в большей или меньшей степени присутствующих в каждом из них и отрицательно влияющих на дальнейшее обучение. Прежде всего, это то, что усвоение материала в них в большей мере основано на заучивании. Ярким примером этого служит заучивание таблицы умножения. В начальной школе ее запоминанию уделяется много сил и времени. Но за время летних каникул дети ее забывают. Причина такого быстрого забывания в механическом заучивании. Исследования Л.С. Выготского показали, что осмысленное запоминание гораздо более эффективно, чем механическое, а проведенные впоследствии эксперименты убедительно доказывают, что материал попадает в долговременную память, только если он запомнен в результате работы, соответствующей этому материалу.

Способ эффективного усвоения таблицы умножения был найден еще в 50-х годах. Он состоит в организации определенной системы упражнений, выполняя которые, дети сами конструируют таблицу умножения. Однако не в одном из рассмотренных учебников этот способ не реализован.

Другим негативным моментом, влияющим на дальнейшее обучение, является то, что во многих случаях изложение материала в учебниках математики начальной школы построено таким образом, что в дальнейшем детей придется переучивать, а это, как известно, гораздо труднее, чем учить. Применительно к изучению алгебраического материала примером может служить решение уравнений в начальной школе. Во всех учебниках решение уравнений основано на правилах нахождения неизвестных компонентов действий.

Несколько иначе это сделано лишь в учебнике Л.Г. Петерсон , где, например, решение уравнений на умножение и деление строится на соотнесении компонентов уравнения со сторонами и площадью прямоугольника и в итоге также сводится к правилам, но это правила нахождения стороны или площади прямоугольника. Между тем, начиная с 6-го класса детей учат совершенно другому принципу решения уравнений, основанному на применении тождественных преобразований. Такая необходимость переучивания приводит к тому, что решение уравнений является достаточно сложным моментом для большинства детей.

Анализируя учебники, мы столкнулись еще и с тем, что при изложении материала в них зачастую имеет место искажение понятий. Например, формулировка многих определений дается в виде импликаций, тогда как из математической логики известно, что любое определение - это эквиваленция. В качестве иллюстрации можно привести определение умножения из учебника И.И. Аргинской: "Если все слагаемые в сумме равны между собой, то сложение можно заменить другим действием - умножением" . (Все слагаемые в сумме равны между собой. Следовательно, сложение можно заменить умножением.) Как видно, это импликация в чистом виде. Такая формулировка не только неграмотна с точки зрения математики, не только неправильно формирует у детей представление о том, что такое определение, но она еще и очень вредна тем, что в дальнейшем, например, при построении таблицы умножения авторы учебников используют замену произведения суммой одинаковых слагаемых, чего представленная формулировка не допускает. Такая неправильная работа с высказываниями, записанными в виде импликации, формирует у детей неверный стереотип, который будет с большим трудом преодолеваться на уроках геометрии, когда дети не будут чувствовать разницы между прямым и обратным утверждением, между признаком фигуры и ее свойством. Ошибка, когда при решении задач используется обратная теорема, в то время как доказана только прямая, является очень распространенной.

Другим примером неправильного формирования понятий является работа с отношением буквенного равенства. Например, правила умножения числа на единицу и числа на нуль во всех учебниках даются в буквенном виде: а х 1 = а, а х 0 = 0. Отношение равенства, как известно, является симметричным, а следовательно, подобная запись предусматривает не только то, что при умножении на 1 получается то же число, но и то, что любое число можно представить как произведение этого числа и единицы. Однако словесная формулировка, предложенная в учебниках после буквенной записи, говорит только о первой возможности .

Упражнения по этой теме также направлены только на отработку замены произведения числа и единицы этим числом. Все это приводит не только к тому, что предметом сознания детей не становится очень важный момент: любое число можно записать в виде произведения, - что в алгебре при работе с многочленами вызовет соответствующие трудности, но и к тому, что дети в принципе не умеют правильно работать с отношением равенства. К примеру, при работе с формулой разность квадратов дети, как правило, справляются с заданием разложить разность квадратов на множители. Однако те задания, где требуется обратное действие, во многих случаях вызывают затруднения. Другой яркой иллюстрацией этой мысли служит работа с распределительным законом умножения относительно сложения. Здесь также, несмотря на буквенную запись закона, и его словесная формулировка, и система упражнений отрабатывают только умение открывать скобки. В результате этого вынесение общего множителя за скобки в дальнейшем будет вызывать значительные трудности.

Весьма часто в начальной школе, даже когда определение или правило сформулировано верно, обучение стимулирует опору не на них, а на нечто совершенно другое. Например, при изучении таблицы умножения на 2 во всех рассмотренных учебниках показан способ ее построения. В учебнике М.И. Моро это сделано так:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

При таком способе работы дети очень быстро подметят закономерность получающегося числового ряда .

Уже после 3-4 равенств они перестанут складывать двойки и начнут записывать результат, основываясь на подмеченной закономерности. Таким образом, способ конструирования таблицы умножения не станет предметом их сознания, результатом чего будет являться непрочное ее усвоение.

При изучении материала в начальной школе опора делается на предметные действия и иллюстративную наглядность, что ведет к формированию эмпирического мышления. Конечно, без подобной наглядности вряд ли можно совсем обойтись в начальной школе. Но она должна служить лишь иллюстрацией того или иного факта, а не основой для формирования понятия.

Применение иллюстративной наглядности и предметных действий в учебниках нередко приводит к тому, что "размывается" само понятие. Например, в методике математики для 1-3-х классов М.И. Моро говорится, что детям приходится выполнять деление, раскладывая предметы на кучки или делая рисунок на протяжении 30 уроков. За подобными действиями теряется сущность операции деления как действия, обратного умножению. В результате деление усваивается с наибольшим трудом и значительно хуже, чем другие арифметические действия .

При обучении математике в начальной школе нигде не идет речь о доказательстве каких-либо утверждений. Между тем, помня о том, какую трудность будет вызывать обучение доказательству в средней школе, начинать готовить к этому нужно уже в начальных классах. Причем сделать это можно на вполне доступном для младших школьников материале. Таким материалом, например, могут служить правила деления числа на 1, нуля на число и числа на само себя. Дети вполне в состоянии доказать их, используя определение деления и соответствующие правила умножения.

Материал начальной школы также допускает и пропедевтику алгебры - работу с буквами и буквенными выражениями. Большинство учебников избегает использование букв. В результате четыре года дети работают практически только с числами, после чего, конечно, очень трудно приучать их к работе с буквами.

Однако обеспечить пропедевтику такой работы, научить детей подстановке числа вместо буквы в буквенное выражение можно уже в начальной школе. Это сделано, например, в учебнике Л.Г. Петерсон.

Говоря о недостатках обучения математике в начальной школе, мешающих дальнейшему обучению, необходимо особо подчеркнуть тот факт, что зачастую материал в учебниках изложен без взгляда на то, как он будет работать в дальнейшем. Очень ярким примером этого является организация усвоения умножения на 10, 100, 1000 и т.д. Во всех рассмотренных учебниках изложение этого материала построено так, что оно неизбежно приводит к формированию в сознании детей правила: "Чтобы умножить число на 10, 100, 1000 и т.д., нужно справа к нему приписать столько нулей, сколько их в 10, 100, 1000 и т.д." Это правило является одним из тех, которые очень хорошо усваиваются в начальной школе. И это приводит к большому числу ошибок при умножении десятичных дробей на целые разрядные единицы. Даже запомнив новое правило, дети часто автоматически при умножении на 10 приписывают к десятичной дроби справа нуль .

Кроме того, следует отметить, что и при умножении натурального числа, и при умножении десятичной дроби на целые разрядные единицы, по сути дела, происходит одно и то же: каждая цифра числа сдвигается вправо на соответствующее количество разрядов. Поэтому нет смысла учить детей двум отдельным и совершенно формальным правилам. Гораздо полезнее научить их общему способу действий при решении подобных заданий.

2.2 Сравнение (противопоставление) понятий на уроках математики

Действующая программа предусматривает изучение в I классе лишь двух действии первой ступени -- сложения и вычитания. Ограничение первого года обучения лишь двумя действиями есть, по существу, отход от того, что было уже достигнуто в учебниках, предшествовавших ныне действующим: ни один учитель никогда не жаловался тогда на то, что умножение и деление, скажем, в пределах 20 непосильно для первоклассников. Достойно внимания еще и то, что в школах других стран, где обучение начинается с 6 лет, к первому учебному году относят начальное знакомство со всеми четырьмя действиями арифметики.

Математика опирается, прежде всего, на четыре действия, и чем раньше они будут включены в практику мышления школьника, тем устойчивее и надежнее будет последующее развертывание курса математики.

Справедливости ради надо отметить, что в первых вариантах учебников М.И.Моро для I класса предусматривалось умножение и деление. Однако делу помешала случайность: авторы новых программ настойчиво держались за одну "новинку" -- охват в I классе всех случаев сложения и вычитания в пределах 100 (37+58 и 95--58 и т. п.). Но, поскольку времени на изучение такого расширенного объема сведений не хватило, было решено сдвинуть умножение и деление полностью на следующий год обучения.

Итак, увлечение линейностью программы, т. е. чисто количественным расширением знаний (те же самые действия, но с большими числами), заняло то время, которое ранее отводилось на качественное углубление знаний (изучение всех четырех действий в пределах двух десятков). Изучение умножения и деления уже в I классе означает качественный скачок мышления, поскольку это позволяет освоить свернутые мыслительные процессы.

По традиции, раньше выделялось в особую тему изучение действий сложения и вычитания в пределах 20. Необходимость этого подхода в систематизации знаний видна даже из логического анализа вопроса: дело в том, что полная таблица сложения однозначных чисел развертывается в пределах двух десятков (0+1=1, ...,9+9=18). Таким образом, числа в пределах 20 образуют в своих внутренних связях завершенную систему отношений; отсюда понятна целесообразность сохранения "Двадцати" в виде второй целостной темы (первая такая тема -- действия в пределах первого десятка).

Обсуждаемый случай -- именно тот, когда концентричность (сохранение второго десятка в качестве особой темы) оказывается более выгодной, чем линейность ("растворение" второго десятка в теме "Сотня").

В учебнике М. И. Моро изучение первого десятка разделено на два изолированных раздела: сначала изучается состав чисел первого десятка, а в следующей теме рассматриваются действия в пределах 10 . В экспериментальном учебнике П.М. Эрдниева в противовес этому осуществлено совместное изучение нумерации, состава чисел и действий (сложение и вычитание) в пределах 10 сразу в одном разделе. При таком подходе применяется монографическое изучение чисел, а именно: в пределах рассматриваемого числа (например, 3) сразу же постигается вся "наличная математика": 1 + 2 = 3; 2 + 1 = 3; 3 - 1 = 2; 3 - 2 = 1 .

Если по действующим программам на изучение первого десятка отводилось 70 ч, то в случае экспериментального обучения весь этот материал был изучен за 50 ч (причем сверх программы были рассмотрены некоторые дополнительные понятия, отсутствующие в стабильном учебнике, но структурно связанные с основным материалом).

Особого внимания в методике начального обучения требует вопрос о классификации задач, о названиях их типов. Поколения методистов трудились над упорядочением системы школьных задач, над созданием их эффективных типов и разновидностей, вплоть до подбора удачных терминов для названий задач, предусмотренных для изучения в школе. Известно, что не менее половины учебного времени на уроках математики отводится их решению. Школьные задачи, безусловно, нуждаются в систематизации и классификации. Какого вида (типа) задачи изучать, когда изучать, какой их тип изучать в связи с прохождением того или иного раздела -- это законный объект исследования методики и центральное содержание программ. Значимость этого обстоятельства видна из истории методики математики.

Заключение

В настоящее время возникли достаточно благоприятные условия для коренного улучшения постановки математического образования в начальной школе:

1) начальная школа из трехлетней преобразована в четырехлетнюю;

Подобные документы

    Особенности формирования временных представлений на уроках математики в начальной школе. Характеристика величин, изучаемых в начальной школе. Знакомство с методикой формирования временных представлений в начальном курсе математики УМК "Школа России".

    дипломная работа , добавлен 16.12.2011

    Интеграция информатики и математики как главное направление в повышении эффективности обучения. Методика применения программных средств к интерактивным урокам. Отбор учебного материала для электронного обучения математики и информатики в средней школе.

    дипломная работа , добавлен 08.04.2013

    Представление об активных методах обучения, особенности их применения в начальной школе. Классификация активных методов преподавания математики в начальной школе по различным основаниям. Интерактивные методы преподавания математики и их преимущества.

    курсовая работа , добавлен 12.02.2015

    Методика изучения вероятностно-статистической (стохастической) линии в курсе математики основной школы. Анализ восприятия материала учащимися: степень заинтересованности; уровень доступности; трудности при изучении этого материала; качество усвоения.

    дипломная работа , добавлен 28.05.2008

    Сущность и задачи интерактивного обучения в начальной школе. Реализация комплекса методов и приемов интерактивного обучения младших школьников на уроках математики. Выявление динамики уровня сформированности универсальных учебных действий школьников.

    дипломная работа , добавлен 17.02.2015

    Процесс работы над задачей. Виды задач, умение и уровни умения их решать. Методика обучения преобразованию задач.Этапы работы над задачей. Понятие преобразования задачи. Методика обучения и преобразования задачи на уроках математики в начальной школе.

    дипломная работа , добавлен 11.06.2008

    Методика использования заданий исследовательского характера на уроках математики как средства развития мыслительной деятельности младших школьников; систематизация и апробация развивающих упражнений, рекомендации по их использованию в начальной школе.

    курсовая работа , добавлен 15.02.2013

    Особенности изучения математики в начальной школе согласно Федеральному государственному образовательному стандарту начального общего образования. Содержание курса. Анализ основных математических понятий. Сущность индивидуального подхода в дидактике.

    курсовая работа , добавлен 29.09.2016

    Математика как одна из наиболее абстрактных наук, изучаемых в начальной школе. Знакомство с особенностями использования исторического материала на уроках математики в 4 классе. Анализ основных проблем развития познавательной активности школьников.

    дипломная работа , добавлен 10.07.2015

    Рассмотрение психолого-педагогических основ изучения логических задач в начальной школе. Особенности развития логического мышления на уроках математики в начальной школе с позиции требований Федерального Государственного Образовательного Стандарта.

(8 часов)

План:

1. Цели изучения алгебраического материала в начальных классах.

2. Свойства арифметических действий, изучаемые в начальных классах.

3. Изучение числовых выражений и правил порядка выполнения действий:

Одного порядка без скобок;

Одного порядка со скобками;

Выражения без скобок, включающие 4 арифметических действия, со скобками.

4. Анализ числовых равенств и неравенств, изучаемых в начальных классах (сравнение двух чисел, числа и числового выражения, двух числовых выражений).

5. Введение буквенной символики с переменной.

6. Методика изучения уравнений:

а) дайте определение уравнения (из лекций по математике и из учебника математики для начальной школы),

б) выделите объем и содержание понятия,

в) каким методом (абстрактно-дедуктивным или конкретно-индуктивным) будете вводить это понятие? Опишите основные этапы работы над уравнением.

Выполните задания:

1. Объяснить целесообразность использования в начальных классах неравенств с переменной.

2. Подготовить сообщение к занятию о возможности формирования у учащихся функциональной пропедевтики (через игру, через изучение неравенств).

3. Подобрать задания для учащихся по выполнению существенных и несущественных свойств понятия «уравнение».

1. Абрамова О.А., Моро М.И. Решение уравнений // Начальная школа. – 1983. - №3. – С. 78-79.

2. Ыманбекова П. Средства наглядности при формировании понятия «равенство» и «неравенство» // Начальная школа. – 1978. – №11. – С. 38-40.

3. Щадрова И.В. О порядке действий в арифметическом выражении // Начальная школа. – 2000. - №2. – С. 105-107.

4. Шихалиев Х.Ш. Единый подход к решению уравнений и неравенств // Начальная школа. – 1989. - №8. – С. 83-86.

5. Назарова И.Н. Ознакомление с функциональной зависимостью при обучении решению задач // Начальная школа. – 1989. - №1. – С. 42-46.

6. Кузнецова В.И. О некоторых типичных ошибках учащихся, связанных с вопросами алгебраической пропедевтики // Начальная школа. – 1974. - №2. – С. 31.

Общая характеристика методики изучения

алгебраического материала

Введение алгебраического материала в начальный курс математики позволяет подготовить учащихся к изучению основных понятий современной математики, например таких, как «переменная», «уравнение», «неравенство» и др., способствует развитию у детей функционального мышления.

Основные понятия темы – «выражение», «равенство», «неравенство», «уравнение».

Термин «уравнение» вводится при изучении темы «Тысяча», но подготовительная работа к ознакомлению учащихся с уравнениями начинается с 1 класса. Термины «выражение», «значение выражения», «равенство», «неравенство» включаются в словарь учащихся начиная со 2 класса. Понятие «решить неравенство» в начальных классах не вводится.



Числовые выражения

В математике под выражением понимают постоянную по определенным правилам последовательность математических символов, обозначающих числа и действия над ними. Примеры выражений: 7; 5 + 4; 5 · (3 + в ); 40: 5 + 6 и т.п.

Выражения вида 7; 5 + 4; 10: 5 + 6; (5 + 3) · 10 называют числовыми выражениями в отличие от выражений вида 8 – а ; (3 + в ); 50: к , называемых буквенными выражениями или выражениями с переменной.

Задачи изучения темы

2. Познакомить учащихся с правилами порядка выполнения действий над числами и в соответствии с ними выработать умение находить числовые значения выражений.

3. Познакомить учащихся с тождественными преобразованиями выражений на основе арифметических действий.

В методике ознакомления младших школьников с понятием числового выражения можно выделить три этапа, предусматривающие ознакомление с выражениями, содержащими:

Одно арифметическое действие (I этап);

Два и более арифметических действий одной ступени (II этап);

Два и более арифметических действий разных ступеней (III этап).

С простейшими выражениями – суммой и разностью – учащихся знакомят в I классе (при изучении сложения и вычитания в пределах 10); с произведением и частным двух чисел – во II классе.

Уже при изучении темы «Десяток» в словарь учащихся вводятся названия арифметических действий, термины «слагаемое», «сумма», «уменьшаемое», «вычитаемое», «разность». Помимо терминологии, они должны также усвоить и некоторые элементы математической символики, в частности знаки действий (плюс, минус); они должны научиться читать и записывать простейшие математические выражения вида 5 + 4 (сумма чисел «пять» и «четыре»); 7 – 2 (разность чисел «семь» и «два»).



Сначала учащиеся знакомятся с термином «сумма» в значении числа, являющегося результатом действия сложения, а затем в значении выражения. Прием вычитания вида 10 – 7, 9 – 6 и т.п. основан на знании связи между сложением и вычитанием. Поэтому необходимо научить детей представлять число (уменьшаемое) в виде суммы двух слагаемых (10 – это сумма чисел 7 и 3; 9 – это сумма чисел 6 и 3).

С выражениями, содержащими два и более арифметических действий, дети знакомятся на первом году обучения при усвоении вычислительных приемов ± 2, ± 3, ± 1. они решают примеры вида 3 + 1 + 1, 6 – 1 – 1, 2 + 2 + 2 и др. Вычисляя, например, значение первого выражения, ученик поясняет: «К трем прибавить один, получится четыре, к четырем прибавить один, получится пять». Аналогичным образом поясняется решение примеров вида 6 – 1 – 1 и др. Тем самым первоклассники постепенно готовятся к выводу правила о порядке выполнения действий в выражениях, содержащих действия одной ступени, которое обобщается во II классе.

В I классе дети практически овладеют и другим правилом порядка выполнения действий, а именно выполнения действий в выражениях вида 8 – (4 + 2); (6 - 2) + 3 и др.

Обобщаются знания учащихся о правилах порядка выполнения действий и вводится еще одно правило о порядке выполнения действий в выражениях, не имеющих скобок и содержащих арифметические действия разных ступеней: сложение, вычитание, умножение и деление.

При ознакомлении с новым правилом о порядке выполнения действий работу можно организовать по-разному. Можно предложить детям прочитать правило по учебнику и применить его при вычислении значений соответствующих выражений. Можно также предложить учащимся вычислить, например, значение выражения 40 – 10: 2. ответы могут получиться разными: у одних значение выражения окажется равным 15 у других 35.

После этого учитель поясняет: «Чтобы найти значение выражения, не имеющего скобок и содержащего действия сложения, вычитания, умножения и деления, надо выполнить по порядку (слева направо) сначала действия умножения и деления, а затем (также слева направо) сложения и вычитания. В данном выражении надо сначала 10 разделить на 2, а затем из 40 вычесть полученный результат 5. значение выражения равно 35».

Учащиеся начальных классов фактически знакомятся с тождественными преобразованиями выражений.

Тождественное преобразование выражений – это замена данного выражения другим, значение которого равно значению заданного (термин и определение учащимся начальных классов не даются).

С преобразованием выражений учащиеся встречаются с 1 класса в связи с изучением свойств арифметических действий. Например, при решении примеров вида 10 + (50 + 3) удобным способом дети рассуждают так: «Удобнее десятки сложить с десятками и к полученному результату 60 прибавить 3 единицы. Запишу: 10 (50 + 3) = (10 + 50) + 3 = 63».

Выполняя задание, в котором надо закончить запись: (10 + 7) · 3 = 10 · 3 + 7 · 3 …, дети объясняют: «Слева сумму чисел 10 и 7 умножают на число 3, справа первое слагаемое 10 этой суммы умножили на число 3; чтобы сохранился знак «равно», надо второе слагаемое 7 также умножить на число 3 и полученные произведения сложить. Запишу так: (10 + 7) · 3 = 10 · 3 + 7 · 3».

При преобразовании выражений учащиеся иногда допускают ошибки вида (10 + 4) · 3 =- 10 · 3 + 4. причина подобного рода ошибок связана с неправильным использованием ранее усвоенных знаний (в данном случае с использованием правила прибавления к сумме числа при решении примера, в котором сумму надо умножить на число). Для предупреждения таких ошибок можно предложить учащимся следующие задания:

а) Сравни выражения, записанные в левой части равенств. Чем они похожи, чем отличаются? Объясни, как вычислили их значения:

(10 + 4) + 3 = 10 + (4 + 3) = 10 + 7 = 17

(10 + 4) · 3 = 10 · 3 + 4 · 3 = 30 + 12 = 42

б) Заполни пропуски и найди результат:

(20 + 3) + 5 = 20 + (3 + ð); (20 + 3) · 5 = 20 · ð + 3 · ð.

в) Сравни выражения и поставь между ними знак >,< или =:

(30 + 4) + 2 … 30 + (4 + 2); (30 + 4) + 2 … 30 · 2 + 4 · 2.

г) Проверь вычислением, верны ли следующие равенства:

8 · 3 + 7 · 3 = (8 + 7) · 3; 30 + (5 + 7) = 30 + 7.

Буквенные выражения

В начальных классах предусматривается проведение – в тесной связи с изучением нумерации и арифметических действий – подготовительной работы по раскрытию смысла переменной. С этой целью в учебники математики включаются упражнения, в которых переменная обозначается «окошком». Например, ð < 3, 6 < ð, ð + 2 = 5 и др.

Здесь важно побуждать учащихся к тому, чтобы они стремились подставить в «окошко» не одно, а поочередно несколько чисел, проверяя каждый раз, верная ли получатся запись.

Так, в случае ð < 3 в «окошко» можно подставить числа 0, 1, 2,; в случае 6 < ð - числа 7, 8, 9, 10, 20 и др.; в случае ð + 2 = 5 можно подставить только число 3.

В целях упрощения программы по математике для начальных классов и обеспечения ее доступности буквенная символика как средство обобщения арифметических знаний не используется. Все буквенные обозначения заменяются словесными формулировками.

Например, вместо задания

Предлагается задание в такой форме: «Увеличь число 3 в 4 раза; в 5 раз; в 6 раз; …».

Равенства и неравенства

Ознакомление учащихся начальных классов с равенствами и неравенствами связано с решением следующих задач:

Научить устанавливать отношение «больше», «меньше» или «равно» между выражениями и записывать результаты сравнения с помощью знака;

Методика формирования у младших школьников представлений о числовых равенствах и неравенствах предусматривает следующую этапность работы.

На I этапе, в первую очередь учебную неделю, первоклассники выполняют упражнения на сравнение совокупностей предметов. Здесь целесообразнее всего использовать прием установления взаимно однозначного соответствия. На этом этапе результаты сравнения еще не записываются с помощью соответствующих знаков отношения.

На II этапе учащиеся выполняют сравнение чисел, сначала опираясь на предметную наглядность, а затем на то свойство чисел натурального ряда, в соответствии с которым из двух различных чисел то число больше, которое при счете называют позже, и то число меньше, которое называют раньше. Установленные таким образом отношения дети записывают с помощью соответствующих знаков. Например, 3 > 2, 2 < 3. В дальнейшем при изучении нумерации (в концентрах «Сотня», «Тысяча», «Многозначные числа») для сравнения чисел полезно применять два способа, а именно устанавливать отношения между числами: 1) по месту их расположения в натуральном ряду; 2) на основе сравнения соответствующих разрядных чисел, начиная с высших разрядов. Например, 826 < 829, так как сотен и десятков в этих числах поровну, а единиц в первом числе меньше, чем во втором.

Так же можно сравнивать величины: 4 дм 5 см > 4 дм 3 см, так как дециметров больше, чем во второй. Кроме того, величины можно сначала выразить в единицах одного измерения и уже после этого сравнивать их: 45 см > 43 см.

Подобные упражнения вводятся уже при изучении сложения и вычитания в пределах 10. Их полезно выполнять с опорой на наглядность, например: учащиеся выкладывают на партах слева четыре кружка, а справа четыре треугольника. Выясняется, что фигур поровну – по четыре. Записывают равенство: 4 = 4. затее дети добавляют к фигурам слева один кружок и записывают сумму 4 + 1. Слева фигур больше, чем справа, значит, 4 + 1 > 4.

Используя прием уравнения, учащиеся переходят от неравенства к равенству. Например, на наборное полотно ставят 3 гриба и 4 белочки. Чтобы грибов и белочек было поровну, можно: 1) добавить один гриб (тогда будет 3 гриба и 3 белочки).

На наборном полотне 5 легковых и 5 грузовых машин. Чтобы одних машин было больше, чем других, можно: 1) убрать одну (две, три) машину (легковую или грузовую) или 2) добавить одну (две, три) машину.

Постепенно при сравнении выражений дети переходят от опоры на наглядность к сравнению их значений. Этот способ в начальных классах является основным. При сравнении выражений учащиеся могут также опираться и на знания: а) взаимосвязи между компонентами и результатом арифметического действия: 20 + 5 * 20 + 6 (слева записана сумма чисел 20 и 5, справа – сумма чисел 20 и 6. Первые слагаемые этих сумм одинаковые, второе слагаемое суммы слева меньше, чем второе слагаемое суммы справа, значит, сумма слева меньше, чем сумма справа: 20 + 5 < 20 + 6); б) отношение между результатами и компонентами арифметических действий: 15 + 2 * 15 (слева и справа сначала было поровну – по 15. Затем к 15 прибавили 2, стало больше, чем 15); в) смысла действия умножения: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 * 5 · 3 (слева число 5 взяли слагаемым 5 раз, справа число 5 взяли слагаемым 3 раза, значит, сумма слева будет больше, чем справа: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 > 5 + 5 + 5); г) свойств арифметических действий: (5 + 2) · 3 * 5 · 3 + 2 · 3 (слева сумму чисел 5 и 2 умножают на число 3, справа находят произведения каждого слагаемого на число 3 и складывают их. Значит, вместо звездочки можно поставить знак «равно»: (5 + 2) · 3 = 5 · 3 + 2 · 3).

В этих случаях вычисления значений выражений используются для проверки правильности постановки знака. Для записи неравенств с переменной в начальных классах используется «окошко»: 2 > ð, ð = 5, ð > 3.

Первые упражнения такого вида полезно выполнять с опорой на числовой ряд, обращаясь к которому учащиеся замечают, что число 2 больше единицы и нуля, поэтому в «окошко» (2 > ð) можно подставлять числа 0 и 1 (2 > 0, 2>1).

Аналогично выполняются и другие упражнения с окошком.

Основным способом при рассмотрении неравенств с переменной является способ подбора.

Для облегчения значений переменной в неравенствах предлагается выбирать их из конкретного ряда чисел. Например, можно предложить выписать те из данных чисел ряда 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, при которых верна запись ð - 7 < 5.

При выполнении данного задания ученик может рассуждать так: «Подставим в «окошко» число 7: 7 минус 7 будет 0, 0 меньше 5, значит число 7 подходит. Подставим в «окошко» число 8:8 минус 7 получится 1, 1 меньше 5, значит, число 8 тоже подходит … Подставим в «окошко» число 12: 12 минус 7 получится 5, 5 меньше 5 – неверно, значит число 12 не подходит. Чтобы запись ð - 7 < 5 была верной, в «окошко» можно подставить любое из чисел 7, 8, 9, 10, 11».

Уравнения

В конце 3 класса дети знакомятся с простейшими уравнениями вида: х +8 =15; 5+х =12; х –9 =4; 13–х =6; х ·7 =42; 4·х =12; х :8 =7; 72:х =12.

Ребенок должен уметь решать уравнения двумя способами:

1) способом подбора (в простейших случаях); 2) способом, основанным на применении правил нахождения неизвестных компонентов арифметических действий. Приведем пример записи решения уравнения вместе с проверкой и рассуждений ребенка при его решении:

х – 9 = 4 х = 4 + 9 х = 13
13 – 9 = 4 4 = 4

«В уравнении х – 9 = 4 икс стоит на месте уменьшаемого. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое (х =4+9.) Проверим: из 13 вычтем 9, получим 4. получилось верное равенство 4 = 4, значит уравнение решено правильно».

В 4 классе ребенка можно познакомить с решением простых задач способом составления уравнения.

«Изучение алгебраического материала в начальной школе»

Выполнила учитель высшей категории Аверьякова Н.Н.

Введение.

Глава 1. Общетеоретические аспекты изучения алгебраического материала в начальной школе.

1.1.Опыт введения элементов алгебры в начальной школе.

1.2. Психологические основы введения алгебраических понятий в начальной школе.

1.3. Проблема происхождения алгебраических понятий и её значение для построения учебного предмета.

2.1. Обучение в начальной школе с точки зрения потребностей средней школы.

2.2. Сравнение (противопоставление) понятий на уроках математики.

2.3. Совместное изучение сложения и вычитания, умножения и деления.

Глава 3. Исследовательская работа по изучению алгебраического материала на уроках математики в начальных классах школы №72.

3.1. Обоснование использования инновационных технологий (технология УДЕ).

3.2. Об опыте ознакомления с алгебраическими понятиями.

3.3.Диагностика результатов обучения математике.

Заключение.

Библиографический список.

Введение

В любой современной системе общего образования математика занимает одно из центральных мест, что несомненно говорит об уникальности этой области знаний.

Что представляет собой современная математика? Зачем она нужна? Эти и подобные вопросы часто задают учителям дети. И каждый раз ответ будет разным в зависимости от уровня развития ребёнка и его образовательных потребностей.

Часто говорят, что математика – это язык современной науки. Однако, представляется что это высказывание имеет существенный дефект. Язык математики распространен так широко и так часто оказывается эффективным именно потому, что математика к нему не сводится.

Выдающийся отечественный математик А.Н.Колмогоров писал: «Математика не просто один из языков. Математика – это язык плюс рассуждения, это как бы язык и логика вместе. Математика – орудие для размышления. В ней сконцентрированы результаты точного мышления многих людей. При помощи математики можно связать одно рассуждение с другим…Очевидные сложности природы с её странными законами и правилами, каждое из которых допускает очень подробное отдельное объяснение, на самом деле тесно связаны. Однако, если вы не желаете пользоваться математикой, то в этом огромном многообразии фактов вы не увидите, что логика позволяет переходить от одного к другому.»(с.44 –(12))

Таким образом, математика позволяет сформировать определённые формы мышления, необходимые для изучения окружающего нас мира.

Наша система образования устроена так, что для многих школа даёт единственную возможность приобщиться к математической культуре, овладеть ценностями, заключенными в математике.

Каково же влияние математики вообще и школьной математики в частности на воспитание творческой личности? Обучение на уроках математики искусству решать задачи доставляет нам исключительно благоприятную возможность для формирования у учащихся определенного склада ума. Необходимость исследовательской деятельности развивает интерес к закономерностям, учит видеть красоту и гармонию человеческой мысли. Все это является важнейшим элементом общей культуры. Важное влияние оказывает курс математики на формирование различных форм мышления: логического, пространственно-геометрического, алгоритмического. Любой творческий процесс начинается с формулировки гипотезы. Математика при соответствующей организации обучения, будучи хорошей школой построения и проверки гипотез, учит сравнивать различные гипотезы, находить оптимальный вариант, ставить новые задачи, искать пути их решения. Максимально раскрывая возможности человеческого мышления, математика является высшим достижением.

Курс математики(без геометрии) фактически разбит на 3 основные части: на арифметику (1-5классы), алгебру (6-классы), элементы анализа (9-11классы). Каждая эта часть имеет свою особую «технологию». Так, в арифметике она связана, например, с вычислениями, производимыми над многозначными числами, в алгебре- с тождественными преобразованиями, логарифмированием, в анализе- с дифференцированием. Но каковы более глубокие основания, связанные с понятийным содержанием каждой части? Следующий вопрос касается оснований для различения школьной арифметики и алгебры. В арифметику включают изучение натуральных чисел(целых положительных) и дробей (простых и десятичных). Однако специальный анализ показывает, что соединение этих видов чисел в одном школьном предмете неправомерно. Дело в том, что эти числа имеют разные функции: первые связаны со счётом предметов, вторые- с измерением величин. С точки зрения измерения величин, как отмечал А.Н.Колмогоров, «нет столь глубокого различия между рациональными и иррациональными действительными числами. Из педагогических соображений надо задерживаться на рациональных числах, так как их легко записать в форме дробей, однако то употребление, которое им с самого начала придается, должно было бы сразу привести к действительным числам во всей их общности»(12-с.9). Таким образом, есть реальная возможность на базе натуральных (целых) чисел формировать сразу «самое общее понятие числа»(по терминологии А.Лебега), понятие действительного числа. Но со стороны построения программы это означает не более не менее, как ликвидацию арифметики дробей в её школьной интерпретации. Переход от целых чисел к действительным- это переход от арифметики к алгебре, к созданию фундамента для анализа. Эти идеи, высказанные более 30лет назад, актуальны и сегодня. Возможно ли изменение структуры обучения математики в начальной школе в данном направлении? Каковы достоинства и недостатки алгебраизации начального обучения математики? Цель данной работы- попытаться ответить на поставленные вопросы.

Реализация поставленной цели требует решения следующих задач:

Рассмотрение общетеоретических аспектов введения в начальной школе алгебраических понятий величины и числа;

Изучение конкретной методики обучения этим понятиям в начальной школе;

Показать практическую применимость рассматриваемых положений в начальной школе на уроках математики в СОУ СОШ №72 учителем Аверьяковой Н.Н.

ГЛАВА 1. ОБЩЕТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ.

  1. ОПЫТ ВВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ АЛГЕБРЫ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ.

Содержание учебного предмета зависит от многих факторов - от требований жизни к знаниям учащихся, от уровня соответствующих наук, от психических и физических возрастных возможностей детей. Правильный учёт этих факторов является существенным условием наиболее эффективного обучения школьников, расширения их познавательных возможностей. Но иногда это условие по ряду причин не соблюдается. Представляется, что в настоящее время программы преподавания некоторых учебных предметов, в т.ч. математики, не соответствуют новым требованиям жизни, уровню современных наук и новым данным возрастной психологии и логики. Это обстоятельство диктует необходимость теоретической и экспериментальной проверки возможных проектов нового содержания учебных предметов. Фундамент математических навыков закладывается в начальной школе. Но, к сожалению, как сами математики, так и методисты и психологи уделяют весьма малое внимание именно содержанию начальной математики. Достаточно сказать, что программа по математике в начальной школе(1-4) в основных своих чертах сложилась еще 50-60 лет назад и отражает, естественно, систему математических, методических и психологических представлений того времени.

Рассмотрим характерные особенности государственного стандарта по математике. Основным её содержанием являются целые числа и действия над ними, изучаемые в определённой последовательности. Наряду с этим программа предполагает изучение метрических мер и мер времени, овладение умением пользоваться ими для измерения, знание некоторых элементов наглядной геометрии - вычерчивание прямоугольника,квадрата, измерение отрезков, площадей, вычисление объемов. Полученные знания и навыки ученики должны применять к решению задач и выполнению простейших расчетов. На протяжении всего курса решение задач проводится параллельно изучению чисел и действий - для этого отводится половина соответствующего времени. Решение задач помогает учащимся понять конкретный смысл действия, уяснить различные случаи их применения, установить зависимость между величинами, получить элементарные навыки анализа и синтеза. С 1 по 4 класс дети решают следующие основные типы задач(простых и составных): на нахождение суммы и остатка, произведения и частного, на увеличение и уменьшение данных чисел, на разностное и кратное сравнение, на простое тройное правило, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестного по двум разностям и другие виды задач. С разными типами зависимостей величин дети сталкиваются при решении задач. Но весьма характерно- ученики приступают к задачам после и по мере изучения чисел; главное, что требуется при решении- это найти числовой ответ. Дети с большим трудом выявляют свойства количественных отношений в конкретных, частных ситуациях, которые принято считать арифметическими задачами. Практика показывает, что манипулирование числами часто заменяет действительный анализ условий задачи с точки зрения зависимостей реальных величин. Задачи, вводимые в учебники, не представляют к тому же системы, в которых более «сложные» ситуации были бы связаны с более «глубокими» пластами количественных отношений. Задачи одной и той же трудности можно встретить и в начале, и в конце учебника. Они меняются от раздела к разделу и от класса к классу по запутанности сюжета(возрастает число действий) , по рангу чисел(от десяти до миллиарда), по сложности физических зависимостей(от задач на распределение до задач на движение) и по другим параметрам. Только один параметр –углубление в систему собственно математических закономерностей -в них проявляется слабо, неотчетливо. Поэтому очень сложно установить критерий математической трудности той или иной задачи. Почему задачи на нахождение неизвестного по двум разностям и на выяснение среднего арифметического труднее задач на разностное и кратное сравнение? Методика не даёт ответа на данный вопрос.

Таким образом, учащиеся начальных классов не получают адекватных, полноценных знаний о зависимостях величин и общих свойствах количества ни при изучении элементов теории чисел, ибо они в школьном курсе связаны по преимуществу с техникой вычислений, ни при решении задач, ибо последние не обладают соответствующей формой и не имеют требуемой системы. Попытки методистов усовершенствовать приёмы преподавания хотя и приводят к частным успехам, однако не меняют общего положения дела, так как они заранее ограничены рамками принятого содержания.

Представляется, что в основе критического анализа принятой программы по арифметике должны лежать следующие положения:

Понятие числа не тождественно понятию о количественной характеристике объектов;

Число не является исходной формой выражения количественных отношений.

Приведём обоснование этих положений. Общеизвестно, что современная математика(в частности, алгебра) изучает такие моменты количественных отношений, которые не имеют числовой оболочки. Также хорошо известно, что некоторые количественные отношения вполне выразимы без чисел и до чисел, например, в отрезках, объёмах и т.д.(отношение «больше», «меньше», «равно»). Изложение исходных математических понятий в современных руководствах осуществляется в такой символике, которая не предполагает обязательного выражения объектов числами. Так, в книге Е.Г.Гонина «Теоретическая арифметика» основные математические объекты с самого начала обозначаются буквами и особыми знаками. Характерно, что те или иные виды чисел и числовые зависимости приводятся лишь как примеры, иллюстрации свойств множеств, а не как их единственно возможная и единственно существующая фора выражения. Примечательно, что многие иллюстрации отдельных математических определений даются в графической форме, через соотношение отрезков, площадей. Все основные свойства множеств и величин можно вывести и обосновать без привлечения числовых систем; более того последние сами получают обоснование на основе общематематических понятий.

В свою очередь многочисленные наблюдения психологов и педагогов показывают, что количественные представления возникают у детей задолго до появления у них знаний о числах и приёмах оперирования ими. Правда, есть тенденция относить эти представления к категории «доматематических образований» (что вполне естественно для традиционных методик, отождествляющих количественную характеристику объекта с числом), однако это не меняет существенной функции в общей ориентировке ребёнка в свойствах вещей. И порой случается, что глубина этих якобы «доматематических образований» более существенна для развития собственно математического мышления ребёнка, чем тонкостей вычислительной техники и умение находить чисто числовые зависимости. Примечательно, что академик А.Н.Колмогоров, характеризуя особенности математического творчества, специально отмечает следующее обстоятельство: «В основе большинства математических открытий лежит какая-либо простая идея: наглядное геометрическое построение, новое элементарное неравенство и т.п. Нужно только применить надлежащим образом эту простую идею к решению задачи, которая с первого взгляда кажется недоступной(12-с.17).

В настоящее время целесообразны самые различные идеи относительно структуры и способов построения новой программы. К работе по её конструированию необходимо привлечь математиков, психологов, логиков, методистов. Но во всех конкретных вариантах она, как представляется, должна удовлетворять следующим требованиям:

Преодолевать существующий разрыв между содержанием математики в начальной и средней школе;

Давать систему знаний об основных закономерностях количественных отношений объективного мира; при этом свойства чисел как особой формы выражения количества, должны стать специальным, но не основным разделом программы;

Прививать детям приёмы математического мышления, а не только навыки вычислений: это предполагает построение такой системы задач, в основе которой лежит углубление в сферу зависимостей реальных величин (связь математики с физикой, химией, биологией и другими науками, изучающими конкретные величины);

Решительно упрощать всю технику вычисления, сводя до минимума ту работу, которую нельзя выполнить без соответствующих таблиц, справочников, других подсобных средств.

Смысл этих требований ясен: в начальной школе возможно преподавать математику как науку о закономерностях количественных отношений, о зависимостях величин; техника вычислений и элементы теории чисел должны стать особым и частным разделом программы. Опыт конструирования новой программы по математике и её экспериментальная проверка, проводимая с конца 1960 года, позволяют уже в настоящее время говорить о возможности введения в школу, начиная с 1 класса систематического курса математики, дающего знания о количественных отношениях и зависимостях величин в алгебраической форме.

1.2.ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОАВ ВВЕДЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ.

В последнее время при модернизации программ особое значение придают подведению теоретико-множественного фундамента под школьный курс (эта тенденция проявляется и у нас, и за рубежом). Реализация этой тенденции в преподавании (особенно в начальных классах, как это наблюдается, например, в американской школе неизбежно поставит ряд трудных вопросов перед детской и педагогической психологий и перед дидактикой, ибо сейчас почти нет исследований, раскрывающих особенности усвоения ребенком смысла множества (в отличие от усвоения счета и числа, которое исследовалось весьма многосторонне).

Логические и психологические исследования последних лет (в особенности работы Ж.Пиаже) вскрыли связь некоторых механизмов детского мышления с общематематическими понятиями. Ниже специально рассматриваются особенности этой связи и их значение для построения математики как учебного предмета (при этом речь идет о теоретической стороне дела, а не о каком-либо частном варианте программы).

Натуральное число является фундаментальным понятием математики на протяжении её истории; весьма существенную роль оно играет во всех областях производства, техники, повседневной жизни. Это позволяет математикам- теоретикам отводить ему особое место среди других понятий математики. В разной форме высказываются положения о том, что понятие натурального числа - исходная ступень математической абстракции, что оно является основой для построения большинства математических дисциплин.

Выбор начальных элементов математики как учебного предмета по существу реализует эти общие положения. При этом предполагается, что знакомясь с числом, ребёнок одновременно раскрывает для себя исходные особенности количественных отношений. Счёт и число- основа всего последующего усвоения математики в школе.

Однако есть основания полагать, что эти положения, справедливо выделяя особое и фундаментальное значение числа, вместе с тем неадекватно выражают его связь с другими математическими понятиями, неточно оценивают место и роль числа в процессе усвоения математики. Из-за этого обстоятельства, в частности проистекают некоторые существенные недостатки принятых программ, методик и учебников по математике. Необходимо специально рассмотреть действительную связь понятия о числе с другими понятиями.

Многие общематематические понятия, и в частности понятия соотношения эквивалентности и порядка, систематически рассматриваются в математике независимо от числовой формы. Эти понятия не теряют своего независимого характера на их основе можно описывать и изучать частный предмет - разнее числовые системы, понятия, о которых сами по себе не покрывают смысла и значения исходных определений. Причём в истории математической науки общие понятия развивались именно в той мере, в какой «алгебраические операции», известный пример которых доставляют четыре действия арифметики, стали применяться к элементам совершенно не «числового» характера.

В последнее время делаются попытки развернуть в преподавании этап введения ребёнка в математику. Эта тенденция находит своё выражение в методических руководствах, а также в некоторых экспериментальных учебниках. Так в одном американском учебнике, предназначенном для обучения детей 6-7лет, на первых страницах вводятся задания и упражнения, специально тренирующие детей в установлении тождественности предметных групп. Детям показывается приём соединения множеств,- при этом вводится соответствующая математическая символика. Работа с числами опирается на элементарные сведения о множествах. Можно по-разному оценивать содержание конкретных попыток реализации этой тенденции, но сама она вполне правомерна и перспективна.

На первый взгляд понятия «отношение», «структура», «законы композиции» и другие имеющиеся сложные математические определения, не могут быть связаны с формированием математических представлений у маленьких детей. Конечно, весь подлинный и отвлечённый смысл этих понятий и их место в аксиоматическом построении математики как науки есть объект усвоения уже хорошо развитой и «натренированной» в математике головы. Однако некоторые свойства вещей, фиксируемые этими понятиями, так или иначе проступают для ребёнка уже сравнительно рано: на это имеются конкретные психологические данные.

Прежде всего следует иметь в виду, что от момента рождения до 7-10 лет у ребёнка возникают и формируются сложнейшие системы общих представлений об окружающем мире и закладывается фундамент содержательно- предметного мышления. Причём на сравнительно узком эмпирическом материале дети выделяют общие схемы ориентации в пространственно- временных и причинно- следственных зависимостях вещей. Эти схемы служат своеобразным каркасом той «системы координат», внутри которой ребёнок начинает всё глубже овладевать разными свойствами многообразного мира. Конечно, эти общие схемы мало осознаны, и в малой степени могут быть выражены самим ребёнком в форме отвлечённого суждения. Они, говоря образно, являются интуитивной формой организации поведения ребёнка (хотя, конечно, всё более и более отображаются и в суждениях).

В последние десятилетия особенно интенсивно вопросы формирования интеллекта детей и возникновения у них общих представлений о действительности, времени и пространстве изучались известным швейцарским психологом Ж.Пиаже и его сотрудниками. Некоторые его работы имеют прямое отношение к проблемам развития математического мышления ребёнка, и поэтому нам важно рассмотреть их применительно к вопросам конструирования учебной программы.

В одной из своих последних книг(17) Ж.Пиаже приводит экспериментальные данные о генезисе и формировании у детей (до 12-14лет) таких элементарных логических структур, как классификация и сериация. Классификация предполагает выполнение операции включения (например А+А1=В) и операции, ей обратной (В- А1=А). сериация- это упорядочение предметов в систематические ряды (так, палочки разной длины можно расположить в ряд, каждый член которого больше всех предыдущих и меньше всех последующих).

Анализируя становление классификации, Ж.Пиаже показывает, как от исходной формы, от создания «фигурной совокупности», основанной лишь на пространственной близости объектов, дети переходят к классификации, основанной уже на отношении сходства («нефигурные совокупности»), а затем к самой сложной форме- к включению классов, обусловленному связью между объёмом и содержанием понятия. Автор специально рассматривает вопрос о формировании классификации не только по одному, но и по двум- трём признакам, о формировании у детей умения изменять основание классификации при добавлении новых элементов.

Эти исследования преследовали вполне определённую цель- выявить закономерности формирования операторных структур ума и прежде всего такого их конституирующего свойства как обратимость, т.е. способность ума двигаться в прямом и обратном направлении. Обратимость имеет место тогда, когда «операции и действия могут развертываться в двух направлениях, и понимание одного из этих направлений вызывает ipso facto (в силу самого факта) понимание другого(17-стр.15).

Обратимость, согласно Ж.Пиаже, представляет фундаментальный закон композиции, свойственный уму. Она имеет две взаимодополняющие и несводимые формы: обращение (инверсия или отрицание) и взаимность. Обращение имеет место, например, в том случае, когда пространственное перемещение предмета из А в В можно аннулировать, переводя обратно предмет из В в А, что в итоге эквивалентно нулевому преобразованию (произведение операции на обратную есть тождественная операция, или нулевое преобразование).

Взаимность (или компенсация) предполагает тот случай, когда, например, при перемещении предмета из А в В предмет так и остаётся в В, но ребенок сам перемещается из А в В и воспроизводит начальное положение, когда предмет находился против его тела. Движение предмета здесь не аннулировано, но оно компенсировалось путём соответствующего перемещения собственного тела - и это уже другая форма преобразования, нежели обращение (17-стр.16). Ж.Пиаже считает, что психологическое исследование развития арифметических и геометрических операций в сознании ребёнка (особенно тех логических операций, которые осуществляет в них предварительные условия) позволяет точно соотнести операторные структуры мышления со структурами алгебраическими, структурами порядка и топологическими(17-стр.17). так алгебраическая структура («группа») соответствует операторным механизмам ума, подчиняющимся одной из форм обратимости- инверсии(отрицанию). Группа имеет четыре элементарных свойства: произведению двух элементов группы также даёт элемент группы; прямой операции соответствует одна и только одна обратная; существует операция тождества; последовательные композиции ассоциативны. На языке интеллектуальных действий это означает:

Координация двух систем действия составляет новую схему, присоединяемую к предыдущим;

Операция может развиваться в двух направлениях;

При возвращении к исходной точке мы находим её неизменной;

К одной и той же точке можно прийти разными путями, причём сама точка считается неизменной.

Рассмотрим основные положения, сформулированные Ж.Пиаже, применительно к вопросам построения учебной программы. Прежде всего, исследования Ж.Пиаже показывают, сто в период дошкольного и школьного детства у ребёнка формируются такие операторные структуры мышления, которые позволяют ему оценивать фундаментальные характеристики классов объектов и их положений. Причём уже на стадии конкретных операций (с 7-лет) интеллект ребёнка приобретает свойство обратимости, что исключительно важно для понимания теоретического содержания учебных предметов, в частности математики. Эти данные говорят о том, что традиционная психология и педагогика не учитывали в достаточной мере сложного и ёмкого характера тех стадий умственного развития ребёнка, которые связаны с периодом от 2 до 7 и от 7 до 11лет. Рассмотрение результатов, полученных Пиаже, позволяет сделать ряд существенных выводов применительно к конструированию учебной программы по математике. Прежде всего фактические данные о формировании интеллекта ребёнка с 2х до 11лет говорят о том, что ему в это время не только не «чужды» свойства объектов, описываемые посредством математических понятий «структура- отношение», но они сами органически входят в мышление ребёнка.

Традиционные программы не учитывают этого обстоятельства. Поэтому они не реализуют многих возможностей, таящихся в процессе интеллектуального развития ребенка. К 7- годам у детей уже в достаточной мере развит план мыслительных действий, и путём обучения по соответствующей программе, в которой свойства математических структур даны «явно» и детям даются средства их анализа, можно быстрее подвести детей к уровню «формальных» операций, чем в те сроки, в которые это осуществляется при «самостоятельном» открытии этих свойств. При этом важно учитывать следующее обстоятельство. Есть основания полагать, что особенности мышления на уровне конкретных операций, приуроченном Ж.Пиаже к 7-11годам, сами неразрывно связаны с формами организации обучения, свойственными традиционной начальной школе.

Таким образом, в настоящее время имеются фактические данные, показывающие тесную связь структур детского мышления и общеалгебраических структур. Наличие этой связи открывает принципиальные возможности для построения учебного предмета, развёртывающегося по схеме «от простых структур- к сложным сочетаниям». Указанный способ может быть мощным рычагом формирования у детей такого мышления, которое опирается на достаточно прочный понятийный фундамент.

1.3.ПРОБЛЕМА ПРОИСХОЖДЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ И ЕЁ ЗНАЧЕНИЕ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА.

Разделение школьного курса математики на алгебру и арифметику условное. Переход происходит постепенно. Одним из центральных понятий начального курса является понятие натурального числа. Оно трактуется как количественная характеристика класса эквивалентных множеств. Раскрывается понятие на конкретной основе в результате оперирования множества и измерения величин. Необходимо проанализировать содержание понятия «величина». Правда, с этим термином связывается другой - «измерение». В общем употреблении термин величина связан с понятиями «равно», «больше», «меньше», которые описывают самые различные качества. Множество предметов только тогда претворяется в величину, когда устанавливаются критерии, позволяющие установить относительно любых его элементов А иВ, будет ли А равно В, больше В или меньше В. При этом для любых двух элементов А и В имеет место одно и только одно из соотношений: А=В, А В, А В.

В.Ф.Коган выделяет следующие восемь основных свойств понятий «равно», «больше», «меньше».

1) имеет место по крайней мере одно из соотношений: А=В, А В, А В;

2) если имеет место соотношение А=В, т не имеет места соотношение А В;

3) если имеет место А=В, то не имеет места соотношение А В;

4) если А=В и В=С, то А=С;

5) если А В и В С, то А С;

6) если А С и В С, то А С;

7) равенство есть отношение обратимое: А=В В=А;

8) равенство есть соотношение возвратное: каков бы ни был элемент А рассматриваемого множества, А=А.

«Устанавливая критерии сравнения, мы претворяем множество в величину»,- писал В.Ф.Коган. В практике величиной обычно обозначают как бы не самое множество элементов, а новое понятие, введенное для различения критериев сравнения (наименование величины». Так возникают понятия «объём» , «вес», «длина» и т.д. «При этом для математика величина вполне определена, когда указаны множество элементов и критерии сравнения»,- отмечал В.Ф.Коган.

В качестве важнейшего примера математической величины этот автор рассматривает натуральный ряд чисел. С точки зрения такого критерия сравнения, как положение, занимаемое числами в ряду (занимает одно место, следует за…, предшествует…), этот ряд удовлетворяет постулатам и поэтому представляет собой величину. Работая с величинами(отдельные из значения целесообразно фиксировать буквами), можно производить сложную систему преобразований, устанавливая зависимость их свойств, переходя от равенства к неравенству, выполняя сложение и вычитание. Натуральные и действительные числа одинаково прочно связаны с величинами и некоторыми их существенными особенностями. Нельзя ли эти и другие свойства сделать предметом специального изучения ребёнка ещё до того, как вводится числовая форма описания отношения величин? Они могут послужить предпосылками для последующего развёрнутого введения числа и его разных видов, в частности для пропедевтики дробей, понятий координат, функции и других понятий уже в младших классах. Что может быть содержанием этого начального раздела? Это знакомство с физическими объектами, критериями их сравнения, выделяющими величину как предмет математического рассмотрения, знакомство со способами сравнения и знаковыми средствами фиксации его результатов, с приёмами анализа общих свойств величин. Необходим такой начальный раздел курса, который знакомил бы детей с основными алгебраическими понятиями(до введения числа). Каковы же основные узловые темы такой программы?

Тема 1. Уравнивание и комплектование объектов (по длине, объёму, весу, составу частей и других параметрам).

Тема 2. Сравнение объектов и фиксация его результатов формулой равенства- неравенства.

Задачи на сравнение объектов и знаковое обозначение результатов этого действия;

Словесная фиксация результатов сравнения (термины «больше», «меньше», «равно»).

Письменные знаки

Обозначение результатов сравнения рисунком;

Обозначение сравниваемых объектов буквами.

Тема 3. Свойства равенства и неравенства.

Тема 4. Операция сложения (вычитания).

Тема 5. Переход от неравенства типа А В к равенству через операцию сложения(вычитания).

Тема 6. Сложение- вычитание равенств – неравенств.

При правильном планировании уроков, при усовершенствовании методики преподавания и удачном выборе дидактических пособий этот материал может быть полноценно усвоен за три месяца.

Далее дети знакомятся со способами получения числа, выражающим отношение какого- либо объекта как целого и его части. Есть линия, реализуемая уже в 1 классе - перенесение на числа (целые) основных свойств величины и операции сложения. В частности, работая на числовом луче, дети могут быстро претворить последовательность чисел в величину. Таким образом, обращение с числовым рядом как с величиной позволяет по-новому формировать сами навыки сложения и вычитания, и затем умножения - деления.

2.1. ОБУЧЕНИЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ПОТРЕБНОСТЕЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ.

Как известно, при изучении математики в 5 классе существенная часть времени отводится на повторение того, что дети должны были усвоить в начальной школе. Это повторение практически во всех учебниках занимает полторы учебной четверти. Учителя математики средней школы недовольны подготовкой выпускников начальной школы. В чём же причина такого положения? Для этого были проанализированы наиболее известные сегодня учебники математики начальной школы: это учебники авторов М.И Моро, И.И. Аргинской, Н.Б Истоминой, Л.Г.Петерсон, В.В.Давыдова, Б.П.Гейдмана.

Анализ этих учебников выявил несколько негативных моментов, в большей или меньшей степени присутствующих в каждом из них и отрицательно действующих на дальнейшее обучение. Прежде всего это то, что усвоение материала в них в большей мере основано на заучивании. Ярким примером этого служит заучивание таблицы умножения. В начальной школе её запоминанию уделяется много сил и времени. Но за время летних каникул дети её забывают. Причина такого быстрого забывания в механическом заучивании. Исследования Л.С. Выготского показали, что осмысленное запоминание гораздо эффективно, чем механическое, а проведённые эксперименты убедительно доказывают, что материал попадает в долговременную память только если он запомнен в результате работы, соответствующей этому материалу. При изучении материала в начальной школе опора делается на предметные действия и иллюстративную наглядность, что ведёт к формированию эмпирического мышления. Конечно, без подобной наглядности вряд ли можно совсем обойтись в начальной школею но она должна служить лишь иллюстрацией того или иного факта, а не основой для формирования понятия. Применение иллюстративной наглядности и предметных действий в учебниках нередко приводит к тому, что «размывается» само понятие. Например, в методике математики М.И.Моро говорится, что детям приходится выполнять деление, раскладывая предметы на кучки или делая рисунок на протяжении 30 уроков. За подобными действиями теряется сущность операции деления как действия, обратного умножению в результате деления усваивается с наибольшим трудом и значительно хуже, чем другие арифметические действия.

При обучении математике в начальной школе нигде не идёт речь о доказательстве каких- либо утверждений. Между тем, помня о том, какую трудность будет вызывать обучение доказательству в средней школе, начинать готовить к этому нужно уже в начальных классах. Причём сделать это можно на вполне доступном для младших школьников материале. Таким материалом,например, может служить правило деления числа на 1, нуля на число и числа на само себя. Дети вполне в состоянии доказать их, используя определение деления и соответствующие правила умножения.

Материал начальной школы также допускает и пропедевтику алгебры- работу с буквами и буквенными выражениями. Большинство учебников избегает использования букв. В результате четыре года дети работают практически только с числами, после чего, конечно, очень трудно приучаться к работе с буквами. однако обеспечить пропедевтику такой работы, научить детей подстановке числа вместо буквы в буквенном выражении можно уже в начальной школе. Это замечательно сделано, например, в учебнике Л.Г.Петерсон. С 1 класса буквенная символика вводится наряду с числами, а в некоторых случаях - опережая их. Все правила и выводы сопровождаются буквенным выражением. Например, урок 16 (1класс 2часть) по теме «Нуль» знакомит детей с вычитание нуля из числа и числа из самого себя и делает вывод следующей записью: а -0=а а-а=0

Урок 30 по теме «Задачи на сравнение» 1класс включает в себя работу с упражнениями на сравнение вида: а*а-3 в+4*в+5 с+0* с-0 д-1*д-2

Эти упражнения заставляют ребенка мыслить и искать доказательство выбранного решения.

2.2. СРАВНЕНИЕ (ПРОТИВОПОСТАВЛЕНИЕ) ПОНЯТИЙ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ.

Действующая программа предусматривает изучение в 1классе лишь двух действий первой ступени_ сложения и вычитания. Ограничение первого года обучения лишь двумя действиями есть, по существу, отход от того, что было уже достигнуто в учебниках предшествовавших ныне действующим: ни один учитель никогда не жаловался тогда на то, что умножение и деление, скажем в пределах 20 непосильно для первоклассников. Достойно внимания ещё и то, что в школах других стран, где обучение начинается с 6лет, к первому учебному году относят начальное знакомство со всеми четырьмя действиями математики. Математика опирается прежде всего на четыре действия, и чем раньше они будут включены в практику мышления школьника, тем устойчивее и надежнее будет последующее развертывание курса математики.

В первых вариантах учебника М.И Моро для 1 класса предусматривалось умножение и деление. Однако авторы настойчиво держались за одну «новинку»- охват в 1классе всех случаев сложения и вычитания в пределах 100. Но, поскольку времени на изучение такого расширенного объема сведений не хватило, было решено сдвинуть умножение и деление полностью на следующий год обучения. Итак, увлечение линейностью программы, т.е. чисто количественным расширением знанием (те же самые действия, но с большими числами), заняло то время, которое ранее отводилось на качественное углубление знаний (изучение всех четырех действий в пределах двух десятков). Изучение умножения и деления уже в 1классе означает качественный скачок мышления, поскольку это позволяет освоить свёрнутые мыслительные процессы.

По традиции, раньше выделялось в особую тему изучение действий сложения и вычитания в пределах 20. Необходимость этого подхода в систематизации знаний видна даже из логического анализа вопроса: дело в том, что полная таблица сложения однозначных чисел развёртывается в пределах двух десятков (0+1=1… 9+9=18). Таким образом, числа в пределах 20 образуют в своих внутренних связях завершённую систему отношений; отсюда понятно целесообразность сохранения «20» в виде второй целостной темы (первая такая тема- действия в пределах первого десятка). Обсуждаемый случай- именно тот, когда концентричность (сохранение второго десятка в качестве особой темы) оказывается более выгодной, чем линейность (растворение второго десятка в теме «Сотня»).

В учебнике М.И Моро изучение первого десятка разделено на два изолированных раздела: сначала изучается состав чисел первого десятка, а в следующей теме рассматриваются действия в пределах десяти. Существуют экспериментальные учебники, где совместное изучение нумерации состава чисел и действий осуществляется в пределах 10 сразу в одном разделе (Эрдниев П.М.).

На первых занятиях учитель должен поставить перед собой цель научить школьника применять пары понятий, содержание которых раскрывается в процессе составления соответствующих предложений с этими словами: больше- меньше, длиннее- короче, выше- ниже, тяжелее- легче, толще- тоньше, правее- левее, дальше- ближе и т.д. При работе над парами понятий важно использовать и наблюдения детей. Обучение процессу сравнения можно сделать более интересным, вводя так называемые табличные упражнения. Здесь разъясняется смысл понятий «столбец» , «строка». Вводится понятие левый столбец и правый столбец, верхняя строка и нижняя строка. Вместе с детьми показываем смысловое толкование этих понятий. Подобные упражнения постепенно приучают детей к пространственной ориентировке и имеют важное значение при изучении в последствии координатного метода математики. Большое значение для первых уроков имеет работа над числовым рядом. Рост числового ряда прибавлением по единице удобно иллюстрировать перемещением вправо по числовому лучу. Если знак (+) связывается с перемещением по числовому лучу вправо на единицу, то знак (-) связывается с обратным перемещением влево на единицу. (Поэтому оба знака показываем одновременно на одном уроке). Работая над числовым рядом, вводим понятия: начало числового ряда(число нуль) представляет левый конец луча; числу 1 соответствует единичный отрезок, который надо изобразить отдельно от числового ряда. Дети работают в пределах трех с числовым лучом. Выделяем два соседних числа 2 и 3. Переходя от числа 2 к числу 3, дети рассуждают так: «За числом 2 следует число 3». Переходя от числа 3 к числу 2, они говорят: «Перед числом 3 идёт число 2» или «Число 2 предшествует числу 3». Такой метод позволяет определить место данного числа по отношению как к предыдущему, так и к последующему числу; уместно тут же обратить внимание на относительность положения числа, например, число 3 одновременно является как последующим(за числом 2), так и предыдущим (перед числом 4). Указанные переходы по числовому ряду надо связать с соответствующими арифметическими действиями. Например, фраза «За число 2 следует число3» изображается символически так: 2+1=3; однако психологически выгодно создать противоположную связь: «Перед числом 3 идёт число 2» и запись: 3-1=2. Чтобы добиться понимания места какого- либо числа в числовом ряду, следует предлагать парные вопросы:

1)За каким числом следует число 3? Перед каким числом расположено число 2?

2)какое число следует за числом 2? Какое число идёт перед числом 3? И т.д.

Работу с числовым рядом удобно сочетать со сравнением чисел по величине, а также со сравнением положения чисел на числовой прямой. Постепенно вырабатываются связи суждений геометрического характера: число4 находится на числовой прямой правее числа 3; значит 4 больше 3. И наоборот: число 3 находится левее числа 4, значит число 3 меньше числа 4. Так устанавливается связь между парами понятий: правее- больше, левее- меньше.

Из выше изложенного мы видим черту укрупненного усвоения знаний: весь набор понятий, связанных со сложением и вычитанием, предлагается совместно, в непрерывных переходах друг в друга. Опыт обучения показывает преимущества одновременного введения пар взаимно противоположных понятий, начиная с самых первых уроков. Так,например, одновременное употребление трех глаголов: «прибавить (к 2 прибавить 1), «сложить» (число 2 сложить с числом 1), которые изображаются символически одинаково (2+1=3), помогает детям усвоить сходство, близость этих слов по смыслу(подобные рассуждения можно произвести относительно слов «отнять», «вычесть», «уменьшить».

Многолетние испытания показали преимущества монографического изучения чисел первого десятка. Каждое очередное число при этом подвергается многостороннему анализу, с перебором всех возможных вариантов его образования; в пределах этого числа выполняются все возможные действия, повторяется «вся математика», используются все допустимые грамматические формы выражения зависимости между числами. Разумеется, при этой системе изучения в связи с охватом последующих чисел повторяются ранее изученные примеры, т.е. расширение числового ряда осуществляется с постоянным повторением ранее рассмотренных сочетаний чисел и разновидностей простых задач.

2.3. СОВМЕСТНОЕ ИЗУЧЕНИЕ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ, УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ.

В методике начальной математики упражнения на эти две операции обычно рассматриваются раздельно. Но одновременное изучение двуединой операции «сложение- разложение на слагаемые» является более предпочтительным. Такую работу можно построить следующим образом. Пусть дети решили задачу на сложение: «К 3палочкам прибавить 1палочку- получится 4палочки». Вслед за ней сразу же ставим вопрос: «Из каких чисел состоит число 4?» 4палочки состоят из 3 палочек (ребёнок отсчитывает 3палочки) и 1палочки (отделяет ещё 1палочку). Исходным упражнением может быть и разложение числа. Учитель задает вопрос: «Из каких чисел состоит число 5?»(число 5 состоит из 3 и 2). И тотчас же предлагается вопрос про те же числа: «Сколько получится, если к 3 прибавить 2?»(к 3 прибавить 2 получится 5). Для этой же цели полезно практиковать чтение примеров в двух направлениях: 5+2=7. К пяти прибавить два получится семь. (читаем слева направо).7 состоит из слагаемых 2 и 5.(читаем справа налево). Словесное противопоставление полезно сопровождать такими упражнениями на классных счётах, которые позволяют видеть конкретное содержание соответствующих операций. Вычисление на счётах незаменимы как средство визуализации действий над числами, причём величина числа в пределах 10 здесь ассоциируется с длиной совокупности косточек на одной проволоке(эта длина воспринимается учеником зрительно. Так при решении примера на сложение (5+2=7) ученик сначала отсчитывал на счётах 5 косточек, затем к ним присчитывал 2 и после этого объявлял сумму: «К 5 прибавить 2- получится 7» (название полученного числа 7 при этом ученик устанавливает путём пересчёта новой совокупности: 1-2-3-4-5-6-7).

Ученик: К 5 прибавить 2 -получится 7.

Учитель: Покажи, из каких слагаемых состоит число 7?

Ученик отделяет 2 косточки вправо. Число 7- это 2 и 5. Выполняя данные упражнения, целесообразно употреблять с самого начала понятие «первое слагаемое» (5), «второе слагаемое» (2), «сумма» (7). Предлагаются задания следующих видов:

а) сумма двух слагаемых равна 7, найди их;

в) из каких слагаемых состоит число 7;

в) разложите сумму 7 на 2 слагаемых, 3, и т.п.

Усвоение такого важного алгебраического понятия, как переместительный закон сложения, требует разнообразных упражнений, основанных вначале на практических манипуляциях с предметами.

Учитель: Возьмите в левую руку 3 палочки, а в правую- 2. Сколько всего палочек?

Ученик: Всего стало 5 палочек.

Учитель: Как подробнее сказать об этом?

Ученик: К 2 палочкам прибавить 2 – будет 5 палочек.

Учитель: Составьте этот пример из разрезных цифр. (ученик составляет пример из цифр).

Учитель: А теперь поменяйте местами палочки: из левой переложите в правую, а из правой- в левую. Сколько теперь палочек в двух руках вместе?

Ученик: Всего в двух руках было 5, и сейчас получилось снова 5.

Учитель: Почему так получилось?

Ученик: Потому что мы никуда не откладывали и не добавляли палочки. Сколько было, столько и осталось.

Переместительный закон усваивается также в упражнениях на разложение числа на слагаемые. Когда вводить переместительный закон? Главная цель обучения сложению- уже в пределах первого десятка- постоянно подчёркивать роль переместительного закона в упражнениях. Пусть дети отсчитывают 6 палочек, затем к ним прибавляют 3 палочки и пересчётом(семь- восемь- девять) устанавливают сумму: 6 да 3 будет 9. Предлагаем сразу новый пример: 3+6: новую сумму можно установить путем пересчета, но постепенно и целенаправленно следует формировать способ решения на высшем коде, т.е. логически, без пересчёта. Если 6 да 3 будет 9 (ответ пересчитан), то 3 да 6 (без пересчёта) будет 9.

Л.Г.Петерсон вводит такой способ уже на 13 уроке, где дети решают четыре выражения в буквенной символике (Т+К=Ф К+Т=Ф Ф-Т=К Ф-К=Т), а затем в числовой форме: 2+1=3 1+2=3 3-2=1 3-1+2.

Составление четверки примеров- это доступное детям средство укрупнения знаний. Мы видим, что характеристика операции сложения не должна пройти эпизодически, а должна стать основным логическим средством упрочения верных числовых ассоциаций. Главное свойство сложения- переместительность слагаемых- должно рассматриваться постоянно в связи с накоплением в памяти все новых табличных результатов. Мы видим: взаимосвязь более сложных вычислительных или логических операций, посредством которых выполняется пара «сложных операций». Явное противопоставление сложных понятий основано на неявном противопоставлении более простых понятий.

Первоначальное изучение умножения и деления целесообразно осуществлять в следующей последовательности трех циклов задач(по 3 задачи в каждом цикле):

1 а), б) умножение при постоянном множимом и деление по содержанию (совместно); в) деление на равные части.

2 а), б) уменьшение и увеличение числа в несколько раз (совместно), в) кратное сравнение;

3 а), б) нахождение одной части числа и числа по величине одной его части (совместно) в) решение задачи «Какую часть составляет одно число от другого?». Одновременное изучение умножения и деления по содержанию. На 2-3 уроках, посвящённых умножению, выясняется смысл понятия умножения как свёрнутого сложения равных слагаемых. Обычно учащимся показывается запись по замене сложения умножением:2+2+2+2=8 2*4=8 Здесь связь между сложением и умножением. Уместно предложить сразу упражнение, рассчитанное на появление обратной связи «умножение- сложение». Рассматривая эту запись, ученик должен понять, что требуется число 2 повторять слагаемым столько раз, сколько показывает множитель в примере 2*4=8. Сочетание обоих видов упражнения есть одно из важных условий, обеспечивающих сознательное усвоение понятия «умножение». Очень важно показать к каждому из соответствующих случаев умножения соответствующий случай деления. В дальнейшем умножение и деление по содержанию выгодно рассматривать совместно.

При введении понятия деления необходимо вспомнить соответствующие случаи умножения, чтобы оттолкнувшись от них, создать понятие о новом действии, обратном умножению. Стало быть, понятие «умножение» приобретает богатое содержание, оно не только результат сложения равных слагаемых («обобщение сложения»), но и основа, исходный момент деления, которое, в свою очередь представляет «свёрнутое вычитание», заменяющее последовательное «вычитание по 2». Смысл умножения постигается не столько при самом умножении, сколько при постоянных переходах между умножением и делением, так как деление есть завуалированное, «изменённое» умножение. Все логические операции, подкрепляемые практической деятельностью, должны быть хорошо продуманы. Результатом работы будут таблицы умножения и деления:

По 2*2=4 4:по 2 =2

2*3=6 6:по 2=3

2*4=8 8:по 2=4 и т.д.

Таблица умножения строится по постоянному 1множителю, а таблица деления- по постоянному делителю. Изучение деления на равные части вводится после изучения умножения и деления на 2. Даётся задача: «Четыре ученика принесли по 2 тетради. Сколько всего тетрадей принесли?» выполняя практическое действие, мы собираем тетради (по 2 тетради взять 4раза). Составим обратную задачу: «8 тетрадей раздали по 2 тетради каждому ученику». Получится 4. Запись появляется по 2т.*4=8т., 8т.: по 2т.=4уч. На первых порах полезно подробно записывать наименования. Теперь составляем 3задачу: «8тетрадей надо раздать поровну 4ученикам. По сколько тетрадей достанется каждому?» вначале деление на равные части также следует демонстрировать на предметах. Стало быть, понятие «умножение» приобретает богатое содержание: оно не только результат сложения равных слагаемых («обобщение сложения»), но и основа, исходный момент деления, которое в свою очередь представляет свёрнутое вычитание, заменяющее последовательное «вычитание по 2». Очень удачно в этом случае построено объяснение в учебниках математики Л.Г.Петерсон и Н.Б.Истоминой. новое понятие вводится в обучение деятельностным методом, т.е. дети сами «открывают» его содержание, а учитель направляет их исследовательскую деятельность и знакомит с общепринятой терминологией и символикой. Вначале дети повторяют смысл умножения, составляют по рисунку произведение 2*4=8. Изучение действий деления мотивируется повседневной практической деятельностью детей. Учитель спрашивает, приходилось ли в жизни делить что-то поровну, и предлагает задачу: «Надо разделить 36конфет поровну на четверых. По сколько дать каждому?» затруднение, которое возникает в связи с ответом на вопрос задачи, мотивирует проведение исследования с помощью предметных моделей. У каждого на партах заготовлено 36 предметов (пуговиц, фигур, жетонов и т.д.). Их раскладывают на 4 равные по количеству кучки и т.д. Учитель показывает запись _- разделить на равные части- это значит найти число предметов в каждой части. Выполняя ряд упражнений, дети приходят к выводу, что операция деления обратна операции умножения. При делении орехов на 4 получается такое число 2, которое при умножении на 4 даёт нам 8. 8:4=2 2*4=8. О знаке детям можно сказать, что его используют в математике для обозначения предложений, выражающих одно и тоже (равносильное предложение). Выполняя упражнения на закрепление, дети выполняют рисунки и рисуют опорные схемы.

В конце урока делается вывод и проговариваются вслух и распространяются на общий случай деления- чтобы разделить число а на число в надо подобрать такое число с, которое при умножении на в даёт а:

А:В=С С*В=А и составляется опорный конспект. Важно донести до детей, что математические выражения, формулы позволяют выявить общие закономерности и установить аналогию совершенно различных на первый взгляд явлений. Осознание этого факта поможет учащимся в дальнейшем понять целесообразность математических обобщений, роль и место математики в системе наук.

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО ИЗУЧЕНИЮ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ МОУ СОШ №72 С УГЛУБЛЕЕНЫМ ИЗУЧЕНИЕМ ОТДЕЛЬНЫХ ПРЕДМЕТОВ.

3.1. ОБОСНОВАНИЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИННОВАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ (ТЕХНОЛОГИЯ УДЕ).

В своей работе успешно применяю технологию укрупнения дидактических единиц (УДЕ), разработанную П.Т.Эрдниевым. автор более 30 лет назад выдвинул научное понятие «дидактическая единица». Его система укрупнения дидактических единиц в начальной школе вооружает школьников алгоритмом творческого освоения учебной информации. Эта технология актуальна и перспективна, так как обладает силой дальнодействия, закладывает в ребенке черты интеллекта, способствует становлению активной личности.

П.М.Эрдниев выделяет четыре основных способа укрупнения дидактических единиц:

1)совместное и одновременное изучение взаимосвязанных действий, операций;

2)применение деформированных упражнений;

3)широкое использование метода обратной задачи;

4)усиление удельного веса творческих заданий.

Каждый из способов способствует актуализации резервов мышления. Первый способ - совместное изучение взаимосвязанных действий, операций- сложение- вычитание, умножение- деление. В первом классе, изучая первый десяток, дети знакомятся с примерами вида: 3+4=7 по технологии укрупнения дидактических единиц знакомлю с переместительным свойством сложения: 4+3=7 ответ одинаков, запись приобретает вид: 3+4= 7

Детям предлагаю примеры на вычитание, а запись имеет вид: 7 -3=4

4=3. Обобщаются и объединяются знания и записи сводятся вместе. Аналогично можно построить работу на умножение и деление. Например: 8+8+8+8+8=40 8*5=40 5*8=40 40:5=8 40:8=5

Дети приучаются различать противоположные понятия и операции при одновременном изучении сопряжённых действий. «Нервные привычки», по К.Д.Ушинскому, закрепляются у человека не отдельно, а парами, рядами, вереницами, группами. Такая подача материала создает условия для развития самостоятельности и инициативы детей.

Второй способ укрупнения дидактических единиц- метод деформированных упражнений, в которых искомым является не один, а несколько элементов. Например, в первом классе можно предложить задание, где нужно определить знак действия и неизвестный компонент:8 =2. В таких примерах ученик сначала подбирает знак действия на основе сравнения, а затем находит отсутствующий компонент. Решая такой пример, ребенок рассуждает так: 8 2, значит знак «минус».8 состоит из 2 и 6, значит пример 8-6=2. Так активизируется внимание, развивается мышление учащихся на основе решения логических цепочек.

Третий способ укрупнения дидактических единиц- решение прямой задачи и преобразование её в обратные и аналогичные. Решение задач в начальной школе имеет центральное значение для развития мышления учащихся: при решении дети знакомятся с зависимостью величин, с различными сторонами жизни, учатся думать, рассуждать, сравнивать. Обучая решению задач, необходимо учить детей составлять обратные задачи. В основе каждого способа лежит великий информационный закон живой природы - закон обратной связи. При работе над задачами выгодно пользоваться, когда в серии задач последующая отличается от предыдущей лишь каким-то одним элементом. В этом случае переход от одной задачи к другой облегчается, и информация, полученная при решении предыдущей задачи, помогает в поиске решения последующих задач. Особенно полезен этот приём слабым и медлительным детям. Например, задача на нахождение суммы, составим обратные ей задачи. «Отец дал Маше 11яблок, а мама добавила еще 5яблок. Сколько всего яблок дали Маше родители?»

  1. Проводим анализ по вопросам: «Что известно в задаче? Что нужно узнать?» Запись задачи кратко. Как узнать, сколько яблок дали Маше родители? (12+5=17)
  2. Составление обратной задачи, где неизвестным будет количество яблок, данных отцом. «Отец дал несколько яблок, а мама добавила ещё 5яблок. Всего у Маши стало 17яблок. Сколько яблок дал Маше отец?»
  3. Можно составить ещё одну обратную задачу, где неизвестным будет количество яблок, данных Маше мамой. «Отец дал Маше 12яблок, а мама добавила ещё несколько яблок. Всего у Маши стало 17яблок. Сколько яблок дала мама Маше?» (17-12=5). В тетрадях ведём краткие записи по всем 3задачам. Взаимосвязанные задачи сливаются в группу родственных задач как крупную единицу усвоения и образуют три задачи. Итак, главная технологическая новизна системы укрупнения дидактических единиц заключается в наличии заданий, по которым школьник упражняется в самостоятельном составлении обратных задач на основе анализа условия прямой задачи, выявление логической цепи.

Четвертый способ укрупнения- усиление удельного веса творческих заданий. Например, дается задание с «окошком»: +7-50=20. Дети ищут ответ методом подбора, но можно решить это задание, рассуждая по стрелке, используя обратную операцию: 20+59-7=63. Искомое число 63. Творческие задания должны присутствовать на каждом уроке. С помощью таких упражнений ребёнок приучается к самостоятельному продолжению мысли, к перестройке суждения, что имеет решающее значение в последующем для составления активного, творческого ума человека, столь ценного в своем проявлении в любой сфере трудовой деятельности.

3.2.ОБ ОПЫТЕ ОЗНАКОМЛЕНИЯ С АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ПОНЯТИЯМИ.

Уже в 1классе учу детей самостоятельно устанавливать признаки, по которым можно сравнивать те или иные предметы. Учитель показывает детям 2гири разного цвета. «По каким признакам их можно сравнивать?» Дети дают ответ: «Их можно сравнивать по весу, высоте, по донышку». Что же можно сказать?- они неравны (по весу, высоте). Как это выразить точнее?- чёрная гиря тяжелее, больше, толще. Что значит тяжелее?- Тяжелее, больше по весу. Аналогичная работа при наводящих вопросах проводится и по отношению к другим признакам. Вместе с учителем устанавливаем, что тяжелее- это больше по весу, «длиннее»- это больше по длине(росту, высоте) и т.д. заключением этой работы было выяснение того, что если можно найти признак, по которому предметы сравниваются, то они будут либо равными, либо неравными. Это можно записать особыми знаками «=» и «=». Л.Г.Петерсон очень удачно сопоставляет эти понятия, а уже потом знаки уточняются -меньше или больше. Дети очень охотно решают эти неравенства. Выполняем и обратные задания - по знакам «меньше» или «больше» подбираются разные предметы. При этом сразу возникает своеобразная задача- определение понятий «слева направо»- 5 меньше 10. Кроме этого, удачно получается записывать не только числами, но и разными фигурами, линиями. В этот период на этой основе вводится буквенная форма записи. Работая с разного рода заданиями, необходимо дать детям понятие, что сами по себе буквы результата сравнения не записывают- нужен связующий их знак. И лишь вся формула говорит об этом результате- сравнение веса, длины 2х предметов и более.

Работа по данной теме имеет первостепенное значение для развёртывания всего начального раздела математики, так как по существу связана с построением в деятельности ребёнка системы отношений, выделяющих величины как основу дальнейших преобразований. Буквенные формулы, заменяющие ряд предварительных способов записи, впервые превращают эти отношения в абстракцию, ибо сами буквы обозначают любые конкретные значения любых конкретных величин, а вся формула- любые, возможные отношения равенства или неравенства этих значений. Теперь, опираясь на формулы, можно изучать собственные свойства выделенных отношений, превращая их в особый предмет анализа.

  1. ДИАГНОСТИКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ.

Значение диагностики велико, так как с её помощью устанавливается соответствие достижений ребенка обязательным требованиям к результатам обучения. Анализируя итоги, можно сделать выводы, какие изменения происходят с ребенком в процессе обучения, почему не удалось научить, что не учтено, как скорректировать процесс обучения, в какой помощи ученик нуждается. Инструментом диагностики могут служить тесты. По каждой содержательной линии в соответствии с обязательным минимумом содержания начального образования составляются тестовые задания, также широко представлены такие тесты в готовых печатных изданиях. Они помогают выявить пробелы в обучении. В своем классе были выявлены следующие проблемы в изучении элементов алгебры:

Часть учащихся испытывают некоторые затруднения при решении буквенных выражений (нахождение числового значения буквенного выражения при заданных значениях входящих в него букв);

При решении уравнений допускаются ошибки на использовании правил нахождения неизвестных компонентов (зависимость между компонентами сложения, вычитания, умножения и деления);

При проверке корней уравнения часть детей не просчитывают левую часть уравнения, а автоматически ставят знак равно;

При более сложной структуре уравнений вида X+10=30-7 или X+(45-17)=40 при преобразовании и упрощении уравнения некоторые дети теряют переменную, увлекаясь арифметическими вычислениями.

Получив данные тестов и проанализировав итоги, делаю для себя план работы для корректировки пробелов и недоработок.

Примерный тест для проверки знаний учащихся.

  1. Дополни до 10 9, 5, 8, 4, 7, 0.
  2. Впиши число в карточку: 8+5 17-9

8+2+ 17-7-

  1. Догадайся, какое число надо записать в карточку:

3, 6, 9, 12, * А(13), В(15), С(18), Г(другое число)

  1. Впиши в карточку такое число, чтобы равенство было верным:

9=17-* А(6), В(15), С(4), Г (другое число)

  1. . 8+7=19-* А(3), В(15), С(4), Г(другое число).

6 Укажи верные равенства:

А) 12+1=11 В)14-5=9 С)17+3=20 Д)20-1=9 Е)18+2=20 Ж)8-5=13 З)6+9=15

7. Расположи выражения в порядке уменьшения их значений: А)7-5 В)7+6 С)3+7

8. Какими цифрами можно заменить *?

1)12 1* А(0, 1, 2) В(3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) С(0, 1)

9. Где правильно расставлен порядок выполнения действий? А) 12-3+7 В) 19-9-5+3

10.Запиши числовые выражения и найди значения: из числа 12 вычесть сумму чисел 3 и 5

А) (3+5)-12 В) 12-3+5 С) 12-(3+5) Г) другое ответ:

Данный тест показывает, кто из детей недостаточно чётко усвоил нумерацию чисел второго десятка. Это дети, получившие меньше 18 баллов. С ними нужно проводить коррекционную работу, которая включает в себя все возможные случаи использования полученных знаний, где дети ориентируются в аналогичных упражнениях достаточно хорошо. Намечается план работы с родителями данных детей и оказывается консультация для тех родителей, кому это необходимо. В итоговой диагностике проверяются знания всего курса обучения за 1класс. Я провожу с ними ещё одну работу по проверке усвоения сложения и вычитания чисел в пределах 20, а потом и 100. Дети должны уметь выполнять действия с использованием изученных приёмов: находить неизвестный компонент сложения и вычитания, сравнивать числа и числовые выражения, уметь находить обратное действие. Что касается программ других авторов, то можно наблюдать, что раннее введение алгебраического материала вполне приемлемо для всех детей. Проработав разные программы, изучив методики преподавания разных авторов математики, я использую все нужные мне элементы из любого учебника, чтобы урок был более эффективным и продуктивным. Интересные упражнения, которые развивают мышление, логику, учат думать, изобретать, комбинировать включаю в каждый урок математики. Мои дети любимым предметом выбирают математику. Выявить пробелы в знаниях помогает использование тетрадей на печатной основе, проверочные тесты.

При изучении всех содержательных линий математики проводится постоянное отслеживание результатов обучения и ведется диагностику преподавания. Дети постоянно выполняют промежуточные тесты и проверочные работы, поэтому легко идет контроль за успеваемостью учащихся.

В начальной школе при безотметочном обучении (1-2кл.) использую следующие уровни и критерии сформированности знаний алгебраического материала: высокий уровень(20-25 баллов)- при таком уровне ребенок осознанно владеет изученным материалом, понятия по теме усвоены, умеет самостоятельно работать по теме, задания выполняет без ошибок;

средний уровень (14- 9 баллов)- тема усвоена, умеет ответить на косвенные вопросы, с помощью наводящих вопросов правильно отвечает по теме, допускает 1-2 ошибки, находит их и самостоятельно исправляет;

низкий уровень (менее 14 баллов)- допускает ошибки в большинстве заданий, отвечает на прямой вопрос учителя не всегда правильно, необходимы коррекционные упражнения и дополнительная индивидуальная работа.

Также при обработке диагностических работ провожу поэлементный анализ результатов теста: ошибки и причины их возникновения. При решении уравнений (в процессе поиска числа, при подстановке которого уравнение превращается в верное числовое равенство) возможны и случаются следующие ошибки:

В выборе арифметического действия при нахождении неизвестного компонента (причина такой ошибки- неумение определить зависимость между компонентами или незнание данного материала);

Вычислительные ошибки (причины в использовании алгоритмов сложения, вычитания, умножении и деления, не проведен подробный анализ на каком-то этапе алгоритма).

При решении буквенных выражений при заданных значениях входящих в него букв допускаются следующие ошибки:

При использовании алгоритмов (конкретные вычислительные приёмы);

При конкретном выборе данного значения буквы (невнимательность, не проведен анализ соответствия данной букве определённого числа).

При сравнении чисел и числовых выражений ошибаются:

В постановке знаков больше и меньше (причина в незнании конкретных понятий, не проанализирован поразрядный и поклассовый состав чисел, незнание нумерации натуральных чисел, поместное значение цифр);

В арифметических вычислениях.

При нахождении значения составного числового выражения допускаются ошибки:

В порядке действий,

В неправильной записи компонентов действия (причина ошибок - не сумел определить структуру исходного выражения и соответственно применить необходимое правило, не знал алгоритма выполнения действий). При тщательном анализе результатов контроля знаний, умений, навыков учитель выявляет пробелы, ошибки в выполнениях, правильно можно спланировать дальнейшую работу по ликвидации недостатков в обучении.

Ниже привожу примеры тестов и диагностику проведённых срезов и проверок.

Номер теста

Формируемые умения и навыки

10-11

Счёт в пределах 20, 100.

Таблица сложения и вычитания.

Нахождение значения числового выражения в 2-4действия.

Чтение, запись, сравнение в пределах 100.

Название и обозначение действий сложения и вычитания.

Решение задач в 1-2 действия.

Умение сравнивать, классифицировать.

Пространственные представления.

Знание величин.

Уровень сформированности базовых навыков и математического развития.

Результаты итоговой диагностики за 1 класс

10-11

уровень

Антонов А.

Батраева Д.

Башловкин Д.

Белова В.

Бобылёва Е.

Габриелян Г.

Гасникова М.

Горошко А.

Гузаева Е.

Двугрошева М.

Кондратьев Д.

Константинов И.

Копылов В.

Михайлова В.

Михайлова И.

Морозова А.

Подгорный И.

Разин Н.

Романов Д.

Синицына К.

Сулейманов Р.

Сульёзнов А.

Теплякова Ю.

Фролов Д.

Ширшаева К.

Низкий

Низкий

Средний

Средний

Высокий

Средний

Средний

Высокий

Высокий

Низкий

Высокий

Высокий

Высокий

Высокий

Средний

Высокий

Низкий

Средний

Средний

Высокий

Высокий

Средний

Средний

Средний

средний

Проверка уровня развития памяти

слуховая

зрительная

моторная

Зрительно-слуховая

Антонов А.

Батраева Д.

Башловкин Д.

Белова В.

Бобылёва Е.

Габриелян Г.

Гасникова М.

Горошко А.

Гузаева Е.

Двугрошева М.

Кондратьев Д.

Константинов И.

Копылов В.

Михайлова В.

Михайлова И.

Морозова А.

Подгорный И.

Разин Н.

Романов Д.

Синицына К.

Сулейманов Р.

Сульёзнов А.

Теплякова Ю.

Фролов Д.

Ширшаева К.

0, 4 средний

0,2 низкий

0,6 средний

0,8средний

1 высокий

0,7 средний

0,7 средний

1 высокий

1 высокий

0,5 низкий

1 высокий

1 высокий

1 высокий

1 высокий

0,9 средний

1 высокий

0,4 низкий

0,7 средний

0,7 средний

1 высокий

1 высокий

0,7 средний

1 высокий

0,7 средний

0,6 средний

0,4 низкий

0,3 низкий

0,8 средний

0,9 средний

1 высокий

0,6 средний

1 высокий

1 высокий

1 высокий

0,4низкий

1 высокий

1 высокий

1 высокий

1 высокий

1 высокий

1 высокий

0,4низкий

0,9средний

1 высокий

1 высокий

1 высокий

0,8средний

0,9средний

0,9 средний

0,8средний

0,8 средний

0,4 низкий

1 высокий

1 высокий

1 высокий

0,9средний

1 высокий

1 высокий

1 высокий

0,8средний

1 высокий

1 высокий

1 высокий

1 высокий

1 высокий

1 высокий

0,5низкий

0,8средний

0,7 средний

1 высокий

0,9 средний

0,8средний

1 высокий

0,8средний

0,5низкий

0,7 средний

0,4 низкий

0,9 средний

0,9 средний

  1. высокий

0,8 средний

0,9 средний

  1. высокий
  1. высокий

0,5 низкий

  1. высокий
  1. высокий
  1. высокий
  1. высокий
  1. высокий
  1. высокий

0,4 низкий

0,9 средний

0,9 средний

  1. высокий
  1. высокий

0,8 средний

0,9 средний

0,8 средний

0,5 средний

С=а:N С- коэффициент памяти, при С=1 – оптимальный вариант- высокий уровень

С=0,7 +/-0,2 - средний уровень, С -меньше 0,5 –низкий уровень развития

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящее время возникли достаточно благоприятные условия для коренного улучшения постановки математического образования в начальной школе:

  1. начальная школа из трехлетней преобразована в четырехлетнюю;
  2. на изучение математики в первые четыре года выделяется часов, т.е. 40% всего времени, отводимого этому предмету за всю среднюю школу?
  3. Учителями начальных классов работает с каждым годом все большее число лиц, имеющих высшее образование;
  4. Возросли возможности лучшего обеспечения учителей и школьников учебно-наглядными пособиями, большая часть их выпускается в цветном изображении.

Нет необходимости доказывать решающую роль начального обучения математике для развития интеллекта ученика вообще. Богатство разнообразных ассоциаций, обретаемых школьником за первые четыре года обучения, при правильной постановке дела становится главным условием самонаращивания знаний в последующие годы. Если этот запас исходных представлений и понятий, ходов мыслей, основных логических приёмов будет неполон, негибок, обеднён, то при переходе в старшие классы школьники будут постоянно испытывать трудности, независимо от того, кто их будет учить дальше или по каким учебникам они будут учиться.

Как известно, начальная школа функционирует в нашей и других странах много веков, поэтому теория и практика начального обучения гораздо богаче своими традициями, чем обучение в старших классах.

Драгоценные методические находки и обобщения по начальному обучению математике были сделаны ещё Л.Н.Толстым, К.Д.Ушинским, В.А.Латышевым и другими методистами уже в прошлом веке. Значительные результаты были получены в последние десятилетия по методике начальной математики в лабораториях Л.В.Занкова, А.С.Пчелко, а также в исследованиях по укрупнению дидактических единиц.

При разумном учёте наличных научных результатов, полученных в последние 20 лет по методике начального обучения различными творческими коллективами, сейчас имеется полная возможность добиться в начальной школе «учения с увлечением». В частности, знакомство учащихся с базовым алгебраическими понятиями, несомненно, положительно скажется на освоении учащимися соответствующих знаний в старших классах.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

  1. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах./под ред. М.И.Моро, А.М.Пышкало. -М.: Педагогика, 1977.
  2. И.И.Аргинская, Е.А.Ивановская. Математика: Учебник для 1,2,3,4 класса четырехлетней начальной школы.- Самара: Изд. дом «Федоров», 2000.
  3. М.А.Бантова, Г.В.Бельтюкова. Методика преподавания математики в начальных классах.- М.: Педагогика,1984.
  4. П.М.Эрдниев. Укрупненные знания как условие радостного обучения./ Начальная школа.- 1999 №11, с.4-11.
  5. В.В.Давыдов. Психическое развитие в младшем школьном возрасте./ Под ред. А.В.Петровского.- М.: Педагогика, 1973.
  6. А.З.Зак. Развитие умственных способностей младших школьников.
  7. И.М.Доронина. Использование методики УДЕ на уроках математики. //Начальная школа.-2000, №11, с.29-30.
  8. Н.Б.Истомина. Методика обучения математике в начальных классах.- М.: Издательский центр «Академия», 1998.
  9. М.И.Волошкина. Активизация познавательной деятельности младших школьников на уроке математики.//Начальная школа-1992 №10.
  10. В.Ф.Коган. О свойствах математических понятий. -М. : Наука, 1984.
  11. Г.А.Пентегова. Развитие логического мышления на уроках математики. //Начальная школа.-2000.-№11.
  12. А.Н.Колмогоров. О профессии математика. М.-Педагогика. 1962.
  13. М.И.Моро, А.М.Пышкало. Методика обучения математике в начальной школе.- М.Педагогика,1980 .
  14. Л.Г. Петерсон. Математика 1-4классы.-Методические рекомендации для учителя -М.: «Баллас»,2005.
  15. Диагностика результатов образовательного процесса в 4-летней начальной школе: Учебно-методическое пособие /Под ред. Калининой Н.В./ Ульяновск: УИПКПРО, 2002.
  16. Самостоятельные и контрольные работы для начальной школы (-4). М.-«Баллас»,2005.
  17. Ж. Пиаже. Избранные психологические труды. СП-б.: Изд-во «Питер»,1999.
  18. А.В. Сергеенко. Преподавание математики за рубежом.- М.: Академия, 1998.
  19. Стойлова Л.П. Математика. М.- Академия, 2000.
  20. У.У.Сойер Прелюдия к математике, М.-Просвещение.1982.
  21. Тесты: Начальная школа.1,2,3,4кл.: Учебно-методическое пособие/Л.М.Зеленина, Т.Е.Хохлова, М.Н.Быстрова и др.-2-е изд., стереотип.- М.:Дрофа,2004.