Производная функции. Альтернативный физический смысл производной понятие, определение, истинная сущность дифференциал

Что такое производная?
Определение и смысл производной функции

Многие удивятся неожиданному расположению этой статьи в моём авторском курсе о производной функции одной переменной и её приложениях. Ведь как оно было ещё со школы: стандартный учебник в первую очередь даёт определение производной, её геометрический, механический смысл. Далее учащиеся находят производные функций по определению, и, собственно, только потом оттачивается техника дифференцирования с помощью таблицы производных .

Но с моей точки зрения, более прагматичен следующий подход: прежде всего, целесообразно ХОРОШО ПОНЯТЬ предел функции , и, в особенности, бесконечно малые величины . Дело в том, что определение производной базируется на понятии предела , которое слабо рассмотрено в школьном курсе. Именно поэтому значительная часть молодых потребителей гранита знаний плохо вникают в саму суть производной. Таким образом, если вы слабо ориентируетесь в дифференциальном исчислении либо мудрый мозг за долгие годы успешно избавился от оного багажа, пожалуйста, начните с пределов функций . Заодно освоите/вспомните их решение.

Тот же практический смысл подсказывает, что сначала выгодно научиться находить производные , в том числе производные сложных функций . Теория теорией, а дифференцировать, как говорится, хочется всегда. В этой связи лучше проработать перечисленные базовые уроки, а может и стать мастером дифференцирования , даже не осознавая сущности своих действий.

К материалам данной страницы рекомендую приступать после ознакомления со статьёй Простейшие задачи с производной , где, в частности рассмотрена задача о касательной к графику функции. Но можно и повременить. Дело в том, что многие приложения производной не требуют её понимания, и неудивительно, что теоретический урок появился достаточно поздно – когда мне потребовалось объяснять нахождение интервалов возрастания/убывания и экстремумов функции. Более того, он довольно долго находился в теме «Функции и графики », пока я всё-таки не решил поставить его раньше.

Поэтому, уважаемые чайники, не спешите поглощать суть производной, как голодные звери, ибо насыщение будет невкусным и неполным.

Понятие возрастания, убывания, максимума, минимума функции

Многие учебные пособия подводят к понятию производной с помощью каких-либо практических задач, и я тоже придумал интересный пример. Представьте, что нам предстоит путешествие в город, до которого можно добраться разными путями. Сразу откинем кривые петляющие дорожки, и будем рассматривать только прямые магистрали. Однако прямолинейные направления тоже бывают разными: до города можно добраться по ровному автобану. Или по холмистому шоссе – вверх-вниз, вверх-вниз. Другая дорога идёт только в гору, а ещё одна – всё время под уклон. Экстремалы выберут маршрут через ущелье с крутым обрывом и отвесным подъемом.

Но каковы бы ни были ваши предпочтения, желательно знать местность или, по меньшей мере, располагать её топографической картой. А если такая информация отсутствует? Ведь можно выбрать, например, ровный путь, да в результате наткнуться на горнолыжный спуск с весёлыми финнами. Не факт, что навигатор и даже спутниковый снимок дадут достоверные данные. Поэтому неплохо бы формализовать рельеф пути средствами математики.

Рассмотрим некоторую дорогу (вид сбоку):

На всякий случай напоминаю элементарный факт: путешествие происходит слева направо . Для простоты полагаем, что функция непрерывна на рассматриваемом участке.

Какие особенности у данного графика?

На интервалах функция возрастает , то есть каждое следующее её значение больше предыдущего. Грубо говоря, график идёт снизу вверх (забираемся на горку). А на интервале функция убывает – каждое следующее значение меньше предыдущего, и наш график идёт сверху вниз (спускаемся по склону).

Также обратим внимание на особые точки. В точке мы достигаем максимума , то есть существует такой участок пути, на котором значение будет самым большим (высоким). В точке же достигается минимум , и существует такая её окрестность, в которой значение самое маленькое (низкое).

Более строгую терминологию и определения рассмотрим на уроке об экстремумах функции , а пока изучим ещё одну важную особенность: на промежутках функция возрастает, но возрастает она с разной скоростью . И первое, что бросается в глаза – на интервале график взмывает вверх гораздо более круто , чем на интервале . Нельзя ли измерить крутизну дороги с помощью математического инструментария?

Скорость изменения функции

Идея состоит в следующем: возьмём некоторое значение (читается «дельта икс») , которое назовём приращением аргумента , и начнём его «примерять» к различным точкам нашего пути:

1) Посмотрим на самую левую точку: минуя расстояние , мы поднимаемся по склону на высоту (зелёная линия). Величина называется приращением функции , и в данном случае это приращение положительно (разность значений по оси – больше нуля). Составим отношение , которое и будет мерИлом крутизны нашей дороги. Очевидно, что – это вполне конкретное число, и, поскольку оба приращения положительны, то .

Внимание! Обозначение являются ЕДИНЫМ символом, то есть нельзя «отрывать» «дельту» от «икса» и рассматривать эти буквы отдельно. Разумеется, комментарий касается и символа приращения функции.

Исследуем природу полученной дроби содержательнее. Пусть изначально мы находимся на высоте 20 метров (в левой чёрной точке). Преодолев расстояние метров (левая красная линия), мы окажемся на высоте 60 метров. Тогда приращение функции составит метров (зелёная линия) и: . Таким образом, на каждом метре этого участка дороги высота увеличивается в среднем на 4 метра …не забыли альпинистское снаряжение? =) Иными словами, построенное отношение характеризует СРЕДНЮЮ СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ (в данном случае – роста) функции.

Примечание : числовые значения рассматриваемого примера соответствуют пропорциям чертежа лишь приблизительно.

2) Теперь пройдём то же самое расстояние от самой правой чёрной точки. Здесь подъём более пологий, поэтому приращение (малиновая линия) относительно невелико, и отношение по сравнению с предыдущим случаем будет весьма скромным. Условно говоря, метров и скорость роста функции составляет . То есть, здесь на каждый метр пути приходится в среднем пол метра подъёма.

3) Маленькое приключение на склоне горы. Посмотрим на верхнюю чёрную точку, расположенную на оси ординат. Предположим, что это отметка 50 метров. Снова преодолеваем расстояние , в результате чего оказываемся ниже – на уровне 30-ти метров. Поскольку осуществлено движение сверху вниз (в «противоход» направлению оси ), то итоговое приращение функции (высоты) будет отрицательным : метров (коричневый отрезок на чертеже). И в данном случае речь уже идёт о скорости убывания функции: , то есть за каждый метр пути этого участка высота убывает в среднем на 2 метра. Берегите одежду на пятой точке.

Теперь зададимся вопросом: какое значение «измерительного эталона» лучше всего использовать? Совершенно понятно, 10 метров – это весьма грубо. На них запросто уместится добрая дюжина кочек. Да что там кочки, внизу может быть глубокое ущелье, а через несколько метров – другая его сторона с дальнейшим отвесным подъёмом. Таким образом, при десятиметровом мы не получим вразумительной характеристики подобных участков пути посредством отношения .

Из проведённого рассуждения следует вывод – чем меньше значение , тем точнее мы опишем рельеф дороги. Более того, справедливы следующие факты:

– Для любой точки подъемов можно подобрать значение (пусть и очень малое), которое умещается в границах того или иного подъёма. А это значит, что соответствующее приращение высоты будет гарантированно положительным, и неравенство корректно укажет рост функции в каждой точке этих интервалов.

– Аналогично, для любой точки склона существует значение , которое полностью уместится на этом склоне. Следовательно, соответствующее приращение высоты однозначно отрицательно, и неравенство корректно покажет убыль функции в каждой точке данного интервала.

– Особо интересен случай, когда скорость изменения функции равна нулю: . Во-первых, нулевое приращение высоты () – признак ровного пути. А во-вторых, есть другие любопытные ситуации, примеры которых вы видите на рисунке. Представьте, что судьба завела нас на самую вершину холма с парящими орлами или дно оврага с квакающими лягушками. Если сделать небольшой шажок в любую сторону, то изменение высоты будет ничтожно мало, и можно сказать, что скорость изменения функции фактически нулевая. В точках наблюдается именно такая картина.

Таким образом, мы подобрались к удивительной возможности идеально точно охарактеризовать скорость изменения функции. Ведь математический анализ позволяет устремить приращение аргумента к нулю: , то есть сделать его бесконечно малым .

По итогу возникает ещё один закономерный вопрос: можно ли для дороги и её графика найти другую функцию , которая сообщала бы нам обо всех ровных участках, подъёмах, спусках, вершинах, низинах, а также о скорости роста/убывания в каждой точке пути?

Что такое производная? Определение производной.
Геометрический смысл производной и дифференциала

Пожалуйста, прочитайте вдумчиво и не слишком быстро – материал прост и доступен каждому! Ничего страшного, если местами что-то покажется не очень понятным, к статье всегда можно вернуться позже. Скажу больше, теорию полезно проштудировать несколько раз, чтобы качественно уяснить все моменты (совет особенно актуален для студентов-«технарей», у которых высшая математика играет значительную роль в учебном процессе).

Естественно, и в самом определении производной в точке заменим на :

К чему мы пришли? А пришли мы к тому, что для функции по закону ставится в соответствие другая функция , которая называется производной функцией (или просто производной) .

Производная характеризует скорость изменения функции . Каким образом? Мысль идёт красной нитью с самого начала статьи. Рассмотрим некоторую точку области определения функции . Пусть функция дифференцируема в данной точке. Тогда:

1) Если , то функция возрастает в точке . И, очевидно, существует интервал (пусть даже очень малый), содержащий точку , на котором функция растёт, и её график идёт «снизу вверх».

2) Если , то функция убывает в точке . И существует интервал, содержащий точку , на котором функция убывает (график идёт «сверху вниз»).

3) Если , то бесконечно близко около точки функция сохраняет свою скорость постоянной. Так бывает, как отмечалось, у функции-константы и в критических точках функции , в частности в точках минимума и максимума .

Немного семантики. Что в широком смысле обозначает глагол «дифференцировать»? Дифференцировать – это значит выделить какой-либо признак. Дифференцируя функцию , мы «выделяем» скорость её изменения в виде производной функции . А что, кстати, понимается под словом «производная»? Функция произошла от функции .

Термины весьма удачно истолковывает механический смысл производной :
Рассмотрим закон изменения координаты тела , зависящий от времени , и функцию скорости движения данного тела . Функция характеризует скорость изменения координаты тела, поэтому является первой производной функции по времени: . Если бы в природе не существовало понятия «движение тела», то не существовало бы и производного понятия «скорость тела».

Ускорение тела – это скорость изменения скорости, поэтому: . Если бы в природе не существовало исходных понятий «движение тела» и «скорость движения тела», то не существовало бы и производного понятия «ускорение тела».

Многие удивятся неожиданному расположению этой статьи в моём авторском курсе о производной функции одной переменной и её приложениях. Ведь как оно было ещё со школы: стандартный учебник в первую очередь даёт определение производной, её геометрический, механический смысл. Далее учащиеся находят производные функций по определению, и, собственно, только потом оттачивается техника дифференцирования с помощью таблицы производных .

Но с моей точки зрения, более прагматичен следующий подход: прежде всего, целесообразно ХОРОШО ПОНЯТЬ предел функции , и, в особенности,бесконечно малые величины . Дело в том, что

определение производной базируется на понятии предела, которое слабо рассмотрено в школьном курсе. Именно поэтому значительная часть молодых потребителей гранита знаний плохо вникают в саму суть производной. Таким образом, если вы слабо ориентируетесь в дифференциальном исчислении либо мудрый мозг за долгие годы успешно избавился от оного багажа, пожалуйста, начните с пределов функций. Заодно освоите/вспомните их решение.

Тот же практический смысл подсказывает, что сначала выгодно

научиться находить производные, в том числе производные сложных функций. Теория теорией, а дифференцировать, как говорится, хочется всегда. В этой связи лучше проработать перечисленные базовые уроки, а может и стать мастером дифференцирования, даже не осознавая сущности своих действий.

К материалам данной страницы рекомендую приступать после ознакомления со статьёй Простейшие задачи с производной , где, в частности рассмотрена задача о касательной к графику функции. Но можно и повременить. Дело в том, что многие приложения производной не требуют её понимания, и неудивительно, что теоретический урок появился достаточно поздно – когда мне потребовалось объяснятьнахождение интервалов возрастания/убывания и экстремумов функции. Более того, он довольно долго находился в теме «Функции и графики », пока я всётаки не решил поставить его раньше.

Поэтому, уважаемые чайники, не спешите поглощать суть производной, как голодные звери, ибо насыщение будет невкусным и неполным.

Понятие возрастания, убывания, максимума, минимума функции

Многие учебные пособия подводят к понятию производной с помощью каких-либо практических задач, и я тоже придумал интересный пример. Представьте, что нам предстоит путешествие в город, до которого можно добраться разными путями. Сразу откинем кривые петляющие дорожки, и будем рассматривать только прямые магистрали. Однако прямолинейные направления тоже бывают разными: до города можно добраться по ровному автобану. Или по холмистому шоссе – вверх-вниз, вверх-вниз. Другая дорога идёт только в гору, а ещё одна – всё время под уклон. Экстремалы выберут маршрут через ущелье с крутым обрывом и отвесным подъемом.

Но каковы бы ни были ваши предпочтения, желательно знать местность или, по меньшей мере, располагать её топографической картой. А если такая информация отсутствует? Ведь можно выбрать, например, ровный путь, да в результате наткнуться на горнолыжный спуск с весёлыми финнами. Не факт, что навигатор и даже

спутниковый снимок дадут достоверные данные. Поэтому неплохо бы формализовать рельеф пути средствами математики.

Рассмотрим некоторую дорогу (вид сбоку):

На всякий случай напоминаю элементарный факт: путешествие происходит слева направо . Для простоты полагаем, что функциянепрерывна на рассматриваемом участке.

Какие особенности у данного графика?

На интервалах функциявозрастает , то есть каждое следующее её значениебольше предыдущего. Грубо говоря, график идётснизу вверх (забираемся на горку). А на интервалефункцияубывает – каждое следующее значениеменьше предыдущего, и наш график идётсверху вниз (спускаемся по склону).

Также обратим внимание на особые точки. В точке мы

достигаем максимума , то естьсуществует такой участок пути, на котором значениебудет самым большим (высоким). В точке жедостигаетсяминимум , исуществует такая её окрестность, в которой значениесамое маленькое (низкое).

Более строгую терминологию и определения рассмотрим на уроке об экстремумах функции , а пока изучим ещё одну важную особенность: на промежуткахфункция возрастает, но возрастает онас разной скоростью . И первое, что бросается в глаза – на интервалеграфик взмывает вверхгораздо более круто , чем на интервале. Нельзя ли измерить крутизну дороги с помощью математического инструментария?

Скорость изменения функции

Идея состоит в следующем: возьмём некоторое значение

(читается «дельта икс»), которое назовём приращением аргумента , и начнём его «примерять» к различным точкам нашего пути:

1) Посмотрим на самую левую точку: минуя расстояние , мы поднимаемся по склону на высоту(зелёная линия). Величинаназываетсяприращением функции , и в данном случае это приращение положительно (разность значений по оси– больше

нуля). Составим отношение , которое и будет мерИлом крутизны нашей дороги. Очевидно, что– это вполне конкретное число, и, поскольку оба приращения положительны, то.

Внимание! ОбозначениеявляютсяЕДИНЫМ символом, то есть нельзя «отрывать» «дельту» от «икса» и рассматривать эти буквы отдельно. Разумеется, комментарий касается и символа приращения функции.

Исследуем природу полученной дроби содержательнее. Пусть

изначально мы находимся на высоте 20 метров (в левой чёрной точке). Преодолев расстояние метров (левая красная линия), мы окажемся на высоте 60 метров. Тогда приращение функции составит

метров (зелёная линия) и:. Таким

образом, на каждом метре этого участка дорогивысота увеличивается в среднем на 4 метра …не забыли альпинистское снаряжение? =) Иными словами, построенное отношение характеризует СРЕДНЮЮ СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ (в данном случае – роста) функции.

Примечание : числовые значения рассматриваемого примера соответствуют пропорциям чертежа лишь приблизительно.

2) Теперь пройдём то же самое расстояние от самой правой чёрной точки. Здесь подъём более пологий, поэтому приращение

(малиновая линия) относительно невелико, и отношение по

сравнению с предыдущим случаем будет весьма скромным. Условно говоря, метров искорость роста функции

составляет . То есть, здесь на каждый метр пути приходитсяв среднем пол метра подъёма.

3) Маленькое приключение на склоне горы. Посмотрим на верхнюю чёрную точку, расположенную на оси ординат. Предположим, что это отметка 50 метров. Снова преодолеваем расстояние , в результате чего оказываемся ниже – на уровне 30-ти метров. Поскольку осуществлено движениесверху вниз (в «противоход» направлению оси), то итоговоеприращение функции (высоты) будет отрицательным :метров (коричневый отрезок на чертеже). И в данном случае речь уже идёт оскорости

убывания функции:, то есть за каждый метр пути

этого участка высота убывает в среднем на 2 метра. Берегите одежду на пятой точке.

Теперь зададимся вопросом: какое значение «измерительного эталона» лучше всего использовать? Совершенно понятно, 10 метров – это весьма грубо. На них запросто уместится добрая дюжина кочек. Да что там кочки, внизу может быть глубокое ущелье, а через несколько метров – другая его сторона с дальнейшим отвесным подъёмом. Таким образом, при десятиметровоммы не получим вразумительной характеристики подобных участков пути посредством

отношения .

Из проведённого рассуждения следует вывод – чем меньше значение , тем точнее мы опишем рельеф дороги. Более того, справедливы

1.1 Некоторые задачи физики 3

2. Производная

2.1 Скорость изменения функции 6

2.2 Производная функция 7

2.3 Производная степенной функции 8

2.4 Геометрический смысл производной 10

2.5 Дифференцирование функций

2.5.1 Дифференцирование результатов арифметических действий 12

2.5.2 Дифференцирование сложной и обратной функций 13

2.6 Производные параметрически заданных функций 15

3. Дифференциал

3.1 Дифференциал и его геометрический смысл 18

3.2 Свойства дифференциала 21

4. Заключение

4.1 Приложение 1. 26

4.2 Приложение 2. 29

5. Список использованной литературы 32

1.Введение

1.1Некоторые задачи физики. Рассмотрим простые физические явления: прямолинейное движение и линейное распределение массы. Для изучения их вводят соответственно скорость движения и плотность.

Разберем такое явление, как скорость движения и связанные с ним понятия.

Пусть тело совершает прямолинейное движение и нам известно расстояние , проходимое телом за каждое данное время , т. е. нам известно расстояние как функция времени :

Уравнение
называется уравнением движения, а определяемая им линия в системе осей
- графиком движения.

Рассмотрим движение тела в течение интервала времени
от некоторого момента до момента
. За время тело прошло путь а за время - путь
. Значит, за единиц времени оно прошло путь

Если движение равномерное, то есть линейная функция :

В этом случае , и отношение
показывает, сколько единиц пути приходится на единицу времени ; при этом оно остается постоянным, независящим ни от того, какой момент времени берется, ни от того, какое взято приращение времени . Это постоянное отношение называют скоростью равномерного движения.

Но если движение неравномерное, то отношение зависит

от , и от . Оно называется средней скоростью движения в интервале времени от до и обозначается через :

В течение этого интервала времени при одном и том же пройденном расстоянии движение может происходить самым различным образом; графически это иллюстрируется тем, что между двумя точками на плоскости (точки
на рис. 1) можно провести самые различные линии
- графики движений в данном интервале времени, причем всем этим разнообразным движениям соответствует одна и та же средняя скорость .

В частности, между точками проходит прямолинейный отрезок
, являющийся графиком равномерного в интервале
движения. Значит, средняя скорость показывает, с какой скоростью нужно двигаться равномерно для того, чтобы пройти за этот же интервал времени то же расстояние
.

Оставляя прежним , уменьшим . Средняя скорость, подсчитанная для измененного интервала
, лежащего внутри данного интервала, может быть, разумеется, иной, чем во; всем интервале . Из этого следует, что среднюю скорость нельзя рассматривать как удовлетворительную характеристику движения: она (средняя скорость) зависит от интервала, для которого производится расчет. Исходя из того, что среднюю скорость в интервале следует считать тем лучше характеризующей движение, чем меньше , заставим стремиться к нулю. Если при этом существует предел средней скорости , то его и принимают в качестве скорости движения в данный момент .

Определение . Скоростью прямолинейного движения в данный момент времени называется предел средней скорости , соответствующей интервалу , при стремлении к нулю:

Пример. Запишем закон свободного падения:

.

Для средней скорости падения в интервале времени имеем

а для скорости в момент

.

Отсюда видно, что скорость свободного падения пропорциональна времени движения (падения).

2.Производная

Скорость изменения функции. Производная функция. Производная степенной функции.

2.1 Скорость изменения функции. Каждое из четырех специальных понятий: скорость движения, плотность, теплоемкость,

скорость химической реакции, несмотря на существенное различие их физического смысла, является с математической точки зрения, как легко заметить, одной и той же характеристикой соответствующей функции. Все они представляют собой частные виды так называемой скорости изменения функции, определяемой, так же как и перечисленные специальные понятия, с помощью понятия предела.

Разберем поэтому в общем виде вопрос о скорости изменения функции
, отвлекаясь от физического смысла переменных
.

Пусть сначала
- линейная функция:

.

Если независимая переменная получает приращение
, то функция получает здесь приращение
. Отношение
остается постоянным, не зависящим ни от того, при каком функция рассматривается, ни от того, какое взято .

Это отношение называется скоростью изменения линейной функции. Но если функция не линейная, то отношение

зависит и от , и от . Это отношение только «в среднем» характеризует функцию при изменении независимой переменкой от данного до
; оно равно скорости такой линейной функции, которая при взятом имеет то же приращение
.

Определение. Отношение называется средней скоростью изменения функции в интервале
.

Ясно что чем меньше рассматриваемый интервал, тем лучше средняя скорость характеризует изменение функции, поэтому мы заставляем стремиться к нулю. Если при этом существует предел средней скорости, то он принимается в качестве меры, скорость изменения функции при данном , и называется скоростью изменения функции.

Определение . Скоростью изменения функции в данной точке называется предел средней скорости изменения функции в интервале при стремлении к нулю:

2.2 Производная функция. Скорость изменения функции

определяется посредством такой последовательности действий:

1) по приращению , придаваемому данному значению , находится соответствующее приращение функции

;

2) составляется отношение ;

3) находится предел этого отношения (если он существует)

при произвольном стремлении к нулю.

Как уже отмечалось, если данная функция не линейная,

то отношение зависит и от , и от . Предел этого отношения зависит только от выбранного значения и является, следовательно, функцией от . Если же функция линейная, то рассматриваемый предел не зависит и от , т. е. будет величиной постоянной.

Указанный предел называется производной функцией от функции или просто производной от функции и обозначается так:
.Читается: «эф штрих от » или «эф прим от ».

Определение . Производной данной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при произвольном стремлении, этого приращения к нулю:

.

Значение производной функции в какой-либо данной точке обозначается обычно
.

Пользуясь введенным определением производной, можно сказать, что:

1) Скорость прямолинейного движения есть производная от

функции по (производная от пути по времени).

2.3 Производная степенной функции.

Найдем производные от некоторых простейших функций.

Пусть
. Имеем

,

т. е. производная
есть постоянная величина, равная 1. Это очевидно, ибо - линейная функция и скорость ее изменения постоянна.

Если
, то

Пусть
, тогда

Легко заметить закономерность в выражениях производных от степенной функции
при
. Докажем, что и вообще производная от при любом целом положительном показателе равна
.

.

Выражение, стоящее в числителе, преобразуем по формуле бинома Ньютона:

В правой части последнего равенства стоит сумма слагаемых, первое из которых не зависит от , а остальные стремятся к нулю вместе с . Поэтому

.

Итак, степенная функция при целом положительном имеет производную, равную :

.

При
из найденной общей формулы следуют формулы, выведенные выше.

Этот результат верен для любого показателя , например:

.

Рассмотрим теперь отдельно производную от постоянной величины

.

Так как эта функция не изменяется с изменением независимой переменной, то
. Следовательно,

,

т. е. производная постоянной равна нулю.

2.4 Геометрический смысл производной.

Производная от функции имеет очень простой и наглядный геометрический смысл, который тесно связан с понятием касательной к линии.

Определение . Касательной
к линии
в ее точке
 (рис. 2). называется предельное положение прямой, проходящей через точку , и другую точку
линии, когда эта точка стремится слиться с данной точкой .




.Учебное пособие

Есть средняя скорость изменения функции в направлении прямой. 1 называется производной функции в направлении и обозначается. Итак, - (1) - скорость изменения функции в точке...

  • Предел и непрерывность функции

    Исследование

    Физический смысл производной. Производная характеризует скорость изменения одной физической величины по отношению... . При каком значении аргумента равны скорости изменения функций и Решение. , и, и. Используя физический смысл производной...

  • Понятие функции одного переменного и способы задания функций

    Документ

    Понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции ; П. есть функция , определяемая для каждого х... непрерывную производную (дифференциальное исчисление, характеризующее скорость изменения функции в данной точке). Тогда и...

  • § 5 Частные производные сложных функций дифференциалы сложных функций 1 Частные производные сложной функции

    Документ

    Он существует и конечен) будет являться скоростью изменения функции в точке в направлении вектора. Его... и обозначают или. Помимо величины скорости изменения функции , позволяет определить и характер изменения функции в точке в направлении вектора...

    • Альтернативный физический смысл понятия производной функции.

    Николай Брылёв

    Статья для думающих самостоятельно. Для тех, кто не может понять, как можно познавать при помощи непознаваемого и по этой причине не может согласиться с введением в инструментарий познания непознаваемых понятий: "бесконечность", "устемление к нулю", "бесконечно малое", "окрестность точки" и т.п.

    Цель данной статьи не охаить идею введения в математику и физику весьма полезного фундаментального понятия производная функции (дифференциал), а глубоко разобраться в его физическом смысле, исходя из общих глобальных зависимостей естествознания. Цель - наделить понятие производной функции (дифференциал) причинно-следственной структурой и глубоким смыслом физики взаимодействий . Этот смысл сегодня невозможно угадать, ибо общепринятое понятие подогнано под условно-формальный, нестрогий, математический подход дифференциального исчисления.

    1.1 Классическое понятие производной функции.

    Для начала, обратимся к повсеместно употребляемому, общепринятому, бытующему уже почти три века, ставшему классическим, математическому понятию (определению) производной функции (дифференциала) .

    Разъясняется это понятие во всех многочисленных учебниках одинаково и приблизительно так.

    Пусть величина u зависит от аргумента х как u = f (x ). Если f (x ) была зафиксирована в двух точках значениях аргумента: x 2 , x 1, , то мы получаем величины u 1 = f (x 1 ), и u 2 = f (x 2 ). Разность двух значений аргумента x 2 , x 1 назовём приращением аргумента и обозначим как Δ x = x 2 - x 1 (следовательно, x 2 = x 1 +Δ x) . Если аргумент изменился на Δ x = x 2 - x 1, , то функция изменилась (приросла) как разность двух значений функции u 1 = f (x 1 ), u 2 = f (x 2 ) на величину приращения функции Δf . Записывается обычно так:

    Δf = u 1 - u 2 = f (x 2 )- f (x 1 ) . Или с учётом что x 2 = x 1 +Δ x , можно записать, что изменение функции равно Δf = f (x 1 + Δx )- f (x 1 ). И это изменение произошло, естественно, на области возможных значений функции x 2 и x 1, .

    Считается, что если величины x 2 и x 1, бесконечно близки по величине друг к другу, тогда Δ x = x 2 - x 1, - бесконечно мало .

    Определение производной : Производной функции f (x ) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции Δ f в этой точке к приращению аргумента Δх , когда последнее стремится к нулю (бесконечно мало). Записывается так.

    Lim Δx →0 (Δf (x 0)/Δx )=lim Δx →0 ((f (x +Δx )-f (x 0))/Δx )=f ` (x 0)

    Нахождение производной называется дифференцированием . Вводится определение дифференцируемой функции : Функция f , имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой на данном промежутке.

    1.2 Общепринятый физический смысл производной функции

    А теперь об общепринятом физическом смысле производной .

    О её так называемом физическом , а точнее псевдофизическом и геометрическом смыслах можно также прочесть в любом учебнике по математике (матанализу , дифференциальному исчислению). Резюмирую коротко их содержание по тематике о её физической сущности :

    Физический смысл производной x `(t ) от непрерывной функции x (t ) в точке t 0 – есть мгновенная скорость изменения величины функции, при условии, что изменение аргумента Δ t стремится к нулю.

    А разъясняться ученикам данный физический смысл учителями может, к примеру, так.

    Представьте, что вы летите в самолёте и у вас на руке часы. Когда Вы летите, Вы ведь имеете скорость равную скорости самолёта?, - обращается учитель к аудитории.

    Да!, - отвечают ученики.

    А какая скорость у Вас и у самолёта в каждый момент времени на Ваших часах?

    Скорость, равная скорости самолёта!, - хором отвечают хорошисты и отличники.

    Не совсем так, – разъясняет учитель. – Скорость, как физическое понятие, это путь самолёта, пройденный за единицу времени (например, за час (км /час)), а у Вас, когда Вы взглянули на часы прошло только мгновение. Таким образом, мгновенная скорость (величина пути, пройденного за мгновение) и есть производная величина от функции, описывающей путь самолёта по времени. Мгновенная скорость - это и есть физический смысл производной.

    1.3 Проблемы строгости методологии формирования математического понятия производной функции.

    Аудитория учащихся, приученная системой образования безропотно, сразу и целиком усваивать сомнительные истины, как правило, не задаёт больше вопросов учителю о понятии и физическом смысле производной . Но пытливый, глубоко и самостоятельно размышляющий человек не может сие усвоить как строгую научную истину. Он непременно задаст ряд вопросов, на которые аргументированного ответа от учителя любого ранга явно не дождётся. Вопросы таковы.

    1. Являются ли точными (корректными, научными, имеющими объективную величину, причинную сущность) такие понятия (выражения) «точной» науки - математики как: мгновение – бесконечно малая величина, устремление к нулю, устремление в бесконечность, малость, бесконечность, устремление ? Как можно познавать некую сущность в величине изменения, оперируя при этом непознаваемыми понятиями , не имеющими величины? Ещё Великий Аристотель (384–322 г до н.э.) в 4 главе трактата «ФИЗИКА», из глуби веков, вещал: "Если бесконечное, поскольку оно бесконечно, непознаваемо, то и бесконечное по количеству или величине непознаваемо, сколь оно велико, и бесконечное по виду непознаваемо, каково оно по качеству. Поскольку начала бесконечны и по количеству и по виду, то познать образованные из них [вещи] невозможно: ведь мы только тогда полагаем, что познали сложную вещь, когда узнаем, из каких и из скольких [начал] она состоит..." Аристотель, "Физика",4 гл..

    2. Как может производная иметь физический смысл тождественный какой-то мгновенной скорости, если мгновенная скорость это не физическое понятие, а весьма условное, "неточное" понятие математики, ибо это предел функции, а предел это условное математическое понятие?

    3. Почему математическое понятие точки, имеющее только одно свойство - координату (не имеющее других свойств: размер, площадь, интервал) подменяется в математическом определении производной понятием окрестность точки, фактически имеющей интервал, только неопределённый по величине. Ибо в понятии производной фактически отождествлены и приравнены понятия и величины Δ x = x 2 - x 1, и x 0 .

    4. Корректно ли вообще физический смысл объяснять математическими понятиями, не имеющими физического смысла?

    5. Почему причинно-следственная зависимость (функция) , зависящая от причины (аргумента, свойства, параметра) должна сама по себе иметь конечный конкретный определённый в величине предел изменения (следствия) при неопределённо – малом, не имеющем величины изменении величины причины?

    6. Существуют в математике функции, не имеющие производной (недифференцируемые функции в негладком анализе). Это значит, что в этих функциях при изменении своего аргумента (своего параметра, свойства) функция (математический объект) не изменяется. Но ведь не существует в природе объектов, которые бы не изменялись при изменении их собственных свойств. Почему же математика может позволить себе такую вольность, как использование математической модели не учитывающей основополагающие причинно-следственные связи мироздания?

    Отвечу. В предложенном, классическом, бытующем в математике понятии – мгновенная скорость, производная, физического и вообще научного, корректного смысла нет и быть не может в силу ненаучности некорректности и непознаваемости употребляемых для сего понятий! Его нет и в понятии «бесконечность», и в понятии «мгновение», и в понятии «устремление к нулю или в бесконечность».

    Но истинный, очищенный от нестрогих понятий современной физики и математики (устремление к нулю, бесконечно малая величина, бесконечность и т.п.)

    ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ СУЩЕСТВУЕТ!

    Вот об этом и пойдёт сейчас речь.

    1.4 Истинный физический смысл и причинная структура производной.

    Для того, что бы разобраться в физической сущности, «стряхнуть с ушей толстый слой многовековой лапшы », навешенной ещё Готфридом Лейбницем (1646-1716) и его последователями, придётся, как обычно, обратиться к методологии познания и строгим базовым принципам. Правда, следует заметить, что благодаря господствующему релятивизму, в настоящее время, в науке этих принципов уже не придерживаются.

    Позволю себе краткое отступление.

    По мнению глубоко и искренне верующих Исаака Ньютона (1643-1727) и Готфрида Лейбница, изменение объектов, изменение их свойств, не случалось без участия Всевышнего. Исследование Всемогущего источника изменчивости любым естествоиспытателем было в то время чревато гонениями могущественной церкви и в целях самосохранения не проводилось. Но уже в 19 веке естествоиспытатели разобрались, что ПРИЧИННАЯ СУЩНОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ СВОЙСТВ ЛЮБОГО ОБЪЕКТА - ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ . «Взаимодействие есть причинное отношение, положенное в его полном развитии» , отмечал Гегель (1770-1831) «Ближайшим образом взаимодействие представляется взаимной причинностью предположенных, обусловливающих друг друга субстанций; каждая есть относительно другой одновременно и активная и пассивная субстанция» . Ф. Энгельс (1820-1895) конкретизировал: «Взаимодействие – вот первое, что выступает перед нами, когда мы рассматриваем движущуюся (изменяющуюся) материю в целом, с точки зрения теперешнего естествознания... Так естествознанием подтверждается то... что взаимодействие является истинной causa finalis (конечной первопричиной) вещей. Мы не можем пойти дальше познания этого взаимодействия именно потому, что позади его нечего больше познавать» Тем не менее, формально разобравшись с первопричиной изменчивости, никто из светлых голов 19 века здание естествознания перестраивать уже не стал. В итоге, здание так и осталось - с фундаментальной "гнильцой". В итоге, причинная структура (взаимодействия) отсутствует поныне в подавляющем большинстве базовых понятий естествознания (энергии, силы, массы, заряда, температуры, скорости, импульса, инерции и пр.) в том числе и в математическом понятии производной функции - как математической модели описывающей "величину мгновенного изменения " объекта от "бесконечно малого" изменения его причинного параметра. Теории взаимодействий, объединяющей даже известные четыре фундаментальные взаимодействия (электромагнитного, гравитационного, сильного, слабого) не создано до сих пор. Сейчас уже «накосячено » намного больше и "косяки" повсеместно вылезают наружу. Практика – критерий истины, напрочь разбивает все надстроенные на таком здании теоретические модели, претендующие на всеобщность и глобальность. Поэтому, всё равно перестраивать здание естествознания придётся, ибо дальше «плыть» боле некуда, наука уже давно развивается методом «тыка » - тупо, затратно и неэффективно. Физика будущего, физика 21-го века и последующих веков должна стать физикой взаимодействий. А в физику просто необходимо ввести новое фундаментальное понятие - "событие-взаимодействие". При этом подводится базовая основа под основные понятия и соотношения современной физики и математики и только лишь в этом случае находится коренная формула "causa finalis" (конечная первопричинная) формула для обоснования всех базовых, работающих на практике формул. Проясняется смысл мировых констант и многого другого. И это я вам, уважаемый читатель, сейчас покажу.

    Итак, постановка задачи .

    Обрисуем в общих чертах модель. Пусть познаваемый в величине и природе абстрактный объект познания (обозначим его - u ) есть относительное целое, имеющий определённую природу (размерность) и величину. Объект и его свойства есть причинно-следственная система. Объект зависит в величине от величины своих свойств, параметров, а в размерности от их размерности. Причинный параметр, таким образом, обозначим – х, а следственный обозначим как – u . В математике такая причинно-следственная зависимость формально описывается функцией (зависимостью) от своих свойств – параметров u =f (x ). Изменяющийся параметр (свойство объекта) влечёт изменение величины функции – относительного целого. Причём, объективно определённая познанная величина целого (число) есть относительное значение, полученное как отношение к его единичной части (некоему объективному общепринятому единичному эталону целого - u эт , Единичный эталон - формальная величина, но общепринятая в качестве объективной сравнительной меры.

    Тогда u =k*u эт . Объективная величина параметра (свойства) есть отношение к единичной части (эталону) параметра (свойства) - x = i * x эт . Размерности целого и размерность параметра и их единичных эталонов не тождественны. Коэффициенты k , i численно равны u , x соответственно, поскольку эталонные значения u эт и x эт единичны. В результате взаимодействий параметр изменяется и это причинное изменение следственно влечёт за собой изменение функции (относительного целого, объекта, системы).

    Требуется определить формальную общую зависимость величины изменения объекта от взаимодействий - причины этого изменения . Эта постановка задачи отражает истинный, причинно-следственный, причинный (по Ф.Бэкону) последовательный, подход физики взаимодействий .

    Решение и следствия.

    Взаимодействие есть общий эволюционный механизм – причина изменчивости. Что же на самом деле представляет собой взаимодействие (близкодействие, дальнодействие)? Поскольку общая теория взаимодействия и теоретическая модель взаимодействия объектов, носителей соразмерных свойств в естествознании отсутствует до сих пор, нам придётся создать (подробно об этом на ). Но поскольку, думающий читатель хочет узнать об истинной физической сущности производной сразу и сейчас, то обойдёмся только краткими, но строгими и необходимыми для понимания сути производной выводами из этой работы.

    "Любое, дажо самое сложное взаимодействие объектов, можно представить в таком масштабе времени и пространства (развернуть во времени и отобразить в системе координат так), что в каждый момент времени, в данной точке пространства будут взаимодействовать лишь два объекта, два носителя соразмерных свойств. И взаимодействовать в этот момент они будут лишь двумя своими соразмерными свойствами".

    « Любое (линейное, нелинейное) изменение любого свойства (параметра) определённой природы любого объекта, можно разложить (представить) как результат (следствие) событий-взаимодействий этой же природы, следующих в формальном пространстве и времени соответственно линейно или нелинейно (равномерно или неравномерно). При этом, в каждом элементарном, единичном событии-взаимодействии (близкодействии) свойство изменяется линейно ибо обусловлено единственной причиной изменения - элементарным соразмерным взаимодействием (а значит есть функция одной переменной). ... Соответственно, любое изменение (линейное или нелинейное), как следствие взаимодействий, можно представить как сумму элементарных линейных изменений следующих в формальном пространстве и времени линейно или нелинейно.»

    « По этой же причине любое взаимодействие можно разложить на кванты изменений (неделимые линейные кусочки). Элементарный квант любой природы (размерности) представляет собой результат элементарного события-взаимодействия по данной природе (размерности). Величина и размерность кванта обусловлена величиной взаимодействующего свойства и природой этого с войства. Например, при идеальном, абсолютно упругом соударении шаров (без учёта тепловых и иных потерь энергии), шары обмениваются своими импульсами (соразмерными свойствами) . Изменение импульса одного шара есть порция линейной энергии (сообщённой ему или или отобранной у него) - есть квант, имеющий размерность момента импульса. Если взаимодействуют шары имеющие фиксированные величины импульсов, то состояние величины момента импульса каждого шара на любом наблюдаемом интервале взаимодействия, есть величина "разрешённая" (по аналогии с воззрениями квантовой механики).»

    В физико-математическом формализме стало общепринятым, что любое свойство в любой момент времени и в любой точке пространства (для простоты возьмём линейного, однокоординатного) имеет величину, которую можно выразить записью

    (1)

    где - размерность.

    Эта запись, в том числе, составляет суть и глубокий физический смысл комплексного числа , отличный от общепринятого геометрического представления (по Гауссу), в виде точки на плоскости..(Прим. автора )

    В свою очередь, модуль величины изменения , обозначенный в (1) как , можно выразить, с учётом событий-взаимодействий так

    (2)

    Физический смысл этой базовой для огромного количества известнейших соотношений естествознания, корневой формулы, заключается в том, что на промежутке времени и на интервале однородного линейного (однокоординатного) пространства , имели место - соразмерных событий-близкодействий одной природы, следовавших во времени и пространстве в соответствии с их функциями-распределениями событий в пространстве - и времени . Каждое из событий, изменяло на некую . Можно сказать, что при наличии однородности объектов взаимодействия на некотором интервале пространства и времени, речь идёт о некоторой постоянной, линейной, усреднённой величине элементарного изменения - производной величине от величины изменения , характерной для среды взаимодействия описанной формально функцией , характеризующей среду и процесс взаимодействия определённой природы (размерности). С учётом того, что могут иметь место различные виды функций распределения событий в пространстве и времени , то имеют место переменные пространственно-временные размерности у как интеграла от функций распределения событий во времени и пространстве , а именно [время - t ] и [ координата - x ] могут быть в степени k (k - не равно нулю).

    Если обозначить, в достаточно однородной среде, величину среднего промежутка времени между событиями - , а величину среднего промежутка расстояния между событиями - , тогда можно записать, что общее количество событий на интервале времени и пространства равно

    (3)

    Эта фундаментальная запись (3) согласуется с основными пространственно-временными тождествами естествознания (электродинамики Максвелла, гидродинамики, волновой теории, законом Гука, формулой Планка для энергии и пр.) и является истинной первопричиной логической верности физико-математических построений. Эта запись (3) согласуется с известной в математике «теоремой о среднем». Перепишем (2) с учётом (3)

    (4) - для временных соотношений;

    (5) - для пространственных соотношений.

    Из данных уравнений (3-5) следует общий закон взаимодействия:

    величина любого изменения объекта (свойства), пропорциональна количеству соразмерных ему событий-взаимодействий (близкодействий) его вызывающих. При этом, характер изменения (вид зависимости во времени и пространстве) соответствует характеру следования во времени и пространстве этих событий.

    Мы получили общие базовые соотношения естествознания для случая линейного пространства и времени, очищенные от понятия бесконечность, устремлений к нулю, мгновенная скорость и пр. По этой же причине обоснованно далее не употребляются обозначения бесконечно малых dt и dx. Вмето них вводятся конечные Δti и Δxi . Из данных обобщений (2-6) вытекают:

    - общий физический смысл производной (дифференциала) (4) и градиента (5), а так же "мировых" констант, как величин усреднённого (среднего) линейного изменения функции (объекта) при единичном событии-взаимодействии аргумента (свойства), имеющего определённую размерность (природу) с соразмерными (этой же природы) свойствами других объектов. Отношение величины изменения к количеству событий-взаимодействий его инициирующих фактически является величиной производной функции, отражающей причинно-следственную зависимость объекта от своего свойства.

    ; (7) - производная функции

    ; (8) - градиент функции

    - физический смысл интеграла, как суммы величин изменения функции при событиях по аргументу

    ; (9)

    - обоснование (доказательство и понятный физический смысл) теоремы Лагранжа для конечных приращений (формулы конечных приращений) , во многом фундаментальной для дифференциального исчисления. Ибо при линейных функциях и имеют место значения их интегралов в выражениях (4)(5) и . Тогда

    (10)

    (10.1)

    Формула (10.1) есть фактически формула Лагранжа для конечных приращений [ 5].

    При задании объекта множеством его свойств (параметров), мы получаем аналогичные зависимости для изменчивости объекта, как функции изменчивости его свойств (параметров) и проясняем физический смысл частной производной функции нескольких переменных параметров.

    (11)

    Формула Тейлора для функции одной переменной ставшая так же классической,

    имеет вид

    (12)

    Представляет собой разложение функции (формальной причинно-следственной системы) в ряд, в котором её изменение равное

    раскладывается на составляющие, по принципу разложения общего потока событий одной природы на подпотоки , имеющие различные характеристики следования. Каждый подпоток , характеризует линейность (нелинейность) следования событий в пространстве или времени. В этом заключается физичекий смысл формулы Тейлора . Так, например, первый член формулы Тейлора отождествляет изменение при линейно следующих во времени (пространстве) событиях.

    При . Второй при нелинейно следующих событиях вида и т.д.

    - физический смысл постоянной скорости изменения (движения) [м/с], имеющей смысл единичного линейного перемещения (изменения, приращения) величины (координаты, пути), при линейно следующих событиях.

    (13)

    По этой причине, скорость не есть причинная зависимость от формально выбранной системы координаты или интервала времени. Скорость - есть неформальная зависимость от функции следования (распределения) во времени и пространстве событий, приводящих к изменению координаты.

    (14)

    А любое сложное движение можно разложить на составляющие, где каждая составляющая есть зависимость от следующих линейно или нелинейно событий. По этой причине кинематика точки (уравнение точки) раскладывается в соответствии с формулой Лагранжа или Тейлора.

    Именно при изменении линейного следования событий на нелинейное , скорость становится ускорением.

    - физический смысл ускорения - , как величины, численно равной единичному перемещению , при нелинейном следовании событий-взаимодействий, вызывающих это перемещение . При этом, или . При этом, общее перемещение при нелинейном следовании событий (при линейном изменении скорости следования событий) для равно (15) - формула известная со школьной скамьи

    - физический смысл ускорения свободного падения объекта - , как величины постоянной, численно равной отношению действующей на объект линейной силы (фактически так называемому "мгновенному" линейному перемещению ), соотнесённой к нелинейному количеству следующих в формальном времени событий-взаимодействий со средой, вызывающих эту силу.

    Соответственно, величина равная количеству нелинейно следующих событий, или отношению - получила название массы тела , а величина - веса тела , как силы действующей на тело (на опору) в состоянии его покоя. Поясним вышесказанное, ибо широко употребляемое, фундаментальное физическое понятие массы в современной физике не является структурированным причинно от каких – либо взаимодействий вообще. А физике известны факты изменения массы тел при протекании внутри них определённых реакций (физических взаимодействий). Например, при радиоактивном распаде совокупная масса вещества уменьшается. Когда тело покоится относительно поверхности Земли, то общее количество событий-взаимодействий частиц этого тела с неоднородной средой, имеющей градиент (иначе её называют гравитационным полем) не изменяется. А это значит, что и действующая на тело сила не изменяются, и масса инертная пропорциональная количеству происходящих событий объектов тела и объектов среды, равна отношению силы к его постоянному ускорению .

    Когда тело движется в поле тяготения (падает), то отношение изменяющейся действующей на него силы к изменяющемуся количеству событий также остаётся постоянным и соотношение - соответствует массе гравитационной . Отсюда следует аналитическое тождество инертной и гравитационной массы . Когда тело движется нелинейно, но горизонтально к поверхности Земли (по сферической эквипотенциальной поверхности гравитационного поля Земли) то градиента у гравитационного поля в этой траектории нет. Но любая сила, действующая на тело, пропорциональна количеству событий как разгоняющих, так и тормозящих тело. То есть, в случае горизонтального движения, просто изменяется причина движения тела. А изменяющееся нелинейно количество событий придаёт ускорение телу и (2-й закон Ньютона). При линейном следовании событий (как разгоняющих, так и тормозящих), скорость тела постоянна и физическая величина, при таком следовании событий, в физике получила название импульса .

    - Физический смысл момента импульса, как перемещения тела под воздействием линейно следующих во времени событий.

    (16)

    - Физический смысл электрического заряда объекта внесённого в поле, как отношения действующей на «заряженный» объект силы (силы Лоренца) в точке поля к величине заряда точки поля. Ибо сила, есть результат взаимодействия соразмерных свойств объекта внесённого в поле и объекта поля. Взаимодействие выражается в изменении этих соразмерных свойств и того и другого. В результате каждого единичного взаимодействия объекты обмениваются модулями своих изменений, изменяя друг друга, что и есть величиной «мгновенной» действующей на них силы, как производной от действующей силы на интервале пространства. Но в современной физике поле особый вид материи, к сожалению, не имеет заряда (не имеет объектов носителей заряда), а имеет иную характеристику - напряжённость на интервале (разницу потенциалов (зарядов) в некоей пустоте). Таким образом, заряд в своей величине показывает во сколько раз, действующая на заряженный объект сила отличается от напряжённости поля в данной точке (от «мгновенной» силы). (17)

    Тогда положительный заряд объекта – видится как заряд, превышающий в абсолютной величине (больший) заряда точки поля, а отрицательный - меньший, чем заряд точки поля. Отсюда следует разница в знаках сил отталкивания и притяжения . Что и обуславливает наличие направления у действующей силы «отталкивания – притяжения». Получается, что заряд, количественно равен количеству событий-взаимодействий, изменяющих его в каждом событии на величину напряжённости поля. Величина заряда, в соответствии с понятием числа (величины), есть отношение с эталонным, единичным, пробным зарядом - . Отсюда . При движении заряда, при линейном следовании событий (поле однородно) интегралы , а при движении однородного поля относительно заряда . Отсюда известные соотношения физики ;

    - Физический смысл напряженности электрического поля , как величины отношения действующей на заряженный объект силы к количеству происходящих событий-взаимодействий заряженного объекта с заряженной средой. Есть величина постоянная характеристика электрического поля. Она же, есть производная по координате от силы Лоренца. Напряженность электрического поля – это физическая величина, численно равная силе, действующей на единичный заряд при единичном событии-взаимодействии () заряженного тела и поля (заряженной среды).

    (18)

    -Физический смысл потенциала, силы тока, напряжения и сопротивления (электропроводности).

    Применительно к изменению величины заряда

    (19)

    (20)

    (21)

    Где называется потенциалом точки поля и ее принимают за энергетическую характеристику данной точки поля, а фактически это заряд точки поля, отличающийся в раз от пробного (эталонного) заряда . Или: . При взаимодействии внесённого в поле заряда и заряда точки поля происходит обмен соразмерными свойствами - зарядами. Обмен, есть явление, описанное как «на внесённый в поле заряд действует сила Лоренца», равная по модулю величине изменения заряда, а также величине относительного изменения потенциала точки поля. При внесении заряда в поле Земли, последним изменением можно пренебречь в следствие относительной малости этого изменения по сравнению с огромной величиной общего заряда точки поля Земли.

    Из (20) заметно, что ток (I ) - это производная по времени от величины изменения заряда на интервале времени, изменяющая заряд по величине в одном событии-взаимодействии (близкодействии) с зарядом среды (точки поля).

    *До сих пор в физике считается, что если: проводник имеет поперечное сечение площадью S , заряд каждой частицы равен q 0 , а в объеме проводника, ограниченном поперечными сечениями 1 и 2 и длиной (), содержится частиц, где n – концентрация частиц. То общий заряд . Если частицы движутся в одном направлении со средней скоростью v , то за время все частицы, заключенные в рассматриваемом объеме пройдут через поперечное сечение 2. Поэтому сила тока равна

    .

    Тоже самое , можно сказать и в случае нашего методологического обобщения (3-6), только вместо количества частиц, следует сказать количество событий, что по смыслу, более верно, ибо заряженных частиц (событий) в проводнике гораздо больше нежели, к примеру, электронов в металле. Зависимость перепишется в виде , следовательно, в очередной раз подтверждается справедливость (3-6) и других обобщений данной работы.

    Две точки однородного поля, разнесённые в пространстве, имеющие разные потенциалы (заряды) имеют относительно друг друга потенциальную энергию, которая численно равна работе по изменению потенциала от величины до . Она равна их разнице.

    . (22)

    Иначе, можно записать закон Ома, справедливо приравняв

    . (23)

    Где в данном случае - сопротивление, показывающая количество событий, необходимое для изменения величины заряда, при условии, что в каждом событии заряд будет изменяться на постоянную, зависящую от свойств пр оводника величину так называемого «мгновенного» тока . Отсюда же следует, что ток - есть производная по времени величина и понятие от напряжения. Следует вспомнить, что в единицах измерения СИ, электропроводность выражается в Сименсах с размерностью: См = 1 / Ом = Ампер / Вольт = кг -1 м -2 с³А ². Сопротивление в физике, есть обратная величина равная произведению удельной электропроводности (сопротивлению единичного сечения материала) на длину проводника. Что можно записать (в смысле обобщения (3-6)) как

    (24)

    - Физический смысл индукции магнитного поля. Опытным путем было установлено, что отношение максимального значения модуля силы, действующей на проводник с током (силы Ампера ) к силе тока - I к длине проводника - l , не зависит ни от силы тока в проводнике, ни от длины проводника. Его приняли за характеристику магнитного поля в том месте, где расположен проводник – индукцию магнитного поля, величину, зависящую от структуры поля - , что соответствует

    (25)

    а поскольку , то .

    Когда мы вращаем рамку в магнитном поле, то мы прежде всего увеличиваем количество событий-взаимодействий заряженных объектов рамки и заряженных объектов поля. Отсюда следует зависимость ЭДС и тока в рамке от скорости вращения рамки и напряжённости поля около рамки. Останавливаем рамку – нет взаимодействий – нет и тока. Завихряем (изменяем) поле – пошёл ток и в рамке.

    - Физический смысл температуры. Сегодня в физике понятие - мера температуры весьма не тривиально. Один кельвин равен 1/273,16 термодинамической температуры тройной точки воды. Начало шкалы (0 К) совпадает с абсолютным нулём. Пересчёт в градусы Цельсия: °С = K -273,15 (температура тройной точки воды - 0,01 °C).
    В 2005 г. определение кельвина было уточнено. В обязательном Техническом приложении к тексту МТШ-90 Консультативный комитет по термометрии установил требования к изотопному составу воды при реализации температуры тройной точки воды.

    Тем не менее, физический смысл и сущность понятия температуры намного проще и понятнее. Температура по своей сути является следствием совершаемых внутри вещества событий-взаимодействий имеющих как "внутреннюю" так и "внешнюю" причины. Больше событий - больше температура, меньше событий - меньше и температура. Отсюда явление изменения температуры при многих химических реакциях. Ещё П. Л. Капица говаривал "... мерилом температуры является не само движение, а хаотичность этого движения. Хаотичность состояния тела определяет его температурное состояние, и эта идея (которая впервые была разработана Больцманом), что определённое температурное состояние тела вовсе не определяется энергией движения, но хаотичностью этого движения, и является тем новым понятием в описании температурных явлений, которым мы должны пользоваться..." (Доклад лауреата Нобелевской премии 1978 г. Петра Леонидовича Капицы "Свойства жидкого гелия", прочитанный на конференции "Проблемы современной науки" в Московском университете 21 декабря 1944)
    Под мерой хаоса и следует понимать количественную характеристику числа событий-взаимодействий в единицу времени в единичном объёме вещества - его температуру . Не случайно Международный комитет мер и весов собирается в 2011 году изменить определение кельвина (меры температуры), чтобы избавиться от трудновоспроизводимых условий "тройной точки воды". В новом определении кельвин будет выражен через секунду и значение постоянной Больцмана. Что в точности соответствует базовому обобщению (3-6) данной работы. В данном случае постоянная Больцмана выражает изменение состояния определённого количества вещества при единичном событии (см., физический смысл производной) , а величина и размерность времени характеризует количество событий в интервале времени. Сие лишний раз доказывает, что причинная структура температуры - события-взаимодействия. В результате совершаемых событий-взаимодействий объекты в каждом событии обмениваются кинетической энергией (моментами импульсов как при соударении шаров), а среда со временем преобретает термодинамическое равновесие (первое начало термодинамики).

    - Физический смысл энергии и силы.

    В современной физике энергия E имеет различную размерность (природу). Сколько природ, столько и энергий. Например:

    Силе умноженной на длину (E ≈ F ·l≈Н*м );

    Давлению, умноженному на объём (E ≈ P ·V≈Н*м 3 /м 2 ≈Н*м);

    Импульсу, умноженному на скорость (E ≈ p ·v≈кг*м /с*м /с≈(Н* с 2 )/м*(м/с*м /с) ≈Н*м );

    Массе, умноженной на квадрат скорости (E ≈ m ·v 2 ≈Н*м);

    Току, умноженному на напряжение (E ≈ I ·U ≈

    Из этих соотношений следует уточнённое понятие энергии и связь с единичным по величине эталоном (единицей измерения) энергии, событиями и изменением.

    Энергия, – есть количественная характеристика изменения любого физического параметра материи под воздействием событий-взаимодействий этой же размерности, вызывающих это изменение. Иначе можно сказать, что энергия есть количественная характеристика приложенной какое-то время (на каком-то расстоянии ) к свойству внешней действующей силы . Величина энергии (число), есть отношение величины изменения определённой природы к формальному, общепринятому эталону энергии этой природы. Размерность энергии, есть размерность формального общепринятого эталона энергии. Причинно, величина и размерность энергии, её изменение во времени и пространстве, зависят формально от общей величины изменения в соотношении к эталону и размерности эталона, а неформально зависят от характера следования событий.

    Общая величина изменения - зависит от количества событий-взаимодействий, изменяющих величину общего изменения в одном событии на - усреднённую единичную силу - производную величину.

    Эталон энергии определённой природы (размерности) должен соответствовать общему понятию эталона (единичность, общепринятость, неизменность) , иметь размерность функции следования событий в пространстве - времени и изменённой величины .

    Данные соотношения, по сути, являются общим для энергии любого изменения материи.

    О силе. а величина или по сути есть та же «мгновенная» сила изменяющая энергию.

    . (26)

    Таким образом, под общим понятием инерции следует понимать величину элементарного относительного изменения энергии под действием единичного события-взаимодействия (в отличии от силы не соотнесённую с величиной интервала, но предполагаемой наличие интервала неизменности действия), имеющую фактический интервал времени (интервал пространства) её неизменности до следующего события.

    Интервал, есть разница между двумя моментами времени начал данного и следующего соразмерных событий-взаимодействий, или двумя точками-координатами событий в пространстве.

    Инерция имеет размерность энергии, ибо энергия есть интегральная сумма величин инерций во времени под действием событий-взаимодействий. Величина изменения энергии равна сумме инерций

    (27)

    Иначе можно сказать, что инерция, сообщённая абстрактному свойству, -м событием-взаимодействием - есть энергия изменения свойства, которая имела какое-то время неизменности до следующего события-взаимодействия;

    - физический смысл времени, как формального способа познания величины продолжительности изменения (неизменности), как способа измерения величины продолжительности в сравнении с формальным эталоном продолжительности, как меры продолжительности изменения (длительности, дления

    И пора прекратить многочисленные спекуляции по поводу трактования этого базового понятия естествознания.

    - физический смысл координатного пространства , как величины (меры) изменения (пути, расстояния),

    (32)

    имеющего размерность формального, единичного эталона пространства (координаты) и величину координаты, как интеграл от функции следования событий в пространстве , равному общему количеству эталонов координаты на интервале . При измерении координаты, для удобства, выбирается линейно изменяющаяся подинтегральная функция , интеграл от которой равен количеству формально выбранных эталонных интервалов единичных координат ;

    - физический смысл всех базовых физических свойств (параметров), характеризующих свойства какой-либо среды при элементарном соразмерном взаимодействии с ней (диэлектрическая и магнитная проницаемость, постоянная Планка, коэффициенты трения и поверхностного натяжения, удельная теплоёмкость, мировые константы и пр.).

    Таким образом, получаются новые зависимости, имеющие единую первоначальную форму записи и единый методологически единообразный причинный смысл. И этот причинный смысл приобретается при введении в естествознание глобального физического начала - "события-взаимодействия".

    Вот, уважаемый читатель, какая должна быть в самых общих чертах новая, наделённая физическим смыслом и определённостью математика и новая физика взаимодействий 21 века , очищенная от роя безотносительных, не имеющих определённости, величины и размерности, а значит и здравого смысла понятий. Таких , например, как класическая производная и мгновенная скорость – имеющая мало общего с физическим понятием скорости . Как понятие инерции – некоей способности тел сохранять скорость… К ак инерциальная система отсчёта (ИСО) , ничего общего не имеющая с понятием системы отсчёта (СО). Ибо ИСО в отличие от обычной эталонной системы отсчёта (СО) не является объективной системой познания величины движения (изменения). Относительно ИСО, по её определению, тела только покоятся или движутся прямолинейно или равномерно. А также много прочего, что тупо тиражируется уже многие века в качестве незыблемых истин. Эти, ставшие базовыми, псевдоистины уже не способных фундаментально, последовательно и причинно-следственно описать общими зависимостями многочисленные явления мироздания, существующего и изменяющегося по единым законам природы.

    1. Литература.

    1. Гегель Г.В.Ф. Энциклопедия философских наук: В 3 т. Т. 1: Наука логики. М., 197 3

    2. Гегель Г.В.Ф., Соч., т. 5, М., 1937, с. 691.

    3. Ф. Энгельс. ПСС. т. 20, с. 546.

    Производная функции - одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

    В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна . Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное - понять смысл.

    Запомним определение:

    Производная - это скорость изменения функции.

    На рисунке - графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

    Ответ очевиден - третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

    Вот другой пример.

    Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

    На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная , - разная. Что касается Матвея - у его дохода производная вообще отрицательна.

    Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

    На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами - насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной - то есть может меняться быстрее или медленнее.

    Производная функции обозначается .

    Покажем, как найти с помощью графика.

    Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого - тангенс угла наклона касательной .

    Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

    Обратите внимание - в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

    Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

    Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника :

    Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике под номером .

    Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

    Величина в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой . Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

    .

    Мы получаем, что

    Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

    Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

    Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

    Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

    Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других - убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

    В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол ; с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.

    В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол ; с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.

    Вот что получается:

    Если функция возрастает, ее производная положительна.

    Если убывает, ее производная отрицательна.

    А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

    Точка - точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».

    В точке - точке минимума - производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

    Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

    Если производная положительна, то функция возрастает.

    Если производная отрицательная, то функция убывает.

    В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

    В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

    Запишем эти выводы в виде таблицы:

    возрастает точка максимума убывает точка минимума возрастает
    + 0 - 0 +

    Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задачи . Другое - на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

    Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая :

    В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала - и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется - она как была положительной, так и осталась.

    Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

    А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется