Найти координаты пересечения двух прямых онлайн. Простейшие задачи с прямой на плоскости

Урок из серии «Геометрические алгоритмы»

Здравствуйте, дорогой читатель!

Продолжим знакомиться с геометрическими алгоритмами. На прошлом уроке мы нашли уравнение прямой линии по координатам двух точек. У нас получилось уравнение вида:

Сегодня мы напишем функцию, которая по уравнениям двух прямых линий будет находить координаты их точки пересечения (если такая имеется). Для проверки равенства вещественных чисел, будем использовать специальную функцию RealEq().

Точки на плоскости описываются парой вещественных чисел. При использовании вещественного типа операции сравнения лучше оформить специальными функциями.

Причина известна: на типе Real в системе программирования Паскаль нет отношения порядка, поэтому записи вида a = b, где a и b вещественные числа, лучше не использовать.
Сегодня мы введем в употребление функцию RealEq() для реализации операции “=” (строго равно) :

Function RealEq(Const a, b:Real):Boolean; {строго равно} begin RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Задача. Заданы уравнения двух прямых: и . Найти точку их пересечения.

Решение. Очевидное решение состоит в том, чтобы решить систему уравнений прямых: Давайте перепишем эту системе несколько иначе:
(1)

Введем обозначения: , , . Здесь D – определитель системы, а - определители, получающиеся в результате замены столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном столбцом свободных членов. Если , то система (1) является определенной, то есть имеет единственное решение. Это решение можно найти по следующим формулам: , , которые называются формулами Крамера . Напомню, как вычисляется определитель второго порядка. В определителе различают две диагонали: главную и побочную. Главная диагональ состоит из элементов, взятых по направлению от верхнего левого угла определителя в нижний правый угол. Побочная диагональ – из правого верхнего в нижний левый. Определитель второго порядка равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

В программном коде для проверки проверка равенства используется функция RealEq(). Вычисления над вещественными числами производятся с точностью до _Eps=1e-7.

Program geom2; Const _Eps: Real=1e-7;{точность вычислений} var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; Function RealEq(Const a, b:Real):Boolean; {строго равно} begin RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Мы составили программу, с помощью которой можно, зная уравнения линий, найти координаты их точки пересечения.

Перпендикулярная прямая

Это задача наверное одна из самых популярных и востребованных в школьных учебниках. Задачи, основанные на эту тему многообразны. Это и определение точки пересечения двух прямых, это и определение уравнения прямой, проходящяя через точку на исходной прямой под каким либо углом.

Эту тему мы раскроем, используя в своих вычислениях данные полученные с помощью

Именно там было рассмотрено преобразование общего уравнения прямой, в уравнение с угловым коэффициентом и обратно, и определения остальных парметров прямой по заданным условиям.

Что же нам не хвататет для того, что бы решать те задачи, которым посвящена эта страница?

1. Формулы вычисления одного из углов между двумя пересекающимися прямыми.

Если мы имеем две прямые которые заданы уравнениями:

то один из углов вычисляется так:

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящяя через заданную точку

Из формулы 1, мы можем увидеть два пограничных состояния

а) когда тогда и следовательно эти две заданные прямые паралельны (или совпадают)

б) когда , тогда , и следовательно эти прямые перпендикулярны, то есть пересекаются под прямым углом.

Какие могут быть исходные данные для решения подобных задач, кроме заданной прямой?

Точка на прямой и угол под которым вторая прямая его пересекает

Второе уравнение прямой

Какие же задачи может позволить решить бот?

1. Заданы две прямые (явным или не явным образом например по двум точкам). Вычислить точку пересечения и углы по которыми они пересекаются.

2. Задана одна прямая, точка на прямой и один угол. Определить уравнение прямой, перескающую заданную под указанным углом

Примеры

Две прямые заданы уравнениями. Найти точку пересечения этих прямых и углы под которым они пересекаются

line_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5

Получаем следующий результат

Уравнение первой прямой

y = 2.2 x + (1.2)

Уравнение второй прямой

y = 0.4285714285714 x + (-5)

Угол пересечения двух прямых(в градусах)

-42.357454705937

Точка пересечения двух прямых

x = -3.5

y = -6.5

Не забудьте что параметры двух линий разделяются запятой, а параметры каждой линии точкой с запятой.

Прямая проходит через две точки (1:-4) и (5:2) . Найти уравнение прямой, которая проходит через точку (-2:-8) и пересекает исходную прямую под углом 30 градусов.

Одна прямая нам известна, так как известны две точки через которые она проходит.

Осталось определить уравнение второй прямой. Одна точка нам известна, а вместо второй указан угол, под которым первая прямая пересекает вторую.

Вроде все известно, но тут главное не ошибится. Речь идет об угле(30 градусов) не между осью абсцисс и линией, а между первой и второй линией.

Для этого мы постим так. Определим параметры первой линии, и узнаем под каким углом она пересекает ось абсцисс.

line xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

Общее уравнение Ax+By+C = 0

Коэффициент А = -6

Коэффициент B = 4

Коэффициент C = 22

Коэффициент a= 3.6666666666667

Коэффициент b = -5.5

Коэффициент k = 1.5

Угол наклона к оси (в градусах) f = 56.309932474019

Коэффициент p = 3.0508510792386

Коэффициент q = 2.5535900500422

Расстояние между точками=7.211102550928

Видим что первая линия пересекает ось под углом 56.309932474019 градусов.

В искходных данных не сказано как именно пересекает вторая линия, первую. Можно ведь построить две линии удовлетворяющих условиям, первая повернутая на 30 градусов ПО часовой стрелке, а вторая на 30 градусов ПРОТИВ часовой стрелке.

Давайте их и посчитаем

Если вторая линия повернута на 30 градусов ПРОТИВ часовой стрелке, то вторая линия будет иметь градус пересечения с осью абсцисс 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 градусов

line_p xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019

Параметры прямой линии по заданным параметрам

Общее уравнение Ax+By+C = 0

Коэффициент А = 23.011106998916

Коэффициент B = -1.4840558255286

Коэффициент C = 34.149767393603

Уравнение прямой в отрезках x/a+y/b = 1

Коэффициент a= -1.4840558255286

Коэффициент b = 23.011106998916

Уравнение прямой c угловым коэфициентом y = kx + b

Коэффициент k = 15.505553499458

Угол наклона к оси (в градусах) f = 86.309932474019

Нормальное уравнение прямой x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0

Коэффициент p = -1.4809790664999

Коэффициент q = 3.0771888256405

Расстояние между точками=23.058912962428

Расстояние от точки до прямой li =

то есть наше уравнение второй линии есть y=15.505553499458x + 23.011106998916

Точка пересечения прямых

Пусть нам даны две прямые, заданные своими коэффициентами и . Требуется найти их точку пересечения, или выяснить, что прямые параллельны.

Решение

Если две прямые не параллельны, то они пересекаются. Чтобы найти точку пересечения, достаточно составить из двух уравнений прямых систему и решить её:

Пользуясь формулой Крамера, сразу находим решение системы, которое и будет искомой точкой пересечения :

Если знаменатель нулевой, т.е.

то система решений не имеет (прямые параллельны и не совпадают) или имеет бесконечно много (прямые совпадают ). Если необходимо различить эти два случая, надо проверить, что коэффициенты прямых пропорциональны с тем же коэффициентом пропорциональности, что и коэффициенты и , для чего достаточно посчитать два определителя, если они оба равны нулю, то прямые совпадают:

Реализация

struct pt {double x, y;}; struct line {double a, b, c;}; constdouble EPS =1e-9; double det (double a, double b, double c, double d){return a * d — b * c;} bool intersect (line m, line n, pt & res){double zn = det (m.a, m.b, n.a, n.b);if(abs(zn)< EPS)returnfalse; res.x=- det (m.c, m.b, n.c, n.b)/ zn; res.y=- det (m.a, m.c, n.a, n.c)/ zn;returntrue;} bool parallel (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS;} bool equivalent (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS &&abs(det (m.a, m.c, n.a, n.c))< EPS &&abs(det (m.b, m.c, n.b, n.c))< EPS;}

Урок из серии «Геометрические алгоритмы »

Здравствуйте, дорогой читатель.

Совет 1: Как найти координаты точки пересечения двух прямых

Напишем еще три новые функции.

Функция LinesCross() будет определять, пересекаются ли два отрезка . В ней взаимное расположение отрезков определяется с помощью векторных произведений. Для вычисления векторных произведений напишем функцию – VektorMulti().

Функция RealLess() будет использоваться для реализации операции сравнения “<” (строго меньше) для вещественных чисел.

Задача1. Два отрезка заданы своими координатами. Составить программу, которая определяет, пересекаются ли эти отрезки , не находя точку пересечения.

Решение
. Второй задан точками .

Рассмотрим отрезок и точки и .

Точка лежит слева от прямой , для нее векторное произведение > 0, так как векторы положительно ориентированы.

Точка расположена справа от прямой, для нее векторное произведение < 0, так как векторы отрицательно ориентированы.

Для того чтобы точки и , лежали по разные стороны от прямой , достаточно, чтобы выполнялось условие < 0 (векторные произведения имели противоположные знаки).

Аналогичные рассуждения можно провести для отрезка и точек и .

Итак, если , то отрезки пересекаются.

Для проверки этого условия используется функцию LinesCross(), а для вычисления векторных произведений – функция VektorMulti().

ax, ay – координаты первого вектора,

bx, by – координаты второго вектора.

Program geometr4; {Пересекаются ли 2 отрезка?} Const _Eps: Real=1e-4; {точность вычслений} var x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4: real; var v1,v2,v3,v4: real;function RealLess(Const a, b: Real): Boolean; {Строго меньше} begin RealLess:= b-a> _Eps end; {RealLess}function VektorMulti(ax,ay,bx,by:real): real; {ax,ay — координаты a bx,by — координаты b } begin vektormulti:= ax*by-bx*ay; end;Function LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4:real): boolean; {Пересекаются ли отрезки?} begin v1:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x1-x3,y1-y3); v2:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x2-x3,y2-y3); v3:=vektormulti(x2-x1,y2-y1,x3-x1,y3-y1); v4:=vektormulti(x2-x1,y2-y1,x4-x1,y4-y1); if RealLess(v1*v2,0) and RealLess(v3*v4,0) {v1v2<0 и v3v4<0, отрезки пересекаются} then LinesCross:= true else LinesCross:= false end; {LinesCross}begin {main} writeln(‘Введите координаты отрезков: x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4’); readln(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4); if LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4) then writeln (‘Да’) else writeln (‘Нет’) end.

Результаты выполнения программы:

Введите координаты отрезков: -1 1 2 2.52 2 1 -1 3
Да.

Мы написали программу, определяющую, пересекаются ли отрезки, заданные своими координатами.

На следующем уроке мы составим алгоритм, с помощью которого можно будет определить, лежит ли точка внутри треугольника.

Уважаемый читатель.

Вы уже познакомились с несколькими уроками из серии «Геометрические алгоритмы». Все ли доступно написано? Я буду Вам очень признательна, если Вы оставите отзыв об этих уроках. Возможно, что-то нужно еще доработать.

С уважением, Вера Господарец.

Пусть даны два отрезка. Первый задан точками P 1 (x 1 ;y 1) и P 2 (x 2 ;y 2) . Второй задан точками P 3 (x 3 ;y 3) и P 4 (x 4 ;y 4) .

Взаимное расположение отрезков можно проверить с помощью векторных произведений:

Рассмотрим отрезок P 3 P 4 и точки P 1 и P 2 .

Точка P 1 лежит слева от прямой P 3 P 4 , для нее векторное произведение v 1 > 0 , так как векторы положительно ориентированы.
Точка P 2 расположена справа от прямой, для нее векторное произведение v 2 < 0 , так как векторы отрицательно ориентированы.

Для того чтобы точки P 1 и P 2 лежали по разные стороны от прямой P 3 P 4 , достаточно, чтобы выполнялось условие v 1 v 2 < 0 (векторные произведения имели противоположные знаки).

Аналогичные рассуждения можно провести для отрезка P 1 P 2 и точек P 3 и P 4 .

Итак, если v 1 v 2 < 0 и v 3 v 4 < 0 , то отрезки пересекаются.

Векторное произведение двух векторов вычисляется по формуле:

где:
ax , ay — координаты первого вектора,
bx , by — координаты второго вектора.

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки, заданные своими координатами.

Пусть на прямой заданы две не совпадающие точки:P 1 с координатами (x 1 ;y 1) и P 2 с координатами (x 2 ; y 2) .

Пересечение прямых

Соответственно вектор с началом в точке P 1 и концом в точке P 2 имеет координаты (x 2 -x 1 , y 2 -y 1) . Если P(x, y) – произвольная точка на прямой, то координаты вектора P 1 P равны (x — x 1 , y – y 1).

С помощью векторного произведения условие коллинеарности векторов P 1 P и P 1 P 2 можно записать так:
|P 1 P,P 1 P 2 |=0 , т.е. (x-x 1)(y 2 -y 1)-(y-y 1)(x 2 -x 1)=0
или
(y 2 -y 1)x + (x 1 -x 2)y + x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1) = 0

Последнее уравнение переписывается следующим образом:
ax + by + c = 0, (1)
где
a = (y 2 -y 1),
b = (x 1 -x 2),
c = x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1)

Итак, прямую можно задать уравнением вида (1).

Как найти точку пересечения прямых?
Очевидное решение состоит в том, чтобы решить систему уравнений прямых:

ax 1 +by 1 =-c 1
ax 2 +by 2 =-c 2 (2)

Ввести обозначения:

Здесь D – определитель системы, а D x ,D y — определители, получающиеся в результате замены столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном столбцом свободных членов. Если D ≠ 0 , то система (2) является определенной, то есть имеет единственное решение. Это решение можно найти по следующим формулам: x 1 =D x /D, y 1 =D y /D , которые называются формулами Крамера. Небольшое напоминание, как вычисляется определитель второго порядка. В определителе различают две диагонали: главную и побочную. Главная диагональ состоит из элементов, взятых по направлению от верхнего левого угла определителя в нижний правый угол. Побочная диагональ – из правого верхнего в нижний левый. Определитель второго порядка равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

В двумерном пространстве две прямые пересекаются только в одной точке, задаваемой координатами (х,y). Так как обе прямые проходят через точку их пересечения, то координаты (х,y) должны удовлетворять обоим уравнениям, которые описывают эти прямые. Воспользовавшись некоторыми дополнительными навыками вы сможете находить точки пересечения парабол и других квадратичных кривых.

Шаги

Точка пересечения двух прямых

Запишите уравнение каждой прямой, обособив переменную «у» на левой стороне уравнения. Другие члены уравнения должны размещаться на правой стороне уравнения. Возможно, данное вам уравнение вместо «у» будет содержать переменную f(x) или g(x); в этом случае обособьте такую переменную. Для обособления переменной выполните соответствующие математические операции на обеих сторонах уравнения.

Если уравнения прямых вам не даны, на основе известной вам информации.
Пример . Даны прямые, описываемые уравнениями и y − 12 = − 2 x {\displaystyle y-12=-2x} . Чтобы во втором уравнении обособить «у», прибавьте к обеим сторонам уравнения число 12:

Вы ищете точку пересечения обеих прямых, то есть точку, координаты (х,у) которой удовлетворяют обоим уравнениям. Так как на левой стороне каждого уравнения находится переменная «у», то выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения, можно приравнять. Запишите новое уравнение.
- Пример . Так как y = x + 3 {\displaystyle y=x+3} и y = 12 − 2 x {\displaystyle y=12-2x} , то можно записать такое равенство: .
Найдите значение переменной «х». Новое уравнение содержит только одну переменную «х». Для нахождения «х» обособьте эту переменную на левой стороне уравнения, выполнив соответствующие математические операции на обеих сторонах уравнения. Вы должны получить уравнение вида х = __ (если вы не можете это сделать, этого раздела).
- Пример . x + 3 = 12 − 2 x {\displaystyle x+3=12-2x}
- Прибавьте 2 x {\displaystyle 2x} к каждой стороне уравнения:
- 3 x + 3 = 12 {\displaystyle 3x+3=12}
- Вычтите 3 из каждой стороны уравнения:
- 3 x = 9 {\displaystyle 3x=9}
- Разделите каждую сторону уравнения на 3:
- x = 3 {\displaystyle x=3} .
Используйте найденное значение переменной «х» для вычисления значения переменной «у». Для этого подставьте найденное значение «х» в уравнение (любое) прямой.
- Пример . x = 3 {\displaystyle x=3} и y = x + 3 {\displaystyle y=x+3}
- y = 3 + 3 {\displaystyle y=3+3}
- y = 6 {\displaystyle y=6}
Проверьте ответ. Для этого подставьте значение «х» в другое уравнение прямой и найдите значение «у». Если вы получите разные значение «у», проверьте правильность ваших вычислений.
- Пример: x = 3 {\displaystyle x=3} и y = 12 − 2 x {\displaystyle y=12-2x}
- y = 12 − 2 (3) {\displaystyle y=12-2(3)}
- y = 12 − 6 {\displaystyle y=12-6}
- y = 6 {\displaystyle y=6}
- Вы получили такое же значение «у», поэтому в ваших вычислениях ошибок нет.
Запишите координаты (х,у). Вычислив значения «х» и «у», вы нашли координаты точки пересечения двух прямых. Запишите координаты точки пересечения в виде (х,у).
- Пример . x = 3 {\displaystyle x=3} и y = 6 {\displaystyle y=6}
- Таким образом, две прямые пересекаются в точке с координатами (3,6).
Вычисления в особых случаях. В некоторых случаях значение переменной «х» найти нельзя. Но это не значит, что вы допустили ошибку. Особый случай имеет место при выполнении одного из следующих условий:
- Если две прямые параллельны, они не пересекаются. При этом переменная «х» просто сократится, а ваше уравнение превратится в бессмысленное равенство (например, 0 = 1 {\displaystyle 0=1} ). В этом случае в ответе запишите, что прямые не пересекаются или решения нет.
- Если оба уравнения описывают одну прямую, то точек пересечения будет бесконечное множество. При этом переменная «х» просто сократится, а ваше уравнение превратится в строгое равенство (например, 3 = 3 {\displaystyle 3=3} ). В этом случае в ответе запишите, что две прямые совпадают.
Задачи с квадратичными функциями
1. Определение квадратичной функции. В квадратичной функции одна или несколько переменных имеют вторую степень (но не выше), например, x 2 {\displaystyle x^{2}} или y 2 {\displaystyle y^{2}} . Графиками квадратичных функций являются кривые, которые могут не пересекаться или пересекаться в одной или двух точках. В этом разделе мы расскажем вам, как найти точку или точки пересечения квадратичных кривых.
2. Перепишите каждое уравнение, обособив переменную «у» на левой стороне уравнения. Другие члены уравнения должны размещаться на правой стороне уравнения.
  - Пример . Найдите точку (точки) пересечения графиков x 2 + 2 x − y = − 1 {\displaystyle x^{2}+2x-y=-1} и
  - Обособьте переменную «у» на левой стороне уравнения:
  - и y = x + 7 {\displaystyle y=x+7} .
  - В этом примере вам дана одна квадратичная функция и одна линейная функция. Помните, что если вам даны две квадратичные функции, вычисления аналогичны шагам, изложенным далее.
3. Приравняйте выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения. Так как на левой стороне каждого уравнения находится переменная «у», то выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения, можно приравнять.
  - Пример . y = x 2 + 2 x + 1 {\displaystyle y=x^{2}+2x+1} и y = x + 7 {\displaystyle y=x+7}
4. Перенесите все члены полученного уравнения на его левую сторону, а на правой стороне запишите 0. Для этого выполните базовые математические операции. Это позволит вам решить полученное уравнение.
  - Пример . x 2 + 2 x + 1 = x + 7 {\displaystyle x^{2}+2x+1=x+7}
  - Вычтите «x» из обеих сторон уравнения:
  - x 2 + x + 1 = 7 {\displaystyle x^{2}+x+1=7}
  - Вычтите 7 из обеих сторон уравнения:
5. Решите квадратное уравнение. Перенеся все члены уравнения на его левую сторону, вы получили квадратное уравнение. Его можно решить тремя способами: при помощи специальной формулы, и .
  - Пример . x 2 + x − 6 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-6=0}
  - При разложении уравнения на множители вы получите два двучлена, при перемножении которых получается исходное уравнение. В нашем примере первый член x 2 {\displaystyle x^{2}} можно разложить на х*х. Сделайте следующую запись: (x)(x) = 0
  - В нашем примере свободный член -6 можно разложить на следующие множители: − 6 ∗ 1 {\displaystyle -6*1} , − 3 ∗ 2 {\displaystyle -3*2} , − 2 ∗ 3 {\displaystyle -2*3} , − 1 ∗ 6 {\displaystyle -1*6} .
  - В нашем примере второй член – это х (или 1x). Сложите каждую пару множителей свободного члена (в нашем примере -6), пока не получите 1. В нашем примере подходящей парой множителей свободного члена являются числа -2 и 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 {\displaystyle -2*3=-6} ), так как − 2 + 3 = 1 {\displaystyle -2+3=1} .
  - Заполните пробелы найденной парой чисел: .
6. Не забудьте про вторую точку пересечения двух графиков. Если вы решаете задачу быстро и не очень внимательно, вы можете забыть про вторую точку пересечения. Вот как найти координаты «х» двух точек пересечения:
  - Пример (разложение на множители) . Если в уравнении (x − 2) (x + 3) = 0 {\displaystyle (x-2)(x+3)=0} одно из выражений в скобках будет равно 0, то все уравнение будет равно 0. Поэтому можно записать так: x − 2 = 0 {\displaystyle x-2=0} → x = 2 {\displaystyle x=2} и x + 3 = 0 {\displaystyle x+3=0} → x = − 3 {\displaystyle x=-3} (то есть вы нашли два корня уравнения).
  - Пример (использование формулы или дополнение до полного квадрата) . При использовании одного из этих методов в процессе решения появится квадратный корень. Например, уравнение из нашего примера примет вид x = (− 1 + 25) / 2 {\displaystyle x=(-1+{\sqrt {25}})/2} . Помните, что при извлечении квадратного корня вы получите два решения. В нашем случае: 25 = 5 ∗ 5 {\displaystyle {\sqrt {25}}=5*5} , и 25 = (− 5) ∗ (− 5) {\displaystyle {\sqrt {25}}=(-5)*(-5)} . Поэтому запишите два уравнения и найдите два значения «х».
7. Графики пересекаются в одной точке или вообще не пересекаются. Такие ситуации имеют место при соблюдении следующих условий:
  - Если графики пересекаются в одной точке, то квадратное уравнение раскладывается на одинаковые множители, например, (х-1) (х-1) = 0, а в формуле появляется квадратный корень из 0 ( 0 {\displaystyle {\sqrt {0}}} ). В этом случае уравнение имеет только одно решение.
  - Если графики вообще не пересекаются, то уравнение на множители не раскладывается, а в формуле появляется квадратный корень из отрицательного числа (например, − 2 {\displaystyle {\sqrt {-2}}} ). В этом случае в ответе напишите, что решения нет.

При решении некоторых геометрических задач методом координат приходится находить координаты точки пересечения прямых. Наиболее часто приходится искать координаты точки пересечения двух прямых на плоскости, однако иногда возникает необходимость в определении координат точки пересечения двух прямых в пространстве. В этой статье мы как раз разберемся с нахождением координат точки, в которой пересекаются две прямые.

Навигация по странице.

Точка пересечения двух прямых – определение.

Давайте для начала дадим определение точки пересечения двух прямых.

В разделе взаимное расположение прямых на плоскости показано, что две прямые на плоскости могут либо совпадать (при этом они имеют бесконечно много общих точек), либо быть параллельными (при этом две прямые не имеют общих точек), либо пересекаться, имея одну общую точку. Вариантов взаимного расположения двух прямых в пространстве больше – они могут совпадать (иметь бесконечно много общих точек), могут быть параллельными (то есть, лежать в одной плоскости и не пересекаться), могут быть скрещивающимися (не лежащими в одной плоскости), а также могут иметь одну общую точку, то есть, пересекаться. Итак, две прямые и на плоскости и в пространстве называются пересекающимися, если они имеют одну общую точку.

Из определения пересекающихся прямых следует определение точки пересечения прямых : точка, в которой пересекаются две прямые, называется точкой пересечения этих прямых. Другими словами, единственная общая точка двух пересекающихся прямых есть точка пересечения этих прямых.

Приведем для наглядности графическую иллюстрацию точки пересечения двух прямых на плоскости и в пространстве.

К началу страницы

Нахождение координат точки пересечения двух прямых на плоскости.

Прежде чем находить координаты точки пересечения двух прямых на плоскости по их известным уравнениям, рассмотрим вспомогательную задачу.

Oxy a и b . Будем считать, что прямой a соответствует общее уравнение прямой вида , а прямой b – вида . Пусть – некоторая точка плоскости, и требуется выяснить, является ли точка М 0 точкой пересечения заданных прямых.

Решим поставленную задачу.

Если M 0 a и b , то по определению она принадлежит и прямой a и прямой b , то есть, ее координаты должны удовлетворять одновременно и уравнению и уравнению . Следовательно, нам нужно подставить координаты точки М 0 в уравнения заданных прямых и посмотреть, получаются ли при этом два верных равенства. Если координаты точки М 0 удовлетворяют обоим уравнениям и , то – точка пересечения прямых a и b , в противном случае М 0 .

Является ли точка М 0 с координатами (2, -3) точкой пересечения прямых 5x-2y-16=0 и2x-5y-19=0 ?

Если М 0 действительно точка пересечения заданных прямых, то ее координаты удовлетворяют уравнениям прямых. Проверим это, подставив координаты точки М 0 в заданные уравнения:

Получили два верных равенства, следовательно, М 0 (2, -3) - точка пересечения прямых5x-2y-16=0 и 2x-5y-19=0 .

Для наглядности приведем чертеж, на котором изображены прямые и видны координаты точки их пересечения.

да, точка М 0 (2, -3) является точкой пересечения прямых 5x-2y-16=0 и 2x-5y-19=0 .

Пересекаются ли прямые 5x+3y-1=0 и 7x-2y+11=0 в точке M 0 (2, -3) ?

Подставим координаты точки М 0 в уравнения прямых, этим действием будем осуществлена проверка принадлежности точки М 0 обеим прямым одновременно:

Так как второе уравнение при подстановке в него координат точки М 0 не обратилось в верное равенство, то точка М 0 не принадлежит прямой 7x-2y+11=0 . Из этого факта можно сделать вывод о том, что точка М 0 не является точкой пересечения заданных прямых.

На чертеже также хорошо видно, что точка М 0 не является точкой пересечения прямых5x+3y-1=0 и 7x-2y+11=0 . Очевидно, заданные прямые пересекаются в точке с координатами (-1, 2) .

М 0 (2, -3) не является точкой пересечения прямых 5x+3y-1=0 и 7x-2y+11=0 .

Теперь можно переходить к задаче нахождения координат точки пересечения двух прямых по заданным уравнениям прямых на плоскости.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy и заданы две пересекающиеся прямые a и b уравнениями и соответственно. Обозначим точку пересечения заданных прямых как М 0 и решим следующую задачу: найти координаты точки пересечения двух прямых a и b по известным уравнениям этих прямых и .

Точка M 0 принадлежит каждой из пересекающихся прямых a и b по определению. Тогда координаты точки пересечения прямых a и b удовлетворяют одновременно и уравнению и уравнению . Следовательно, координаты точки пересечения двух прямых a и b являются решением системы уравнений (смотрите статью решение систем линейных алгебраических уравнений).

Таким образом, чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, определенных на плоскости общими уравнениями, нужно решить систему, составленную из уравнений заданных прямых.

Рассмотрим решение примера.

Найдите точку пересечения двух прямых, определенных в прямоугольной системе координат на плоскости уравнениями x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0 .

Нам даны два общих уравнения прямых, составим из них систему: . Решения полученной системы уравнений легко находятся, если разрешить ее первое уравнение относительно переменной x и подставить это выражение во второе уравнение:

Найденное решение системы уравнений дает нам искомые координаты точки пересечения двух прямых.

M 0 (4, 2) – точка пересечения прямых x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0 .

Итак, нахождение координат точки пересечения двух прямых, определенных общими уравнениями на плоскости, сводится к решению системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными переменными. А как же быть, если прямые на плоскости заданы не общими уравнениями, а уравнениями другого вида (смотрите виды уравнения прямой на плоскости)? В этих случаях можно сначала привести уравнения прямых к общему виду, а уже после этого находить координаты точки пересечения.

Перед нахождением координат точки пересечения заданных прямых приведем их уравнения к общему виду. Переход от параметрических уравнений прямой к общему уравнению этой прямой выглядит следующим образом:

Теперь проведем необходимые действия с каноническим уравнением прямой :

Таким образом, искомые координаты точки пересечения прямых являются решением системы уравнений вида . Используем для ее решения метод Крамера:

M 0 (-5, 1)

Существует еще один способ нахождения координат точки пересечения двух прямых на плоскости. Его удобно применять, когда одна из прямых задана параметрическими уравнениями вида , а другая – уравнением прямой иного вида. В этом случае в другое уравнение вместо переменных x и y можно подставить выражения и , откуда можно будет получить значение , которое соответствует точке пересечения заданных прямых. При этом точка пересечения прямых имеет координаты .

Найдем координаты точки пересечения прямых из предыдущего примера этим способом.

Определите координаты точки пересечения прямых и .

Подставим в уравнение прямой выражения :

Решив полученное уравнение, получаем . Это значение соответствует общей точке прямых и . Вычисляем координаты точки пересечения, подставив в параметрические уравнения прямой:
.

M 0 (-5, 1) .

Для полноты картины следует обговорить еще один момент.

Перед нахождением координат точки пересечения двух прямых на плоскости полезно убедиться в том, что заданные прямые действительно пересекаются. Если выяснится, что исходные прямые совпадают или параллельны, то о нахождении координат точки пересечения таких прямых не может быть и речи.

Можно, конечно, обойтись и без такой проверки, а сразу составить систему уравнений вида и решить ее. Если система уравнений имеет единственное решение, то оно дает координаты точки, в которой исходные прямые пересекаются. Если система уравнений решений не имеет, то можно делать вывод о параллельности исходных прямых (так как не существует такой пары действительных чисел x и y , которая бы удовлетворяла одновременно обоим уравнениям заданных прямых). Из наличия бесконечного множества решений системы уравнений следует, что исходные прямые имеют бесконечно много общих точек, то есть, совпадают.

Рассмотрим примеры, подходящие под эти ситуации.

Выясните, пересекаются ли прямые и , и если пересекаются, то найдите координаты точки пересечения.

Заданным уравнениям прямых соответствуют уравнения и . Решим систему, составленную из этих уравнений .

Очевидно, что уравнения системы линейно выражаются друг через друга (второе уравнение системы получается из первого умножением обеих его частей на 4 ), следовательно, система уравнений имеет бесконечное множество решений. Таким образом, уравнения и определяют одну и ту же прямую, и мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения этих прямых.

уравнения и определяют в прямоугольной системе координатOxy одну и ту же прямую, поэтому мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения.

Найдите координаты точки пересечения прямых и , если это возможно.

Условие задачи допускает, что прямые могут быть не пересекающимися. Составим систему из данных уравнений. Применим для ее решения метод Гаусса, так как он позволяет установить совместность или несовместность системы уравнений, а в случае ее совместности найти решение:

Последнее уравнение системы после прямого хода метода Гаусса обратилось в неверное равенство, следовательно, система уравнений не имеет решений. Отсюда можно сделать вывод, что исходные прямые параллельны, и мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения этих прямых.

Второй способ решения.

Давайте выясним, пересекаются ли заданные прямые.

Нормальный вектор прямой , а вектор является нормальным вектором прямой . Проверим выполнение условия коллинеарности векторов и : равенство верно, так как , следовательно, нормальные векторы заданных прямых коллинеарны. Тогда, эти прямые параллельны или совпадают. Таким образом, мы не можем найти координаты точки пересечения исходных прямых.

координаты точки пересечения заданных прямых найти невозможно, так как эти прямые параллельны.

Найдите координаты точки пересечения прямых 2x-1=0 и , если они пересекаются.

Составим систему из уравнений, которые являются общими уравнениями заданных прямых: . Определитель основной матрицы этой системы уравнений отличен от нуля , поэтому система уравнений имеет единственное решение, что свидетельствует о пересечении заданных прямых.

Для нахождения координат точки пересечения прямых нам нужно решить систему:

Полученное решение дает нам координаты точки пересечения прямых, то есть, - точка пересечения прямых 2x-1=0 и .

К началу страницы

Нахождение координат точки пересечения двух прямых в пространстве.

Координаты точки пересечения двух прямых в трехмерном пространстве находятся аналогично.

Пусть пересекающиеся прямые a и b заданы в прямоугольной системе координат Oxyz уравнениями двух пересекающихся плоскостей, то есть, прямая a определяется системой вида , а прямая b - . Пусть М 0 – точка пересечения прямых a и b . Тогда точка М 0 по определению принадлежит и прямой a и прямойb , следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнениям обеих прямых. Таким образом, координаты точки пересечения прямых a и b представляют собой решение системы линейных уравнений вида . Здесь нам пригодится информация из разделарешение систем линейных уравнений, в которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных переменных.

Рассмотрим решения примеров.

Найдите координаты точки пересечения двух прямых, заданных в пространстве уравнениями и .

Составим систему уравнений из уравнений заданных прямых: . Решение этой системы даст нам искомые координаты точки пересечения прямых в пространстве. Найдем решение записанной системы уравнений.

Основная матрица системы имеет вид , а расширенная - .

Определим ранг матрицы А и ранг матрицы T . Используем метод окаймляющих миноров, при этом не будем подробно описывать вычисление определителей (при необходимости обращайтесь к статье вычисление определителя матрицы):

Таким образом, ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен трем.

Следовательно, система уравнений имеет единственное решение.

Базисным минором примем определитель , поэтому из системы уравнений следует исключить последнее уравнение, так как оно не участвует в образовании базисного минора. Итак,

Решение полученной системы легко находится:

Таким образом, точка пересечения прямых и имеет координаты (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Следует отметить, что система уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда прямые a и b пересекаются. Если же прямые а и b параллельные или скрещивающиеся, то последняя система уравнений решений не имеет, так как в этом случае прямые не имеют общих точек. Если прямые a и b совпадают, то они имеют бесконечное множество общих точек, следовательно, указанная система уравнений имеет бесконечное множество решений. Однако в этих случаях мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения прямых, так как прямые не являются пересекающимися.

Таким образом, если мы заранее не знаем, пересекаются заданные прямые a и b или нет, то разумно составить систему уравнений вида и решить ее методом Гаусса. Если получим единственное решение, то оно будет соответствовать координатам точки пересечения прямых a и b . Если система окажется несовместной, то прямые a и b не пересекаются. Если же система будет иметь бесконечное множество решений, то прямые a и b совпадают.

Можно обойтись и без использования метода Гаусса. Как вариант, можно вычислить ранги основной и расширенной матриц этой системы, и на основании полученных данных и теоремы Кронекера-Капелли сделать вывод или о существовании единственного решения, или о существовании множества решений, или об отсутствии решений. Это дело вкуса.

Если прямые и пересекаются, то определите координаты точки пересечения.

Составим систему из заданных уравнений: . Решим ее методом Гаусса в матричной форме:

Стало видно, что система уравнений не имеет решений, следовательно, заданные прямые не пересекаются, и не может быть и речи о поиске координат точки пересечения этих прямых.

мы не можем найти координаты точки пересечения заданных прямых, так как эти прямые не пересекаются.

Когда пересекающиеся прямые заданы каноническими уравнениями прямой в пространствеили параметрическими уравнениями прямой в пространстве, то следует сначала получить их уравнения в виде двух пересекающихся плоскостей, а уже после этого находить координаты точки пересечения.

Две пересекающиеся прямые заданы в прямоугольной системе координат Oxyz уравнениями и . Найдите координаты точки пересечения этих прямых.

Зададим исходные прямые уравнениями двух пересекающихся плоскостей:

Для нахождения координат точки пересечения прямых осталось решить систему уравнений . Ранг основной матрицы этой системы равен рангу расширенной матрицы и равен трем (рекомендуем проверить этот факт). В качестве базисного минора примем , следовательно, из системы можно исключить последнее уравнение . Решив полученную систему любым методом (например методом Крамера) получаем решение . Таким образом, точка пересечения прямых и имеет координаты (-2, 3, -5) .