Методика изучения алгебраического материала. Шпаргалка: Преподавание алгебраического материала в начальной школе

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Соликамский государственный педагогический институт» Кафедра математики и физики В. И. Кузьминова ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ НАЧАЛЬНЫХ КЛАССОВ Учебно-методическое пособие Соликамск СГПИ 2011 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Содержание УДК 37 ББК 74.202.42 К 89 Рецензенты: старший преподаватель ПНО и ВПГПУ Ю. Ю. Скрипова, зав. кафедрой математики и физики, кандидат педагогических наук, доцент СГПИ Л. Г. Шестакова. Введение............................................................................................4 Из истории алгебры.......................................................................5 Общая характеристика методики изучения алгебраического материала.........................................................8 Числовые выражения....................................................................9 К 89 Кузьминова, В. И. Элементы алгебры в курсе математики начальных классов [Текст] : учебнометодическое пособие / В. И. Кузьминова; ГОУ ВПО «Соликамский государственный педагогический институт». – Соликамск: СГПИ, 2011. – 48 с. – 100 экз. Числовые равенства и неравенства..........................................22 Тождественные преобразования числовых выражений....28 Буквенные выражения..................................................................30 Уравнения в начальном курсе математики............................35 Пособие предназначено для студентов-бакалавров, обучающихся по направлению 050700 – «Педагогика», профиль 050707 – «Начальное образование». Пособие нацелено на углубление и обобщение методических знаний студентов по одному из вопросов частной методики – изучения алгебраического материала в курсе математики, а также на систематизацию типов заданий, которые необходимо использовать в процессе усвоения детьми элементов алгебры. Обучение младших школьников решению задач алгебраическим методом.............................................................42 Неравенства с переменной..........................................................44 Обучение младших школьников элементам алгебры........45 Список литературы........................................................................47 УДК 37 ББК 74.202.42 Рекомендовано к изданию РИСо СГПИ. Протокол № 17 от 10.12.2010 г. Кузьминова В. И., 2011 ГОУ ВПО «Соликамский государственный педагогический институт, 2011 3 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Введение Данное учебно-методическое пособие предназначено для студентов-бакалавров, обучающихся по направлению 050700 – «Педагогика», профиль 050707 – «Начальное образование». Рекомендуется как для очного, так и для заочного отделения. Пособие посвящено изучению одного из вопросов дисциплины «Теоретические основы и технологии начального математического образования» – методике изучения элементов алгебры в начальном курсе математики. В пособии даны краткие исторические сведения о зарождении алгебры как науки, раскрыты общие положения, связанные с изучением алгебраического материала в начальной школе. В пособии описана методика обучения младших школьников отдельным вопросам (числовые выражения, числовые равенства и неравенства, буквенные выражения, уравнения и неравенства с одной переменной), выделены типы заданий, которые необходимо использовать при уточнении представлений об основных понятиях алгебры. Восполняя недостаток в учебно-методической литературе по дисциплине «Теоретические основы и технологии начального математического образования», учебное пособие углубляет и обобщает знания студентов, позволяя сформировать правильный подход к изучению элементов алгебры и умение самостоятельно работать с учебно-методической литературой. Из истории алгебры Любой выпускник средней школы на вопрос, чему его научили на уроках алгебры, наверняка скажет: «Решать уравнения и задачи с помощью уравнений». Современные ученые придерживаются той же точки зрения на содержание алгебры. Французские математики Александр Гротендик (родился в 1928 г.) и Жан Дьедоне (родился в 1906 г.) в статье «Элементы алгебраической топологии» пишут: «Можно утверждать, что решение полиноминальных уравнений послужило исторически источником алгебры и что со времени вавилонян, индусов и Диофанта и до наших дней оно остается одной из её основных целей». Цели алгебры оставались неизменными на протяжении тысячелетий – решались уравнения: сначала линейные, потом квадратные, затем кубические, а позже уравнения еще больших степеней. Но форма, в которой описывались алгебраические результаты, менялась до неузнаваемости. Древние египтяне излагали свои алгебраические познания в числовой форме. В папирусах, которые дошли до нас, решаются задачи практического содержания: вычисляются площади земельных участков, объёмы сосудов, количества зерна и т.д. Все задачи с конкретными числовыми данными, но в некоторых из них уже проскальзывает теоретический интерес. Например, задача из папируса Кахуна (около XVIII – XVI до н.э.): «Найти два числа х и у, для 3 которых x2 + y2 = 100 и x ÷ y = 1 ÷ » (в современных обозначения). 4 В папирусах она решена методом «Ложного положения». Именно, 3 если положить x=1, то y = и x 2 + y 2 =(5)2. Но по условию 4 4 5 x2 + y2 = 102, следовательно, в качестве x надо брать не 1, а 10: = 8, 4 тогда y = 6. Значительные успехи в развитии алгебры были достигнуты в Древнем Вавилоне. Там решались уравнения первой, второй и даже отдельные уравнения третьей степени. Способы решения конкретных уравнений дают основания считать, что вавилоняне владели и общими правилами нахождения уравнений первой и второй степени. 4 5 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Все задачи и их решения излагались в словесной форме. В одной из клинописных табличек встречается такая задача: «Я вычел из площади сторону моего квадрата, это 870». Нетрудно догадаться, что речь идёт о квадратном уравнении x2 - x = 870. Но эти достижения ещё нельзя назвать наукой, поскольку общей теории не было. Совсем другой вид приняла алгебра в Древней Греции. Со времени кризиса, вызванного открытием несоизмеримых отрезков, у древних греков вся математика приобрела геометрическую форму. Древнегреческие математики работали не с числами, а с отрезками. Любые утверждения и доказательства имели право на существование только в том случае, если они давались на геометрическом языке. Например, соотношение, которое мы записываем в виде формулы (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, в «Началах» Евклида формируется так: «Если отрезок AB разделен точкой С на два отрезка, то квадрат, построенный на AB, равен двум квадратам на отрезках АС и СВ вместе с удвоенным прямоугольником на АС и СВ». После этого дается длинное доказательство этого факта на геометрическом языке. Геометрический подход к математике отражал, вероятно, определенные черты духовной жизни древних греков. Греки создали непревзойденные скульптуры, удивительные по своему совершенству храмы и другие архитектурные сооружения, пропорции которых строго математически выверены. Это стремление к красоте, гармоничности, соразмерности, способствовало геометризации математики. Геометрический путь был гениальной находкой античных математиков, но он сдерживал развитие алгебры. Алгебраические методы, ростки которых возникли в более ранних цивилизациях, в Древней Греции не получили развития. Выделение алгебры в самостоятельную ветвь математики произошло в арабских странах, куда после распада Римской империи переместился центр научной деятельности. К концу VIII в. в результате захватнических войск арабы покорили почти все страны Средиземноморья, а на Востоке их владения простирались до самой Индии. Многие арабские халифы для укрепления своего могущества и славы поощряли развитие наук. В Багдаде, столице халифата, создаются новые условия для работы ученых. Здесь открыто много библиотек, построен Дом мудрости, при нём оборудована прекрасная обсерватория. Арабские математики на первых парах усердно изучают труды древнегреческих авторов и достижения индийских учёных. В Доме мудрости работал выдающийся узбекский учёный первой половины IX в. Ал-Хорезми. Его полное имя - Мухаммед ибн Мусса ал-Хорезми ал-Маджуси, что означает Мухаммед сын Музы из Хорезма из родов магов. Сохранились его сочинения по арифметике, астрономии, географии, календарным расчетам. Наиболее значительным является его трактат по алгебре. Здесь он впервые разработал правила преобразования уравнений. Трактат назывался «Краткая книга о восполнении и противопоставлении». В XII в. труд ал-Хорезми был переведен на латинский язык и долгое время оставался в Европе основным руководством по алгебре. Арабское название операции восполнения «ал-джебр» и дало название области математики, связанной с искусством решения уравнений. Вслед за ал-Хорезми решению уравнений посвящают свои труды многие арабские учёные. В XI в. знаменитый математик Омар Хайям описал геометрическое решение уравнений третьей степени. Занимался кубическими уравнениями и ал-Бируни. В XV в. работал замечательный математик и астроном ал-Каши. Он изучал уравнения четвертой степени. Арабов интересовало и численное значение корней. После успешного решения уравнений 3-й и 4-й степени математики пытались найти формулы решений уравнений более высоких степеней. Феррари решал уравнения 4-й степени. Эрендрид Вальтер фон Чирнгауз (1651 – 1708), Самуэль Бринг (1736 – 1798 г.г.) вели поиски решения уравнений пятой степени. Проблемой решения уравнений пятой степени в 30-е годы XVIII в. занимался величайший из математиков этого века Леонард Эйлер. Позже продолжил исследования в этом направлении другой выдающийся математик XVIII в. Жозеф Луи Лагранж. Его исследованиями теория алгебраических уравнений была поставлена на правильные рельсы: все до тех пор известное получается с единых позиций, четко выделены трудности. Большой вклад в историю решения алгебраических уравнений внесли Нильс Хенрик Абель (1802 г.р. – 1829 г.), Эварист Галуа (1811 г.р. – 1833 г.), жизнь которых оборвалась в раннем возрасте. Но труды их были не напрасны. Эти гениальные юноши построили фундамент современной алгебры. 6 7 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Общая характеристика методики изучения алгебраического материала Числовые выражения Введение элементов алгебры в начальный курс математики позволяет с самого начала обучения вести планомерную работу, направленную на формирование у детей таких важнейших математических понятий, как алгебраическое выражение (числовое выражение, буквенное выражение), равенство (числовое равенство, уравнение), неравенство (числовое неравенство, неравенство с одной переменной). Ознакомление с буквой и её использованием как символа, обозначающего отвлеченное число из известной детям области чисел, создает условия для обобщения многих из рассматриваемых в начальном курсе вопросов арифметической теории, является хорошей подготовкой к ознакомлению детей в дальнейшем с понятиями «переменная», «функция», способствует развитию у детей функционального мышления. Алгебраическая пропедевтика позволяет осуществлять преемственность в обучении алгебраическому материалу между начальной школой и средним звеном (5 – 7 кл.), готовит к усвоению материала систематического курса алгебры в среднем (7 – 9 кл.) и старшем звеньях образования. В основе организации процесса усвоения учащимися алгебраического материала лежат следующие положения: – алгебраические понятия вводятся в курс математики начальной школы в тесной взаимосвязи с изучением арифметического материала и получают свое развитие в зависимости от его содержания; – включение алгебраического материала в начальный курс математики должно, прежде всего, способствовать формированию у школьников абстрактного мышления и тем самым повышать уровень усвоения ими арифметических вопросов. Числовые (арифметические) выражения входят в систему обучения математике довольно рано, как только младшие школьники начинают знакомство с цифрами как способами именования вполне определенных конкретных чисел. При этом дети делают шаги по пути овладения математической символикой и математическим языком. В то же время, записывая число определенной последовательностью цифр, ребенок начинает знакомство с отвлеченным числом. Над такими отвлеченными числами можно производить арифметические действия, независимо от природы числа. Рассматривая числа как систему знаков, следует помнить, что операции над ними подчиняются точно сформулированным правилам. В этой системе и строятся числовые выражения, они составляются из числовых знаков (имен чисел) и знаков арифметических действий. Каждое число есть числовое выражение. Если два числовых выражения соединить знаком действия, то полученная запись также есть числовое выражение. Младшие школьники знакомятся с терминами «сумма», «разность», «произведение», «частное». В словарь учащихся вводятся названия арифметических действий, их компонентов (сложение, вычитание, умножение, деление, слагаемое, вычитаемое, уменьшаемое, делимое). Помимо терминологии, они должны также усвоить и некоторые элементы математической символики, в частности, знаки действий (плюс, минус). Эта работа осуществляется при изучении смысла арифметических действий. Далее полезно провести обобщение материала. С этой целью нужно раздать детям «арифметический конструктор». Он представляет собой набор цифр, знаков арифметических действий, букв, знаков математических отношений >, <, =. Детям предлагается рассмотреть содержимое «конструктора» и распределить на группы детали. Далее учащиеся рассказывают, что они знают о каждой группе объектов. Затем детям предлагается из чисел и знаков арифметических 8 9 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» действий «сконструировать» математические объекты 5 + 4; 9 ⋅ 2 + +3 – 1 ⋅ 7 + 12: 4 (каждый придумывает и записывает их в тетрадь), по 8 – 10 таких выражений. Затем преподаватель учит выделять род (записи) и вид (состоящие из чисел, соединенных знаками арифметических действий) и предлагает сформулировать определение понятия «числовое выражение». После этого нужно научить распознавать такие выражения среди различных объектов, тем самым школьники учатся выделять главное, существенное и формулировать определение данного понятия. Затем предлагается снова рассмотреть все полученные выражения и распределить их на группы по определенному признаку. Варианты: выражения соединены одним знаком 8 – 3 и более, чем одним (25 ⋅ 3 – 12). Удобно в данном случае одну группу выражений назвать простыми, а другую сложными (составными). При этом дети обобщают, углубляют знания о простых числовых выражениях. Так как математика описывает не непосредственно наблюдаемые предметы, явления, а абстрактные понятия, связанные с практикой, то переход от непосредственной практики к математическому описанию некоторой ситуации затруднен. Чтобы такой подход осуществить, нужно уметь выделить в рассматриваемой ситуации существенные с некоторой точки зрения характеристики, остающиеся неизменными во всех одинаковых ситуациях, отбросить все то, что несущественно, и перевести на математический язык. Рассмотрим вариант закрепления представлений о простых числовых выражениях на примере углубления знаний о понятии «сумма». I. Рассматривается задача: «У Коли 5 марок, ему подарили ещё 2 марки». Выделяются несущественные признаки данной реальной ситуации. Что неважно, несущественно в этом описании? (Какие марки у детей, какова стоимость этих марок, где хранятся, откуда взялись эти марки?) А что важно, существенно в данном описании? (Сколько марок стало у Коли?) Важна количественная характеристика. Дети выполняют предметные действия. Выложить слева столько квадратов, сколько марок у Коли, справа столько квадратов, сколько марок ему подарили. Что сделали с марками – подарили. Показать на предметах: + придвинуть объекты справа. Больше или меньше стало марок? (Больше). Далее детям предложить построить графическую модель, а затем перейти к математическому описанию 10 5 + 2. Аналогично рассматриваются ещё 3 – 4 подобные ситуации. В аквариуме было 5 рыбок, туда пометили ещё 2-х рыбок. В альбоме по рисованию у Вити 5 рисунков о войне, он нарисовал ещё 2 рисунка. В вазе лежало 5 груш, ещё положили 2 груши. Таня вымыла 5 тарелок, а потом ещё 2. Дети закрепляют умение выделять существенное, отбрасывать несущественное на данный момент, выполнять предметные действия, от них переходить сначала к графическому, а затем к математическому описанию. Далее учитель предлагает выделить сходство и отличие данных ситуаций. Что общего, чем отличаются? 5+2 карточка появляется на доске. II. Теперь предлагается рассмотреть другой вид реальной ситуации. В букете 3 василька и 5 ромашек. Что несущественно? (Где рвали цветы, каких они размеров, где находится букет и т.д.) Что существенно, важно? (Общая численность. Сколько всего цветов.) Дети выполняют предметные действия. Учитель предлагает слева выложить столько квадратов, сколько васильков в букете, справа столько кругов, сколько ромашек в букете, а затем объединить объекты. Задается вопрос: больше или меньше теперь объектов? (Больше). Далее дети под руководством учителя от предметных действий переходят сначала к графическому, а затем к математическому описанию. 3 + 5. 11 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Аналогично рассматриваются 3 – 4 подобные ситуации. * В пенале 3 карандаша и 5 ручек. * В вазе 3 яблока и 5 груш. * На столе стоят 3 кружки и 5 стаканов. * На полке 3 альбома и 5 книг. Затем учитель предлагает выделить отличия и сходства ситуаций 3 + 5 , карточки выставляются на доске. III . Предлагается рассмотреть еще такой вид ситуаций. В нашем доме 6 этажей, а в другом на 3 этажа больше. Что несущественно? (Где находятся дома, что в них расположено и т.д.). Что существенно? (Последовательное приписывание к элементам одного множества элементов другого множества). (Множества упорядочены). Дети снова выполняют предметные действия. Учитель предлагает выложить в верхний ряд столько кругов, сколько этажей в одном доме, а в нижний на 3 круга больше. Сколько объектов стало во 2 ряду? (Больше). Дети от предметных действий переходят сначала к графическому, а затем к математическому описанию. 6 + 3. Аналогично рассматриваются 3- 4 ситуации Для постройки башни Аня взяла 6 кубиков, а Алёна на 3 больше. Длина одного ужа 1 метр, а другого на 2 больше. Высота березы 6 метров, а сосны на 3 метра больше. Учитель предлагает сравнить ситуации и выяснить, чем они отличаются, а чем похожи. На доске появляется карточка 6 + 3 . (Больше на – это столько, сколько. . . да ещё). IV. Предлагается такой жизненный сюжет. Катя нарисовала 7 флажков, а Саша на 2 флажка больше. Что неважно, несущественно? (На какой бумаге рисуют дети, какого они размера и т.д.). А что важно? (Продвижение по натуральному ряду на столько шагов вправо от первого числа, каково второе число). 12 7 и 2 характеризуют место в последовательности, на котором остановились действия по рисованию флажков, причем Саша продвинулся на 2 флажка больше. . Дети выполняют действия с предметами, затем строят графическую модель, а затем математическую модель. На доске появляется карточка 7 + 2 . Аналогично рассматриваются ещё несколько подобных ситуаций. Таня вымыла 7 кружек, а Лена на 2 кружки больше. Миша сорвал 7 орехов, а Антон на 2 ореха больше. Вера сорвала с грядки 7 ягод клубники, а Катя на 2 ягодки больше. Эти ситуации сравниваются детьми. Они выделяют отличие, а затем сходство. Уточняют, что это математическое описание подобных ситуаций. Далее учитель предлагает рассмотреть все записи на карточках, которые появились на доске. Дети учатся видеть отличие и сходство. (Это числовые выражения. Числа соединены одним знаком арифметического действия +, следовательно, это просто числовые выражения). Дети вспоминают, что такие выражения называются суммой чисел. Используются словарные карточки, выделяются компоненты. сумма 1е слагаемое 2е слагаемое Учатся читать выражения по-разному: *к прибавить *к увеличить на *к; ; плюс; 13 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» * сумма чисел и; * первое слагаемое, второе слагаемое Условия данного факта представляют для младших школьников определенную трудность. (Найдите сумму чисел 9 и 1, запишите сумму чисел 9 и 1). В результате такого целенаправленного обобщения учащиеся усваивают смысл понятия «числовое выражение», «простое числовое выражение», «сумма». Затем через комплекс специального подобранных заданий закрепляются представления о сумме: * запишите сумму чисел и; * чему равна сумма чисел и; Здесь 3+2 яблок. и 5+1 конфет. 2+3= ; 14 + * Какие два числа из круга в сумме дают 12? 14 3 = 9; Какие два числа из круга в сумме дают 19? Какие два числа из круга в сумме дают 14? Какие два числа из круга в сумме дают 10? * Машина делает «числовые сардельки»: 5+3 1+7 2+6 . Машина сломалась, числа выходят в неправильном порядке, их надо переставить и разложить «по сарделькам»: 1 4 5 2 3 6 ... 4 7 . * Найти для каждой пары суммы равную пару из овала: * Заполни окошки = 19; 6 * 1 . Здесь Какие два числа из круга в сумме дают 12? Какие два числа из круга в сумме дают 10? Какие два числа из круга в сумме дают 5? . Учитель обращает внимание на двоякий смысл термина «сумма»: сумма – это результат действия сложения; сумма – это само выражение. * сравните суммы чисел * + 6 = 8. 1+6 5 + 3 5+5 4+5 1 + 2 6+7 7+5 7 + 8 6+7 2+2 8+6 Понятие «разность», «произведение», «частное» могут быть закреплены по аналогии с закреплением понятия «сумма». Далее учащиеся знакомятся с числовыми выражениями, содержащими два и более арифметических действия при усвоении вычислительных приёмов: ± 2, ± 3, ± 1. Они решают примеры вида 3 + 1 + 1; 6 – 1 – 1; 2 + 2 + 2 и др., вычисляя, например, значение первого выражения, ученик поясняет: «К трём прибавить один, получится четыре, к четырем прибавить один, получится пять». Тем самым дети постепенно готовятся к выводу правила о порядке действий в выражениях, 15 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» содержащих действия одной ступени (позже действия разных ступеней и со скобками). Процесс обобщения знаний о сложных числовых выражениях и о правилах выполнения действий над ними осуществляется позже (II, III, IV кл.). При этом работу рекомендуется организовать поэтапно. I этап. Детям предлагается «сконструировать» сначала простые числовые выражения и закрепить знания о них, а затем сложные числовые выражения, например: 3 + 4 – 2; 19 – 13 + 12 – 6 + 8. Учащиеся записывают подобные выражения в тетради. Затем детям даются описания ряда жизненных ситуаций: они по конкретному описанию строят математическую модель, записывая её в тетради. Например: * В альбоме было 12 марок. Туда положили 3 марки, затем достали 4 марки, потом еще 2, затем еще 3 марки. Опять положили 5 марок, еще 3 марки, снова достали 6 марок, положили 1 марку и потом еще 4 марки: 12 + 3 – 4 – 2 – 3 + 5 + 3 – 6 + 1 + 4 . * В вазе лежало 8 конфет. Дети съели сначала 2, а потом 3 конфеты. В вазу добавили 5 конфет, затем 2 и 4. Снова съели сначала 1 конфету, а потом 2 конфеты. Опять добавили 1 конфету, а затем съели 8 конфет: 8–2–3+5+2+4–3–1–2+1–8 . Дети сравнивают записи, выделяют отличия, сходство. Делают вывод, что такие числовые выражения являются сложными, что они содержат только действия сложения и вычитания (т.е. действия одной ступени). Надо определить значения выражения. Когда дети учатся описывать ситуации на математическом языке, они видят и понимают, что действия надо выполнять в той последовательности, в которой они происходили. Для более прочного осознания данного факта можно научить детей строить графическую модель выражений. Например, дано выражение 8 – 4 + 1 – 3 = 2 . 16 Построить график или по данному графику восстановить числовое выражение После выполнения подобных заданий младшие школьники формулируют правило: «Если числовое выражение содержит только действия сложения или вычитания, то действия выполняются в том порядке, в котором они записаны слева направо». В данном случае происходит не механическое заучивание правила, а его осознанное восприятие. С целью закрепления порядка действий в подобных случаях предложить задания. * Расставьте порядок действий: + – – + – – – + . * Найдите ошибку: 1 + 3 + 2 – 5 – 4 + . Расставьте порядок действий, впишите числа и определите значение выражения. 17 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» II этап. Далее дети практически овладевают другими правилами порядка выполнения действий в выражениях, содержащих скобки. Школьники по заданию учителя записывают в тетради числовые выражения, описывающее определенную жизненную ситуации, например: В вазу положили 3 яблока и 4 груши, затем два фрукта взяли. 3+4 3–2 – 2 Как показать, что сначала положили фрукты? (Обвести овалом). Дети, рассуждая, какие фрукты могли быть взяты, получают и такие записи: + 4 или 3–1 4–1 + или 3 + 4–2 . Дети вспоминают, что в этом случае математики договорились пользоваться скобками. (3 + 4) – 2 Сначала фрукты положили. (3 – 2) + 4 Сначала взяли 2 яблока. (3 – 1) + (4 – 1) Взяли по 1 яблоку и 1 груше. 3 + (4 – 2) Взяли 2 груши. Дети подходят к осознанию того факта, что действия в скобках выполняются прежде всего. Предлагаются задания. Расставьте порядок действий: + ()+ – – Найдите ошибку: (1 + 2)+ + (+ (3 +). – Составьте граф данного выражения)–(+)– По данному графу восстановить выражение Данные задания способствуют осознанию детьми нового правила и последующей грамотной формулировке ими этого правила. III этап. Далее обобщаются знания учащихся о правиле порядка выполнения действий в выражениях, не имеющих скобок, и содержат действия умножения и деления. Работу можно организовать так. Детям предложить записать в тетрадь готовые числовые выражения и дать указание «Найдите лишнее выражение»: 18: 2 × 4: 6 × 5 × 2: 10; 44 × 2: 4 × 3; 95: 5 × 2 × 2; 98 – 4 + 5 – 9. Затем предлагается рассмотреть оставшиеся записи. Выяснить, чем они отличаются, а чем похожи. Эти числовые выражения содержат только действия умножения и деления. После выполнения заданий вида «Расставьте порядок действий, постройте графическое выражение» и др. дети формулируют правило (аналогично 1 правилу). Уточняются задания о действиях умножения и деления – «сильные» действия – это действия I ступени. Сложение и вычитание – «слабые» действия – это действия II ступени. IV этап. Обобщая знания о правилах выполнения действий в выражениях, не имеющих скобок и содержащих действия разных ступеней, работу можно организовать по-разному, например, так. 18 19 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Можно предложить детям выписать значения выражения 40–10:2. Ответы могут получиться разные: у одних значения выражения окажется равным 15, у других 35. Мнения анализируются, после выполнения нескольких подобных задания дети формулируют новое правило, которое через решение специальным образом подобранных упражнений осознанно усваивается учащимися. * Поставьте вместо звездочек знаки действия так, чтобы равенства были верными: 38 * 3 * 7 38 * 2 * 5 = 24 38 * 3 * 7 = 42 38 * 3 * 7 = 48 12 * 6 * 2 = 4 12 * 6 * 2 = 70 12 * 6 * 2 = 24 12 * 6 * 2 = 9 12 * 6 * 2 = 0 * Из заданных пар выражений выпишите только те, в которых вычисления выполнены по правилам порядка действий: 60 – 20: 4 = 10 4 × 3 + 20: 5 = 16 60 – 20: 4 = 55 4 × 3 + 20: 5 = 28. Порядок выполнения действий в числовых выражениях +, – *, : Действия 2 ступени Действия 1 ступени +, – Сначала действия 1 ступени потом действия 2 ступени *, : (), + , – , *, : Сначала действия в () затем действия 1 ступени потом действия 2 ступени V этап. На данном этапе ведется работа по обобщению знаний учащихся о порядке действий в выражениях, содержащих скобки и арифметические действия разных ступеней: сложение, вычитание, умножение, деление. Детям предложить записать в тетрадь следующие числовые выражения: (18 + 2) : 5 + 4 × 8 – 6 × 2 + 35 – 80: 20 99 + 48: 6: 2 – (45 + 15) : 10 + (12 – 6) и найти их значения. После обсуждения мнений о правилах поиска значения выражений под руководством учителя дети формулируют правило выполнения порядка арифметических действий в подобных числовых выражениях. Затем вместе с детьми можно составить схему-опору. 20 важные сильные 21 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Числовые равенства и неравенства - практике обучения в начальных классах числовые выражения В с самого начала рассматриваются в неразрывной связи с числовыми равенствами и неравенствами. В математике числовые равенства и неравенства делятся на истинные и ложные. В начальной школе вместо этих терминов можно употреблять слова «верные», «неверные». Процесс обобщения знаний о числовых равенствах и неравенствах можно организовать по-разному, например, так. Дети имеют глубокое представление о числовых выражениях, о порядке выполнения действий, поэтому можно предложить написать разные числовые выражения и, выбирая по 2, соединять их знаками отношений < ; > ; =: 18 – 6 = 34 + 2 9–5>3+7 13 – 7 + 2 < 14 + 8. Сравнивая значения левой и правой частей данных записей, дети убеждаются в том, что числовые равенства и неравенства могут быть верными и неверными (в пассивный словарь детей вводятся термины «истинные», «ложные»). Дети учатся выделять существенные признаки подобных записей. Два числовых выражения, соединенные знаком равенства, образуют числовое равенство, а знаками неравенства – числовые неравенства. – Наличие 2-х числовых выражений. – Наличие в записи знака равенства или неравенства. Далее дети учатся по этим признакам распознавать их среди различных объектов. Затем дети должны осознать тот факт, что не всегда между двумя выражениями можно установить отношение равенства или неравенства. Для этого предложить учащимся найти значение ряда числовых выражений: 7 – 35; 48: 9; 64 – 118; 21: 5. Подвести детей к выводу, что не существует натурального числа, являющегося значением каждого из них. На множестве натуральных чисел выражения не имеют смысла. 4:(8 – 8) 9: 0 44: 0. Такие выражения тоже не имеют смысла на любом числовом множестве. Дети запоминают тот факт, что на нуль делить нельзя. 22 После закрепления данных заданий ученики смогут сделать вывод, что отношение равенства устанавливается между двумя числовыми выражениями, имеющими смысл. Два числовых выражения равны тогда и только тогда, когда их числовые значения совпадают. Программа по математике для начальной школы ставит перед учащимися задачу уметь сравнивать числовые выражения и записывать результат сравнения с помощью знаков. Школьники осуществляют сравнение двух выражений либо с опорой на наглядность, либо без наглядности, на основе использования теоретических знаний с применением элементов дедуктивных рассуждений. Предлагаемые задания помогут учащимся постепенно овладеть приемом сравнения. Это позволит им в дальнейшем самостоятельно применять его для использования изученного в новых условиях. Обучение сравнению числовых выражений с последующим обобщением знаний можно осуществить поэтапно. Для этого нужно уточнить тот факт, что каждое число есть числовое выражение. I этап. Сравнение чисел в натуральной последовательности. Его цель – показать учащимся возможность использования свойств натурального ряда для их сравнения. * Учащимся предлагается последовательность чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 . . . Для каждого числа назовите предыдущее и последующие числа. Для любого числа можно назвать предыдущее число? Последующее число? Выберите любое число последовательности. Сравните его с предыдущим числом, последующим числом. Сформулируйте правило. Запишите результат сравнения с помощью знаков: 2 * 3 4 * 5 10 * 9 1 * 2. * Дана последовательность «сказочных» чисел: . 23 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» II этап. Сравните числа и выражения: Сравните и, и, и * Даны два соседних числа: A < B K > M M > N. Как называется число В для числа А? Число А для числа В? (Аналогично для других пар). * Может ли быть одновременно 1<2и1>2 > и < . * Закончите предложения так, чтобы они выражали верную мысль: «Если к числу прибавить 1, то оно станет. . .» «Если из числа вычесть 1, то оно станет. . . » а) больше; б) меньше; в) последующим; г) предыдущим; д) следующим. * Сравните числа в каждой тройке: 1, 2, 3 0, 7, 8 8, 9, 10. Запишите результат сравнения по образцу 2, 3, 4 2<3 2<3<4 2<4 3 < 4. * Дана тройка последовательных чисел: , Как называется число Число для числа А, B, C α, β, γ. для числа? ? Сравните числа в каждой тройке. Запишите результат сравнения с помощью знаков. Восстановите предложение: « . . ., то оно станет больше»; « . . . , то оно станет меньше»; « . . . , то оно не изменится». Не находя значения суммы, сравните: 3+0*3 2*2=0 4+4*1 5+1*5 6*6+2 6+3*6 Сравните: 3+5*5 4+1*1 2 + 7 * 7. Сравните, где возможно: +1* 24 3 * 3 + 2. ε + 0 * ε. 25 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» –1* –2* α+2* +2 . III этап. Сравнение числовых выражений (сложных). Сравните, не вычисляя: 3824: 4 * 4268: 4 3624: 2 * 3624: 3 85 – 18 * 85 – 15 24 + 36 * 24 + 6 25 × 147 * 31 × 154. Далее рекомендуется провести математические исследования по «открытию» некоторых свойств числовых равенств и неравенств: a = b(u) a > b(u) a + c = b + c(u) a + c > b + c (u) a × c = b × c (u) a × c > b × c(u) a: c = b: c (u) c ≠ 0 a: c > b: c(u) c ≠ 0. Далее разрабатываются карточки – задания, в которых требуется произвести ряд действий, выдвинуть гипотезу, сделать вывод. Сравните: (321 – 18) × 304 * (452 – 15) × 204. Жители острова Рокфор имели обычай казнить всех чужеземцев. Исключение составляли лишь те, кто справлялся с головоломками Стивенса – мудрейшего жителя этого острова. Разгадайте одну из них: Проверьте правильность решения с помощью вычислений. Таким образом, у младших школьников формируется осознанное представление о числовых равенствах и неравенствах, при этом продолжается работа по развитию логического, абстрактного мышления. 26 27 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Тождественные преобразования числовых выражений Прежде нужно закрепить знания о числовом выражении, о числовом равенстве. Запись выражения, имеющего смысл, другим выражением из того же класса эквивалентности, при которой оба выражения соединяются знаком равенства, называется тождественным преобразованием. Далее отрабатываются 2 правила, позволяющие преобразовывать числовые выражения так, чтобы каждое следующее было тождественно равно каждому из предыдущих: Каждое выражение можно заменить любым другим, тождественно ему равным. Выражение, получающееся из данного применения к нему свойств арифметических действий, является тождественно равным данному. Тождественные преобразования дают возможность получать новые знания. Например, 6 + 3 . Сначала 3 заменяется суммой 2 + 1, затем к 6 прибавляется 2 и к полученному результату прибавляется 1. Это можно записать в виде цепочки тождественных преобразований так: 6 + 3 = 6 + (2 + 1) = (6 + 2) + 1 = 8 + 1 = 9 (Новое знание, прием прибавления по частям). Здесь использованы оба правила. Действительно, сначала число 3 заменили равным ему выражением, затем применили свойство ассоциативности сложения, после чего 6 + 2 и 8 + 1 заменили равным им выражением. Тождественные преобразования числовых выражений требуют определенной изобретательности, основанной на анализе данного выражения, предшествующем самим преобразованием, а также на знании свойств арифметических действий. Кроме того, тождественные преобразования совершенно точно аргументированы и являются примерами правильных дедуктивных рассуждений. Овладение умением производить тождественные преобразования позволяет младшим школьникам применять на деле свойства арифметических действий, а следовательно, способствует их пониманию и запоминанию, развивает умение обосновывать свои 28 действия, приучает ум к дедукции. Овладение таким умением является очень важным с точки зрения подготовки младших школьников к изучению курса алгебры в среднем звене (и в дальнейшем). В методической литературе предлагаются задания для младших школьников, направленные на овладение тождественными преобразованиями. * Из данных записей выберите те, которые являются числовыми выражениями: 2 , + , 28: 4, (18 + 15) – (32 × 4), m + n, (29 – 32) : 5. * Найдите значения тех выражений, которые сможете вычислить: 2 + (5 – 4); (3 – 6) + 2; (8 + 12) – (5 – 5); (28: 1) – (28 × 1); (135 × 29) : (234 – 234). * Сравните выражения и найдите их значения: (8 + 6) : 2 + 22: 1 * (8 + 6: 2 + 22) : 11; (((42 – 2) – 4) : 9) – 3 * ((42 – 2) – 4) : (9 – 3). * С помощью тождественных преобразований найдите значения выражений: 168: 7 + 4 × 25 – 24; 28 000 + 12 000: 6 × 7 – 24: 8; 60 × 3: 2 × 6 – 81: 9; 630: 70 + (20 – 5) – (13 + 2). * Поставьте скобки в данном выражении так, чтобы его значение было равно 0; 40; 100:. 18 + 21: 3 – 5 × 5. * Составьте выражения, равные данному, так, чтобы количество действий увеличилось на одно, на два, на три: 63: 7 21 × 2 24 – 4. 29 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Буквенные выражения В начальных классах предусматривается проведение подготовительной работы по раскрытию смысла переменной в тесной связи с изучением нумерации и арифметических действий. Подготовительная работа проводится по уровням. 1 уровень – ознакомление с буквами латинского алфавита. Нужно объяснить детям, что на уроках математики будут использованы малые буквы латинского алфавита, научить писать, читать буквы, использовать для записи алгебраических выражений. 2 уровень – решение задач с недостающими данными. Предлагаются тексты, например, такие: Миша прочитал. . . книг и. . . сказок. Сколько всего книг прочитал Миша? Подбирая числа вместо точек, дети получают задачи одинакового содержания. Одну задачу подробно разбирают вместе с учителем, с остальными дети работают по аналогии. Задач можно составить много. Числа подбираются по мере изучения. 3 уровень – запись выражений, отражающих определенную ситуацию и выполнение расчетов. Желательно обыграть сюжет посещения детского кафе. Детям раздаются меню кафе. Они выясняют, что в кафе можно купить и по какой цене. Например: чай – 6 рублей, булочка – 12 рублей, сосиска в тесте – 17 рублей, кофе – 10 рублей и т.д. Учитель предлагает кратко записать содержание меню: ч – чай, к – кофе, в – вода (минеральная), б – булочка, г – гамбургер и т.д. Учатся записывать кратко заказ и просчитывать его стоимость. Например: ч + б + 2 г (чай, булочка, 2 гамбургера); 2 ч + 3 к + 5 с + 2 в. 4 уровень – определение значений выражений: 3 a + 8 – b при a = 5, b = 1; 7 y – 3 x: c при y = 2, x = 8, c = 6. На этапе ознакомления с буквенными выражениями дети работают с выражениями, содержащими «окошечки»: 30 ×2 +5 . Что означает «окошечко» (некоторое число); подставляя в него конкретное число, дети находят значение выражения. Затем анализируются записи заказов и выделяется их сходство и отличие. Договоримся (математически договорились) вместо «окошек», букв в заказе использовать малые буквы латинского алфавита a × 2 b + 5: c. Дети должны осознать, что буква – это некоторое число. Они учатся составлять различные записи типа 3 × a + b + c + 127; a x + b + 8 – 5; выделяют в них существенное: 1) запись; 2) состоит из чисел и букв, соединенных знаком арифметических действий. По этим признакам дети учатся распознавать подобные записи среди других. Младшие школьники, таким образом, получают представление о буквенном выражении. Нужно при этом использовать словарную карточку: Буквенное выражение Для овладения младшими школьниками представлений о буквенном выражении можно использовать такие типы заданий: Чтение буквенных выражение: x + y; a + b + c; 3 × a + 2 × b; 7 × x – y. Переход от буквенных выражений к числовым: b + d; b = 15; d = 3; 15 + 3, придавая буквам различные числовые значения, выяснить, сколько числовых выражений можно получить. Нахождение числовых значений буквенных выражений при заданных значениях букв: k – c, при k = 10, c = 2. Подбор детьми числовых значений букв, входящих в выражение и нахождение значения выражения c x m. 31 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Формирование понятия «постоянная»: 15 8 записать сумму 15 + 8 7 8 7+8 6 8 6+8 3 8 3+8 a 8 a + 8. Предложить понаблюдать за выражениями и спросить, что заметили? (2-е слагаемое одинаковое, постоянно). Преобразование таблицы с тремя графами в таблицу с двумя графами и наоборот: b m b–m 20 5 20 8 20 11 20 15 m 20 – m 5 8 11 15 Дети должны понять, что буква может принимать не только разные, но и одинаковые значения. Формирование понятия «область определения выражения» (в неявном виде): d – 25; 13 k; m + 13; 16: a; c: d. Какие значения может принимать переменная (буква)? Использование букв как средства обобщения знаний: – записывать при помощи букв свойства арифметических действий: a+b=b+a a + (b + c) = (a + b) + c; – записывать связь между компонентами и результатом действия: a + a + a + a + a = 5 × a 8 b = b + b + b + b + b + b + b + b; – прочитать записанные с помощью букв свойства, отношения, зависимости: a>b (a + b) – c a × b = b × a; – выполнить тождественные преобразования на основе знания свойств арифметических действий (5 + с) × 4; – доказать справедливость высказываний при помощи числовых подстановок: c + 12 > 1 + 10 d × 1 = d. 32 В алгебре символы служат для обозначения предметов. – Встречаются ли в жизни графические символы? (ДА). Детям предлагается рассмотреть ряд символов и ответить, что они означают: $ & – Придумать и нарисовать знаки-символы «не кричать», «учителям вход воспрещен», «твое имя», «парк отдыха», «продукт несъедобен». – Написать символы для каждой из картинок. Сложить символы. Например: a + 2a + 4a = 7a b + 5b + 6b = 10a + 3a + 2a = 9p +20p + 8p = 14p +20p + p = a + 5a + 16a = 15x + 5x + 16x = q + 7q + 10q + q = 2m + 3m + 2m + 10m = 12a + 10a + a = 15d + 10d + d + 4d = 33 4s + 3s + 7s = t + 2t + t + 5t = 26a + a + 2a + 3a = 15z + 12z + z + z = 20x + 17x + 3x = . Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Например: 2a + 3a + 3b + b = 5a + 4b a + 2a + 3b = 2a + 5a + 4b + 2b = 4s + s + 3r + s = 5q + p + 2p + 6q = 3x + 2y + x + 5y = 10a + 2c + a + 3c = h + h + 5h + 2j = 2s + 5s + x + s = 5x + x + t + 8t = 4e + 8c + 5e + c = 12a + d + 9a + d = b + 19k + 8k + 9b = 6p + 2t + 5p + 4t = 10p + 4q + q + 2q = 7t + q + 3q + 3t = 4k + 6y +k + 3y = e + e + t + 9e + t = 10y + x + 21y + y = . Внимание: разные символы не складываются, не вычитаются. Вывод: использование буквенной символики способствует повышению уровня знаний, приобретаемых младшими школьниками, готовит их к изучению систематического курса алгебры. Уравнения в начальном курсе математики Уравнение в начальном курсе математики трактуется как равенство, содержащее букву. Решить уравнение – значит узнать, при каких значениях буквы уравнение обращается в верное равенство. Одной из целей введения уравнений в начальный курс математики является обеспечение преемственности между начальным и средним звеном общеобразовательной школы. Понятие «уравнение» является одним из основных понятий математики. Можно выделить 3 этапа формирования представлений об уравнении в начальной школе. 1 этап – подготовительный. На этом этапе работа осуществляется по двум направлениям: 1) условие связи между компонентами и результатом арифметических действий: 7 + 8 = 15 34 – 11 = 23 15 – 7 = 8 23 + 11 = 34 15 – 8 = 7 34 – 23 = 11 18 × 2 = 36 36: 18 = 2 36: 2 = 18 45: 5 = 9 9 × 5 = 45 45: 9 = 5 . Нужно добиться, чтобы дети усвоили 8 правил. (Если из суммы вычесть первое слагаемое, то получим второе слагаемое и т.д.). Осознание учащимися этих правил осуществляется в процессе выполнения практических упражнений, при решении простых задач, при изучении состава числа; 2) подбор специальных упражнений – записей с «окошками», в процессе выполнения которых у младших школьников формируется представление о переменной, верном и неверном числовом равенстве. Такие задания решаются способом подбора. Этот способ формирует осознанный и математически верный подход к решению уравнений, так как ученик сразу ориентируется на то, что подобранное им число он должен проверить, т.е. подставить его и выяснить, верное или неверное числовое равенство получили. 34 35 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» ‪ + 3 = 12. Так, подставляя в «окошко» число 5, ученик убежда- ется, что при этом получится неверное числовое равенство 5 + 3 = 8 , а число 9 – верное числовое равенство. В практике обучения чаще используют только такие задания, в этом случае функции заданий сужаются до закрепления состава чисел, и способ подстановки теряет свой алгебраический смысл. Поэтому лучше задания формулировать так: «Какое равенство получим, если вставить в окошечко число 10», или «Объясни, почему числа 1, 2, 9, 5 нельзя вставить в окошко», или «Какое число нужно вставить в окошко, чтобы получить верное равенство». При подборе чисел ученик должен подумать, с какого числа его целесообразно начать. Идет подготовка к проверке решения уравнения. При нахождении значений числовых выражений учащиеся могут воспользоваться как знанием состава числа, так и вычислительными приемами (присчитывание и отсчитывание по частям). Способ подбора формирует не только осознанный подход к решению уравнений, но и предоставляет ученику возможность упражняться в закреплении вычислительных навыков и приемов. 2 этап. На этом этапе идет знакомство с уравнением и способами его решения. Введение понятия «уравнение» фактически сводится к замене «окошка» латинской буквой. (В математике принято неизвестные, входящие в уравнение, обозначать строчными буквами латинского алфавита x, y, z …): ‪ + 5 = 12 ‪ - 8 = 20 x + 5 = 12 y - 8 = 20 . Вводится термин «уравнение». Дети учатся выделять существенные признаки данного понятия и распознавать их среди других математических объектов. = 9 и 6 + z = 9 позволяет Сравнение двух видов записей 6 + детям самостоятельно справиться с поиском решения уравнения способом подбора. Нужно подчеркнуть, что именно такой метод ясно показывает смысл понятий «уравнение», «корень (решение) уравнения». Чтобы дети запомнили эти термины, можно использовать стихотворение: ‪ 36 Уравнение Когда уравнение решаешь, дружок, Ты должен найти у него корешок. Значение буквы проверить несложно. Поставь в уравнение его осторожно. Коль верное равенство выйдет у вас, То корнем значения зовите тотчас. Пусть требуется решить уравнение х + 12 507 = 206 734. Решить уравнение – это значит найти такое число, прибавляя к которому 12 507, получили 206 734. Можно заметить, что искомое число приблизительно равно 200 000. Но 200 000 + 12 507 = 212 507, что больше 206 734 примерно на 6000. Поэтому проверим число 194 000, получим 194 000 + 12 507 = 206 507, что меньше, чем 206 734. Увеличим число 194 000 на 200, получим 194 200 + 12 507 = 206 707, что меньше числа 206 734 на 27. Поэтому в качестве решения уравнения можно взять число 194227. Проверим 194 227 + 12 507 = 206 734. Таким образом, корнем данного уравнения является число 194 227. Все рассуждения, связанные с подбором решения уравнения и его проверкой, осуществляются устно. Способ подбора формирует у учащихся умение «оценивать», «анализировать» записанное уравнение, что создает благоприятные условия для решения уравнений с помощью «правил», например: х + 217 = 576 х = 576 – 217 х = 359 ответ: х = 359. 359 + 217 = 576 576 = 576 (u) При решении уравнений детям полезно использовать памятку «Как решить уравнение»: 1. Прочитай уравнений по-разному. 2. Назови, что известно, что неизвестно. 3. Вспомни, как найти это неизвестное. 4. Найди это число, используя нужное правило. 5. Сделай проверку. 6. Запиши ответ. 37 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» 3 этап. На этом этапе закрепляются представления об уравнении. Несмотря на то, что умение решать уравнения само по себе важно, значение уравнений выявляется только тогда, когда они применяются для решения задач практического содержания, т.е. выступают как метод моделирования конкретных фрагментов действительности. Составить уравнение: У шофера две одинаковые канистры с бензином. Обе неполные. В одной не хватает 8 литров, в другой – 4 литра. Чтобы освободить одну из канистр, шофер перелил весь бензин в одну канистру, но она осталась неполной. В ней не хватило 2 литра. Какова вместимость каждой канистры. х–8+х–4+2=х х–4=8–2 х = 10 л. Каждая канистра имеет объём 10 литров. Неизвестное число увеличили на 120, получили 270. Чему равно неизвестное число? Задуманное число уменьшили на 30, получили 180. Какое число задумали? Дети учатся по данному тексту составлять уравнения, а затем его решают. Полезно предлагать детям решать «задачи с весами». Чаши весов сбалансированы (весы находятся в равновесии). х + х = 10 2х = 10 х = 5 х = 3. 38 х + х + х + х =12 х × 4 = 12 х = 12: 4 Груз лежит на одной чаше весов, а гири на другой чаше: х + х + х = х + х = 10 3х = 2х + 10 3х – 2х = 2х – 2х + 10 х = 10. 25 + 4х = 5х 4х = 2х + 20. Груз лежит на обеих чашах весов. Можно предложить еще ряд заданий, направленных на овладение понятиями «уравнение», «решение уравнения» и методами решения простейших уравнений. Задание 1. 1.1. Сравнить выражения: 12 + 0 12 + 2 12 + 5 12 + 8 12 + 20 12 + 28 12 + 100. Найти значение каждого из этих выражений. Можно ли записывать эти выражения как 12 + х. Придумать еще выражения, которые так же можно записать. Какими числами заменили х в выражении 12 + х, если получились равенства: 12 + х = 12 + 5 12 + х = 12 + 34 12 + х = 12 + 370. 1.2. Верны ли равенства: 72: 3 = 6 × 4 72: 3 + 5 = 6 × 4 + 5 72: 3 + х = 6 × 4 + х 72: 3 + 20 = 6 × 4 + 20 72: 3 + 16 = 6 × 4 + 16 72: 3 × 2 = 6 × 4 × 2 39 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» 72: 3 × 5 = 6 × 4 × 5 72: 3 × х = 6 × 4 × х 72: 3 × 10 = 6 × 4 × 10 72: 3 – 4 = 6 × 4 – 4 72: 3 – 20 = 6 × 4 – 20 72: 3 – х = 6 × 4 – х 72: 3 – 12 = 6 × 4 – 12 72: 3: 3 = 6 × 4: 3 72: 3: 12 = 6 × 4: 12 72: 3: х = 6 × 4: х 72: 3: 6 = 6 × 4: 6. Какие числа нельзя поставить вместо х в двух последних равенствах из правого столбика? 1.3. Найти 5 чисел, которые можно поставить вместо х в выражение 8 – х, и найти его соответствующее значение. Найти 5 чисел, которые нельзя поставить в это выражение вместо х. Найти значения выражения 28 – х при х = 0, х = 15, х = 16, х = 18. При каком значении х выражение 28 – х = 12? х + 17 = 24? х + 17? При х = 2, х = 6, х = 3, х = 5, х = 10. 3.1. Найти значения выражений: 25 + 3 – 25 12 + (15 - 12) 102 + 24 – 102 7 + (8 – 7) 78 + 15 – 78 4 + (36 – 4) 16 + 18 – 18 78 + (150 – 78) a+b–a a + (b – a). 3.2. Найти значения выражения: 2 × 3: 2 15 × (45: 15) 17 × 5: 17 12 × (36: 12) 36 × 3: 36 3 × (21: 3) 172 × 4: 172 4 × 28: 4 a×b:a a × (b: a). 3.3. Найти, какому выражению равны данные выражения: 13 + х – 13 54 + (х – 54) 18 × х: 18 12 × (х: 12) 72 + х – 72 7 + (х – 7). 3.4. Найти значения х, при котором справедливы следующие равенства: х + 2 – 2 = 5 – 2 х × 5: 5 = 30: 5 34 + х – х х + 7 – 7 = 12 – 7 108: х × х 28 + х – х. 3.5. К обеим частям данного равенства прибавить число, чтобы получилось х: х – 5 = 7 х – 12 = 3 х – 21 = 5 х – 4 = 16. 3.6. Из обеих частей данных равенств вычесть такое число, чтобы получилось х: х + 5 = 9 х + 17 = 20 х + 43 = 65 х + 14 = 81. 3.7. Обе части равенства раздели на такое число, чтобы получилось выражение равное х: х × 5 = 30 х × 8 = 48 х × 15 = 60. 3.8. Записать еще два верных равенства, если данные равенства справедливы: 12 + 24 = 36 78 + 102 = 180 74 + 330 = 404 a+b=c 17 + х = 20 х + 5 = 12 х + 8 = 28 27 + x = 34. 3.9. Найти, при каком значении переменной х равенства справедливы, т.е. решить уравнения, записанные этими равенствами. Каждое уравнение решить тремя способами: а) подобрать подходящее число; б) записать равенство, которое выполняется одновременно с данным; в) прибавить (вычесть, умножить, разделить) к обеим частям равенства одно и то же число: х + 17 = 20 х – 6 = 13 х × 3 = 42 х: 6 = 54. 3.10. Решить уравнение таким способом, который нравится или является более простым: 29 + х = 32 6 + х = 4 12 × х = 36 72: х = 12. 40 41 Задание 2. 2.1. Найти значение данных выражений при указанных значения х. Заполнить таблицу: х 12 + х 15 – х 3×х 120: х 0 2 4 5 2.2. Заполнить таблицу. Найти такое число, заменяющее х, при котором оба выражения равны: х 22 – х 4+х 5 6 8 10 2.3. Ничего не вычисляя, найти равные выражения и записать равенства: 54: 6 + 12 = 3 × 3 + 12 (102 – 90) : 2 = 12: 2 (12 + 15) × 3 = (36 - 9) × 3. Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Обучение младших школьников решению задач алгебраическим методом Текстовые вычислительные задачи – одна из наиболее важных составляющих школьного курса математики. Решение этих задач играет большую роль в общем развитии школьников, в интересе к математике, оно знакомит учащихся с процедурой математического моделирования. Решение текстовой задачи состоит из трех частей: – перевод условия на математический язык (конструирование математической модели задачи); – оперирование полученной моделью с использованием математического аппарата и получение результата на языке математики; – перевод полученного результата на естественный язык и его интерпретация. Эти три шага составляют процедуру математического моделирования. Вооружать умением математического моделирования нужно уже в начальной школе. Поэтому младших школьников нужно познакомить с решением задач на составление уравнений – алгебраическим методом. Он состоит из следующих шагов: 1) введение неизвестного; 2) выражение через это неизвестное величин, о которых говорится в задаче; 3) составление уравнения; 4) осмысление результата и формулирование ответа. Конечной целью перевода при алгебраическом решении – математической моделью задачи – является уравнение. Пример. Задача 1. На дереве сидят жуки и пауки. Всего их 20, а ног 150. Сколько на ветке жуков? (У жука 6 ног, у паука 8). Уравнение: х × 6 + (20 – х). Задача 2. Одна из сторон прямоугольника на 3 см больше другой, а периметр равен 30 см. Чему равны стороны прямоугольника? Схема уравнения: (первая сторона + вторая сторона) × 2 = 30 см. х см – первая сторона; х + 3 см вторая сторона; (х + (х + 3)) × 2 = 30. Задача 3. В одном ящике было гвоздей в 2 раза больше, чем в другом. Когда из первого ящика взяли 30 гвоздей, а во второй ящик положили 70 гвоздей, то в обоих ящиках гвоздей стало поровну. Сколько гвоздей было в каждом ящике первоначально? Схема уравнения: (стало гвоздей в 1 ящике) = (стало гвоздей во 2-ом ящике). х – число гвоздей во 2 ящике первоначально. х × 2 число гвоздей в первом ящике. Уравнение: х × 2 – 30 = х + 7 Задача 4. В трех классах всего 83 учащихся. В первом классе на 4 ученика больше, чем во втором, и на 3 меньше, чем в третьем. Сколько учеников в каждом классе? Схема уравнения: (первый класс) + (второй класс) + (третий класс) = 83 ученика. х учеников во 2 классе. Уравнение: (х + 4) + х + (х + 4 + 3) = 83. Схема уравнения: Ноги жуков + ноги пауков = 150 ног. х – число жуков; (20 - х) – число пауков. 42 43 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Неравенство с переменной Обучение младших школьников элементам алгебры Младшие школьники встречаются с неравенствами с одной переменной уже в 1 классе, где такие неравенства задаются при помощи «окошка», например, Основное содержание ‪ ‪ ‪ + 5 < 8 7+3< 8+1> . Дети должны поставить в «окошко» такие числа, чтобы запись была верной. Далее, после введения букв, неравенства предлагаются в таком виде: х + 5 < 8 7 + 3 < z. В начальной школе неравенства решаются только методом подбора. Задания предлагаются в такой формулировке: – Какие из чисел 15, 180, 251, 6 удовлетворяют неравенству z > 83, а какие ему не удовлетворяют? Почему? – Какие из чисел 64, 71, 60, 75, 8, 0 являются решениями 65– х >5? Докажи. – Будет ли число 7 решением неравенства: 17 + х > 40 48: t > 1 a + a < 30 3 + y < 95 56 – n < 39 0: b > 5? – Имеются ли среди чисел 7, 9, 15, 30, 82 решения неравенства: 8 x b – 8 > 90 d: 3 + 9 < 12? – Найти два решения неравенства: r + 5 < 815 53 × m < 100 m – 4 > 960 180: y > 20. – Найти все решения неравенства: 7 × c < 9 x × 7 < 21 b+b<4 16: d > 3 y × 5 < 1 3 – t > 2. – Записать множество решений неравенства и отметить его на числовом луче. Существует ли в этом множестве наименьший элемент? Работа с неравенствами в начальной школе в основном направлена на формирование понятия «переменная» и с точки зрения обучения решению неравенств носит пропедевтический характер. 44 Алгебраическая линия в начальном курсе математики. Числовые выражения, числовые равенства, неравенства. Выражения с переменной. Уравнения, неравенства с переменной функцией. Изучение в начальных классах математических выражений (числовых и с переменными). Изучение числовых равенств и неравенств. Обучение решению уравнений. Функциональная пропедевтика в начальных классах. Требования к знаниям и умениям студентов по теме. Студент должен: – свободно владеть алгебраическим содержанием на уровне средней школы; – знать вопросы алгебраического характера, включенные в начальный курс математики, уровень обобщения при их раскрытии, последовательность обучения; – арифметические вопросы, усвоению которых способствует знакомство с алгебраическим материалом; – наглядные пособия, используемые при изучении алгебраического материала; – виды упражнений алгебраического характера; – дидактические игры, которые можно использовать при изучении алгебраического материала; – различные виды, формы и методы проверки усвоения алгебраического материала. Уметь: – реализовать в практике обучения взаимосвязь арифметического материала и элементов алгебры; – направленно применять соответствующие наглядные пособия; – использовать в обучении упражнения алгебраического характера; – целенаправленно использовать дидактические игры, способствующие усвоению алгебраического материала; 45 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» – подбирать проверочные задания, составлять самостоятельные письменные работы с элементами алгебры; – выделять основные знания и умения учащихся по теме; – работать с научной и научно-популярной литературой, связанной с алгебраическим содержанием. Доклады: 1. Методика использования исторического и занимательного материала при изучении элементов алгебры в начальной школе. 2. Жизнь и творчество Ал-Хорезми. 3. Роль Ал-Хорезми в развитии алгебры. 4. Любимцы богов. 5. Формирование функционального мышления у младших школьников при обучении математики. Список литературы 1. Виленкин, Н. Я. За страницами учебника математики [Текст] / Н. Я. Виленкин, Л. П. Шибасов, З. Ф. Шибасова. – М.: Просвещение, 1996. – С. 160 – 164. 2. Глейзер, Г. И. История математики в школе: IV – VI классы: пособие для учителей [Текст] / Г. И. Глейзер. – М.: Просвещение, 1981. 3. Сираждинов, С. Х. Ал – Хорезми выдающийся математик и астроном средневековья [Текст] / С. Х. Сираждинов, Г. П. Матвиевская. – М.: Просвещение, 1983. 46 Список литературы 1. Бантова, М. А. Методика преподавания математики в начальных классах [Текст] / М. А. Бантова, Г. В. Белотюкова. – М.: Просвещение, 1984. – 201 с. 2. Белашистая, А. В. Обучение математике в начальной школе [Текст] / А. В. Белашистая. – М.: Айрис Пресс, 2006. – 168 с. 3. Виленкин, Н. Я. За страницами учебника математики: Арифметика, алгебра, геометрия [Текст] / Н. Я. Виленкин, Л. П. Шибасов, З. Ф. Шибасова. – М.: Просвещение, 1996. – 315 с. 4. Вопросы общей методики преподавания математики: методические рекомендации [Текст] / сост. Е. И. Жилина. – Магнитогорск. МГПЦ, 1995. – 56 с. 5. Государственный благотворительный стандарт высшего профессионального образования [Текст]. – М., 2005. – 33 с. 6. Депман, И. Я. За страницами учебника математики [Текст] / И. Я. Депман, Н. Я. Виленкин. – М.: Просвещение, 1989. –175 с. 7. Депман, И. Я. Рассказы о старой и новой алгебре [Текст] / И. Я. Депман. – Л.: Детская литература, 1967. – 144 с. 8. Истомина, Н. Б. Методика обучения математике в начальных классах: учебное пособие [Текст] / Н. Б. Истомина. – М.: Академия, 2007. – 208 с. 9. Истомина, Н. Б. Методика преподавания математики в начальных классах: Вопросы частной методики [Текст] / Н. Б. Истомина. – М.: Просвещение, 2006. – 125 с. 10. Колягин, Ю. М. Методика преподавания математики в средней школе: общая методика [Текст] / Ю. М. Колягин. – М.: Просвещение, 1975. – 203 с. 11. Левитас, Г. Г. Решение текстовых задач с помощью уравнений [Текст] / Г. Г. Левитас // Начальная школа. – 2001. – № 1. – С. 76–79. 12. Меерзон, А. Е. Пособие по математике для студентов факультетов начальных классов [Текст] / А. Е. Меерзон, А. С. Добротворский, А. Л. Чекин. – М.: Просвещение, 1988. – 146 с. 13. Смирнова, В. В. Обучение решению уравнений в начальных классах [Текст] / В. В. Смирнова // Начальная школа плюс. – 2003. – № 11 – С. 56–59. 14. Стойлова, Л. П. Математика [Текст] / Л. П. Стойлова. – М.: Просвещение, 2008. – 327 с. 15. Шадрина, И. В. Обучение математике в начальных класса: пособие для учителей, родителей, студентов педвузов [Текст] / И. В. Шадрина. – М.: Школьная пресса, 2003. – 143 с. 47 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Учебное издание Валентина Ивановна Кузьминова Элементы алгебры в курсе математики для учащихся начальных классов Учебно-методическое пособие Зав. РИО Редактор Корректор Верстка Дизайн обложки Л. В. Малышева Л. Г. Абизяева Л. В. Кравченко Е. В. Ворониной Е. В. Ворониной Сдано в набор 11.03.2011. Подписано в печать 6.07.2011. Бумага для копировальной техники. Формат 60х84/16. Гарнитура «Times New Roman». Печать цифровая. Усл. печ. листов 2,79. Тираж 100 экз. Заказ № 270. Отпечатано в редакционно-издательском отделе ГОУ ВПО «Соликамский государственный педагогический институт» 618547, Россия, Пермский край, г. Соликамск, ул. Северная, 44.

Лекция 7. Понятие периметра многоугольника

1. Методика рассмотрения элементов алгебры.

2. Числовые равенства и неравенства.

3. Подготовка к ознакомлению с переменной. Элементы буквенной символики.

4. Неравенства с переменной.

5. Уравнение

1. Введение элементов алгебры в начальный курс математики позволяет с самого начала обучения вести планомерную работу направленную на формирование у детей таких важнейших математических понятий как: выражение, равенство, неравенство, уравнение. Ознакомление с использованием буквы как символа обозначающего любое число из известной детям области чисел, создает условия для обобщения многих на начальном курсе вопросов арифметической теории, является хорошей подготовкой к ознакомлению детей в дальнейшем с понятиями в переменной функций. Более раннее ознакомление с использованием алгебраического способа решения задач позволяет внести серьезнее усовершенствования во всю систему обучения детей решению разнообразных текстовых задач.

Задачи : 1.Сформировать у учащихся умения читать, записывать и сравнивать числовые выражения.2. Познакомить учащихся с правилами выполнения порядка действий в числовых выражениях и выработать умение вычислять значения выражений в соответствии с этими правилами.3. Сформировать у учащихся умение читать, записывать буквенные выражения и вычислять их значения при данных значениях букв.4. Познакомить учащихся с уравнениями 1-ой степени, содержащее действия первой и второй ступени, сформировать умение решать их способом подбора, а также на основе знания взаимосвязи м/у компонентами и результатом арифметический действий.

Программой начальных классов предусматривается знакомство учащихся с использования буквенной символики, решений элементарных уравнений первой степени с одним неизвестным и применений их к задачам в одно действие. Эти вопросы изучаются в тесной связи с арифметическим материалом, что способствует формированию числа и арифметических действий.

С первых дней обучения начинается работа по формированию у учащихся понятий равенства. Первоначально дети учатся сравнивать множество предметов уравнивать неравные группы, преобразовывать равные группы в неравные. Уже при изучении десятка чисел вводятся упражнения сравнения. Сначала они выполняются с опоры на предметы.

Понятие о выражении формируется у младших школьников в тесной связи с понятиями об арифметических действиях. В методике работы над выражениями предусматривается два этапа. На 1-формируется понятие о простейших выражениях (сумма, разность, произведение, частное двух чисел), а на 2- о сложных (сумма произведения и числа, разность двух частных и т. п.). Вводятся термины «математическое выражение» и «значение математического выражения» (без определений). После записи нескольких примеров в одно действие учитель сообщает, что эти примеры иначе называются метаматематическими выражениями. При изучении арифметических действий включаются упражнения на сравнения выражений, их делят на 3 группы. Изучение правил порядка действий. Цель на данном этапе - опираясь на практические умения учащихся, обратить их внимание на порядок выполнения действий в таких выражениях и сформулировать соответствующее правило. Учащиеся самостоятельно решают подобранные учителем примеры и объясняют, в каком порядке выполняли действия в каждом примере. Затем формулируют сами или читают по учебнику вывод. Тождественное преобразование выражения - это замена данного выражения другим, значение которого равно значению заданного выражения. Учащиеся выполняют такие преобразования выражений, опираясь на свойства арифметических действий и следствия, вытекающие из них (как прибавить сумму к числу, как вычесть число из суммы, как умножить число на произведение и др.). При изучении каждого свойства учащиеся убеждаются в том, что в выражениях определенного вида можно выполнять действия по-разному, но значение выражения при этом не изменяется.

2. Числовые выражения с самого начала рассматриваются в неразрывной связи с числовыми равен-ми и неравен-ми. Числовые равенства и неравенства делятся на «верные» и «неверные». Задачи: сравнивать числа, сравнивать арифметические выражения, решать простейшие неравенства с одним неизвестным, переходить от неравенства к равенству и от равенства к неравенству

1. Упражнение, направленное на уточнение знаний учащихся об арифметических действиях и на их применение. При ознакомлении учащихся с арифметическими действиями сравниваются выражение вида 5+3 и 5-3; 8*2 и 8/2. Сначала выражения сравниваются путем нахождения значений каждого и сравнения полученных чисел. В дальнейшем задание выполняется ни основе того, что сумма двух чисел больше их разности, а произведение - больше их частного; вычисление используется только для проверки результата. Сравнение выражений вида 7+7+7 и 7*3 проводится для закрепления знаний учащихся о связи сложения и умножения.

В процессе сравнения учащиеся знакомятся с порядком выполнения арифметических действий. Сначала рассматриваются выражения, содержание скобки, вида 16 - (1+6).

2. После этого рассматривается порядок действий в выражениях без скобок содержащих действия одной и двух степеней. Эти значения учащиеся усваивают в процессе выполнения примеров. Сначала рассматриваются порядок действий в выражениях, содержащих действия одной ступени, например: 23 + 7 - 4 , 70: 7 * 3. При этом дети должны усвоить, что если выражений есть только сложение и вычитания или только умножение и деление, то они выполняются в том порядке в каком записаны. Затем вводятся выражения, содержащие действия обеих ступеней. Учащимся сообщается, что в таких выражениях надо сначала выполнить по порядку действия умножения и деления, а затем сложение и вычитание, например: 21/3+4*2=7+8=15; 16+5*4=16+20=36. Чтобы убедить учащихся в необходимости соблюдения порядка действий, полезно выполнить их в одном и тоже выражении в другой последовательности и сравнить полученные результаты.

3. Упражнения, при выполнении которые учащиеся усваивают и закрепляют знания по соотношению между компонентами и результатами арифметических действий. Они включаются уже при изучении чисел десятка.

В этой группе упражнений учащиеся знакомятся со случаями изменения результатов действий в зависимости от изменения одного из компонентов. Сравниваются выражения, в которых изменяется одно из слагаемых (6+3 и 6+4) или уменьшаемое 8-2 и 9-2 и т.д. Подобные задания включаются также при изучении табличного умножения и деления и выполняются с помощью вычислений (5*3 и 6*3, 16:2 и 18:2) и т.д. В дальнейшем можно сравнивать эти выражения без опоры на вычисления.

Рассмотренные упражнения тесно связаны с программным материалом и способствует его усвоению. Наряду с этим в процессе сравнения чисел и выражений учащиеся получают первые представления о равенстве и неравенстве .

Так, в 1 классе, где ещё термины «равенство» и «неравенство» не используются, учитель может при проверке правильности выполненных детьми вычислений задавать вопросы в такой форме: «Коля прибавил к шести восемь и получил 15. Верное это решение или неверное?», или предлагать детям упражнения в которых требуется проверить решение данных примеров, найти верные записи и т.д. Аналогично при рассмотрении числовых неравенств вида 5<6,8>4 и более сложных учитель может задавать вопрос в такой форме: «Верны ли эти записи?», а после введения неравенства – «Верны ли эти неравенства?».

Начиная с 1 класса дети знакомятся и с преобразованиями числовых выражений, выполняемое на основе применения изученных элементов арифметической теории(нумерации, смысла действий и другое). Например, на основе знания нумерации, разрядного состава чисел учащиеся могут представить любое число в виде суммы его разрядных слагаемых. Это умение используется при рассмотрении преобразования выражений в связи с выражением многих вычислительных приемов.

В связи с подобными преобразованиями уже в I классе дети встречаются с «цепочкой» равенств.

Введение… 2

Глава I. Общетеоретические аспекты изучения алгебраического материала в начальной школе… 7

1.1 Опыт введения элементов алгебры в начальной школе… 7

1.2 Психологические основы введения алгебраических понятий

в начальной школе… 12

1.3 Проблема происхождения алгебраических понятий и ее значение

для построения учебного предмета… 20

2.1 Обучение в начальной школе с точки зрения потребностей

средней школы… 33

2.1 Сравнение (противопоставление) понятий на уроках математики… 38

2.3 Совместное изучение сложения и вычитания, умножения и деления 48

Глава III. Практика изучения алгебраического материала на уроках математики в начальных классах средней школы № 4 г. Рыльска… 55

3.1 Обоснование использования инновационных технологий (технологии

укрупнения дидактических единиц)… 55

3.2 Об опыте ознакомления с алгебраическими понятиями в I классе… 61

3.3 Обучение решению задач, связанных с движением тел… 72

Заключение… 76

Библиографический список… 79

В любой современной системе общего образования математика занимает одно из центральных мест, что несомненно говорит об уникальности этой области знаний.

Что представляет собой современная математика? Зачем она нужна? Эти и подобные им вопросы часто задают учителям дети. И каждый раз ответ будет разным в зависимости от уровня развития ребенка и его образовательных потребностей.

Часто говорят, что математика - это язык современной науки. Однако, представляется, что это высказывание имеет существенный дефект. Язык математики распространен так широко и так часто оказывается эффективным именно потому что математика к нему не сводится.

Выдающийся отечественный математик А.Н. Колмогоров писал: «Математика не просто один из языков. Математика - это язык плюс рассуждения, это как бы язык и логика вместе. Математика - орудие для размышления. В ней сконцентрированы результаты точного мышления многих людей. При помощи математики можно связать одно рассуждение с другим. … Очевидные сложности природы с ее странными законами и правилами, каждое из которых допускает отдельное очень подробное объяснение, на самом деле тесно связаны. Однако, если вы не желаете пользоваться математикой, то в этом огромном многообразии фактов вы не увидите, что логика позволяет переходить от одного к другому » (, с. 44).

Таким образом, математика позволяет сформировать определенные формы мышления, необходимые для изучения окружающего нас мира.

В настоящее время все более ощутимой становится диспропорция между степенью наших познаний природы и пониманием человека, его психики, процессов мышления. У. У. Сойер в книге «Прелюдия к математике» (, с. 7) отмечает: «Можно научить учеников решать достаточно много типов задач, но подлинное удовлетворение придет лишь тогда, когда мы сумеем передать нашим воспитанникам не просто знания, а гибкость ума», которая дала бы им возможность в дальнейшем не только самостоятельно решать, но и ставить перед собой новые задачи.

Конечно, здесь существуют определенные границы, о которых нельзя забывать: многое определяется врожденными способностями, талантом. Однако, можно отметить целый набор факторов, зависящих от образования и воспитания. Это делает чрезвычайно важной правильную оценку огромных неиспользованных еще возможностей образования в целом и математического образования в частности.

В последние годы наметилась устойчивая тенденция проникновения математических методов в такие науки как история, филология, не говоря уже о лингвистике и психологии. Поэтому круг лиц, которые в своей последующей профессиональной деятельности возможно будут применять математику, расширяется.

Наша система образования устроена так, что для многих школа дает единственную в жизни возможность приобщиться к математической культуре, овладеть ценностями, заключенными в математике.

Каково же влияние математики вообще и школьной математики в частности на воспитание творческой личности? Обучение на уроках математики искусству решать задачи доставляет нам исключительно благоприятную возможность для формирования у учащихся определенного склада ума. Необходимость исследовательской деятельности развивает интерес к закономерностям, учит видеть красоту и гармонию человеческой мысли. Все это является на наш взгляд важнейшим элементом общей культуры. Важное влияние оказывает курс математики на формирование различных форм мышления: логического, пространственно-геометрического, алгоритмического. Любой творческий процесс начинается с формулировки гипотезы. Математика при соответствующей организации обучения, будучи хорошей школой построения и проверки гипотез, учит сравнивать различные гипотезы, находить оптимальный вариант, ставить новые задачи, искать пути их решения. Помимо всего прочего, она вырабатывает еще и привычку к методичной работе, без которой не мыслим ни один творческий процесс. Максимально раскрывая возможности человеческого мышления, математика является его высшим достижением. Она помогает человеку в осознании самого себя и формировании своего характера.

Это то немногое из большого списка причин, в силу которых математические знания должны стать неотъемлемой частью общей культуры и обязательным элементом в воспитании и обучении ребенка.

Курс математики (без геометрии) в нашей 10-летней школе фактически разбит на три основные части: на арифметику (I - V классы), алгебру (VI - VIII классы) и элементы анализа (IX - Х классы). Что служит основанием для такого подразделения?

Конечно, каждая эта часть имеет свою особую «технологию». Так, в арифметике она связана, например, с вычислениями, производимыми над многозначными числами, в алгебре - с тождественными преобразованиями, логарифмированием, в анализе - с дифференцированием и т.д. Но каковы более глубокие основания, связанные с понятийным содержанием каждой части?

Следующий вопрос касается оснований для различения школьной арифметики и алгебры (т.е. первой и второй части курса). В арифметику включают изучение натуральных чисел (целых положительных) и дробей (простых и десятичных). Однако специальный анализ показывает, что соединение этих видов чисел в одном школьном учебном предмете неправомерно.

Дело в том, что эти числа имеют разные функции: первые связаны со счетом предметов, вторые - с измерением величин . Это обстоятельство весьма важно для понимания того факта, что дробные (рациональные) числа являются лишь частным случаем действительных чисел.

С точки зрения измерения величин, как отмечал А.Н. Колмогоров, «нет столь глубокого различия между рациональными и иррациональными действительными числами. Из педагогических соображений надолго задерживаются на рациональных числах, так как их легко записать в форме дробей; однако то употребление, которое им с самого начала придается, должно было бы сразу привести к действительным числам во всей их общности» (), стр. 9).

А.Н. Колмогоров считал оправданным как с точки зрения истории развития математики, так и по существу предложение А. Лебега переходить в обучении после натуральных чисел сразу к происхождению и логической природе действительных чисел. При этом, как отмечал А.Н. Колмогоров, «подход к построению рациональных и действительных чисел с точки зрения измерения величин нисколько не менее научен, чем, например, введение рациональных чисел в виде „пар“. Для школы же он имеет несомненное преимущество» (, стр. 10).

Таким образом, есть реальная возможность на базе натуральных (целых) чисел сразу формировать «самое общее понятие числа» (по терминологии А. Лебега), понятие действительного числа. Но со стороны построения программы это означает не более не менее, как ликвидацию арифметики дробей в ее школьной интерпретации. Переход от целых чисел к действительным - это переход от арифметики к «алгебре», к созданию фундамента для анализа.

Эти идеи, высказанные более 20 лет назад, актуальны и сегодня. Возможно ли изменение структуры обучения математики в начальной школе в данном направлении? Каковы достоинства и недостатки «алгебраизации» начального обучения математики? Цель данной работы - попытаться дать ответы на поставленные вопросы.

Реализация поставленной цели требует решения следующих задач:

Рассмотрение общетеоретических аспектов введения в начальной школе алгебраических понятий величины и числа. Эта задача ставится в первой главе работы;

Изучение конкретной методики обучения этим понятиям в начальной школе. Здесь, в частности, предполагается рассмотреть так называемую теорию укрупнения дидактических единиц (УДЕ), речь о которой пойдет ниже;

Показать практическую применимость рассматриваемых положений на школьных уроках математики в начальной школе (уроки проводились автором в средней школе № 4 г. Рыльска). Этому посвящена третья глава работы.

Применительно к библиографии, посвященной данному вопросу, можно отметить следующее. Несмотря на то, что в последнее время общее количество изданной методической литературы по математике крайне незначительно, дефицит информации при написании работы не наблюдался. Действительно, с 1960 (время постановки проблемы) по 1990 гг. в нашей стране вышло огромное число учебной, научной и методической литературы, в той или иной степени затрагивающий проблему введения алгебраических понятий в курсе математики для начальной школы. Кроме того, эти вопросы регулярно освещаются и в специализированной периодике. Так, при написании работы в значительной мере использовались публикации в журналах «Педагогика», «Преподавание математики в школе» и «Начальная школа».

До сих пор наши рассуждения носили теоретический характер и были направлены на выяснение математических предпосылок построения такого начального раздела курса, который знакомил бы детей с основными алгебраическими понятиями (до специального введения числа).

Выше были описаны основные свойства, характеризующие величины. Естественно, что детям 7 лет бессмысленно читать «лекции» относительно этих свойств. Необходимо было найти такую форму работы детей с дидактическим материалом, посредством которой они смогли бы, с одной стороны, выявить в окружающих их вещах эти свойства, с другой - научились бы фиксировать их определенной символикой и проводить элементарный математический анализ выделяемых отношений.

В этом плане программа должна содержать, во-первых, указание тех свойств предмета, которые подлежат освоению, во-вторых, описание дидактических материалов, в-третьих, - и это с психологической точки зрения главное - характеристики тех действий, посредством которых ребенок выделяет определенные свойства предмета и осваивает их. Эти «составляющие» образуют программу преподавания в собственном смысле этого слова.

Конкретные особенности этой гипотетической программы и ее «составляющих» имеет смысл излагать при описании процесса самого обучения и его результатов. Здесь представляется схема данной программы и ее узловые темы.

Тема I. Уравнивание и комплектование объектов (по длине, объему, весу, составу частей и другим параметрам).

Практические задачи на уравнивание и комплектование. Выделение признаков (критериев), по которым одни и те же объекты могут быть уравнены или укомплектованы. Словесное обозначение этих признаков («по длине», по весу" и т.д.).

Эти задачи решаются в процессе работы с дидактическим материалом (планками, грузами и т.д.) путем:

- выбора «такого же» предмета,

- воспроизведения (построения) «такого же» предмета по выделенному (указанному) параметру.

Тема II. Сравнение объектов и фиксация его результатов формулой равенства-неравенства.

1. Задачи на сравнение объектов и знаковое обозначение результатов этого действия.

2. Словесная фиксация результатов сравнения (термины «больше», «меньше», «равно»). Письменные знаки ">", "<", "=".

3. Обозначение результата сравнения рисунком («копирующим», а затем «отвлеченным» - линиями ).

4. Обозначение сравниваемых объектов буквами . Запись результата сравнения формулами: А=Б; А<Б, А>B.

Буква как знак , фиксирующий непосредственно данное, частное значение объекта по выделенному параметру (по весу, по объему и т.д.).

5. Невозможность фиксации результата сравнения разными формулами. Выбор определенной формулы для данного результата (полная дизъюнкция отношений больше - меньше - равно).

Тема III. Свойства равенства и неравенства.

1. Обратимость и рефлексивность равенства (если А=Б, то Б=А; А=А).

2. Связь отношений «больше» и «меньше» в неравенствах при «перестановках» сравниваемых сторон (если А>Б, то Б<А и т.п.).

3. Транзитивность как свойство равенства и неравенства:

если А=Б, если А>Б, если А<Б,

а Б=В, а Б>В, а Б<В,

то А=В; тo A>B; тo А<В.

4. Переход от работы с предметным дидактическим материалом к оценкам свойств равенства-неравенства при наличии только буквенных формул. Решение разнообразных задач, требующих знания этих свойств (например, решение задач, связанных со связью отношений типа: дано, что А>В, а В=С; узнать отношение между А и С).

Тема IV. Операция сложения (вычитания).

1. Наблюдения за изменениями объектов по тому или иному параметру (по объему, по весу, по длительности и т.д.). Изображение увеличения и уменьшения знаками "+" и "-" (плюс и минус ).

2. Нарушение ранее установленного равенства при соответствующем изменении той или иной его стороны. Переход от равенства к неравенству. Запись формул типа:

если А=Б, если А=Б,

то А+К>Б; то А-К<Б.

3. Способы перехода к новому равенству (его «восстановление» по принципу: прибавление «равного» к «равным» дает «равное»).

Работа с формулами типа:

если А=Б,

то А+К>Б,

но А+К=Б+К.

4. Решение разнообразных задач, требующих применения операции сложения (вычитания) при переходе от равенства к неравенству и обратно.

Тема V. Переход от неравенства типа А<Б к равенству через операцию сложения (вычитания).

1. Задачи, требующие такого перехода. Необходимость определения значения величины, на которую разнятся сравниваемые объекты. Возможность записи равенства при неизвестном конкретном значении этой величины. Способ использования х (икса).

Запись формул типа:

если A<Б, если А>Б,

то A+х=Б; то А-x=B.

2. Определение значения х. Подстановка этого значения в формулу (знакомство со скобками). Формулы типа

3. Решение задач (в том числе и «сюжетно-текстовых»), требующих выполнения указанных операций.

Тема Vl. Сложение-вычитание равенств-неравенств. Подстановка.

1. Сложение-вычитание равенств-неравенств:

если А=Б если А>В если А>В

и М=D, и К>Е, и Б=Г,

тo A+M=Б+D; то А+К>В+E; то А+-Б>В+-Г.

2. Возможность представления значения величины суммой нескольких значений. Подстановка типа:

3. Решение разнообразных задач, требующих учета свойств отношений, с которыми дети познакомились в процессе работы (многие задачи требуют одновременного учета нескольких свойств, сообразительности при оценке смысла формул; описание задач и решения приведены ниже).

Такова программа, рассчитанная на 3,5 - 4 мес. первого полугодия. Как показывает опыт экспериментального обучения, при правильном планировании уроков, при усовершенствовании методики преподавания и удачном выборе дидактических пособий весь изложенный в программе материал может быть полноценно усвоен детьми за более короткий срок (за 3 месяца).

Как строится наша программа дальше? Прежде всего дети знакомятся со способом получения числа , выражающим отношение какого-либо объекта как целого (той же величины, представленной непрерывным или дискретным объектом) к его части. Само это отношение и его конкретное значение изображается формулой А/К=n, где n - любое целое число, чаще всего выражающее отношение с точностью до «единицы» (лишь при специальном подборе материала или при сосчитывании лишь «качественно» отдельных вещей можно получить абсолютно точное целое число). Дети с самого начала «вынуждены» иметь в виду, что при измерении или сосчитывании может получиться остаток, наличие которого нужно специально оговаривать. Это первая ступенька к последующей работе с дробным числом.

При такой форме получения числа нетрудно подвести детей к описанию объекта формулой типа А=5k (если отношение было равно «5»). Вместе с первой формулой она открывает возможности для специального изучения зависимостей между объектом, основанием (мерой) и результатом счета (измерения), что также служит пропедевтикой для перехода к дробным числам (в частности, для понимания основного свойства дроби).

Другая линия развертывания программы, реализуемая уже в I классе, - это перенесение на числа (целые) основных свойств величины (дизъюнкции равенства-неравенства, транзитивности, обратимости) и операции сложения (коммутативности, ассоциативности, монотонности, возможности вычитания). В частности, работая на числовом луче , дети могут быстро претворить последовательность чисел в величину (например, отчетливо оценивать их транзитивность, выполняя записи типа 3<5<8, одновременно связывая отношения «меньше-больше»: 5<8, но 5<3, и т.д.).

Знакомство с некоторыми так сказать «структурными» особенностями равенства позволяет детям иначе подойти к связи сложения и вычитания. Так, при переходе от неравенства к равенству выполняются следующие преобразования: 7<11; 7+х=11; x=11-7; х=4. В другом случае дети складывают и вычитают элементы равенств и неравенств, выполняя при этом работу, связанную с устными вычислениями. Например, дано 8+1=6+3 и 4>2; найти отношение между левой и правой частями формулы при 8+1-4...6+3-2; в случае неравенства привести это выражение к равенству (вначале нужно поставить знак «меньше», а затем приплюсовать к левой части «двойку»).

Таким образом, обращение с числовым рядом как с величиной позволяет по новому формировать сами навыки сложения-вычитания (а затем умножения-деления).

Глава II. Методические рекомендации к изучению алгебраического материала в начальной школе

2.1 Обучение в начальной школе с точки зрения потребностей средней школы

Как известно, при изучении математики в 5-м классе существенная часть времени отводится на повторение того, что дети должны были усвоить в начальной школе. Это повторение практически во всех существующих учебниках занимает 1,5 учебной четверти. Такая ситуация сложилась неслучайно. Ее причина – недовольство учителей математики средней школы подготовкой выпускников начальной школы. В чем же причина такого положения? Для этого была проанализированы пять наиболее известных сегодня учебников математики начальной школы. Это учебники М.И. Моро, И.И. Аргинской, Н.Б. Истоминой, Л.Г. Петерсон и В.В. Давыдова (, , , , ).

Анализ этих учебников выявил несколько негативных моментов, в большей или меньшей степени присутствующих в каждом из них и отрицательно влияющих на дальнейшее обучение. Прежде всего это то, что усвоение материала в них в большей мере основано на заучивании. Ярким примером этого служит заучивание таблицы умножения. В начальной школе ее запоминанию уделяется много сил и времени. Но за время летних каникул дети ее забывают. Причина такого быстрого забывания в механическом заучивании. Исследования Л.С. Выготского показали, что осмысленное запоминание гораздо более эффективно, чем механическое, а проведенные впоследствии эксперименты убедительно доказывают, что материал попадает в долговременную память, только если он запомнен в результате работы, соответствующей этому материалу.

Способ эффективного усвоения таблицы умножения был найден еще в 50-х годах. Он состоит в организации определенной системы упражнений, выполняя которые, дети сами конструируют таблицу умножения. Однако не в одном из рассмотренных учебников этот способ не реализован.

Другим негативным моментом, влияющим на дальнейшее обучение, является то, что во многих случаях изложение материала в учебниках математики начальной школы построено таким образом, что в дальнейшем детей придется переучивать, а это, как известно, гораздо труднее, чем учить. Применительно к изучению алгебраического материала примером может служить решение уравнений в начальной школе. Во всех учебниках решение уравнений основано на правилах нахождения неизвестных компонентов действий.

Несколько иначе это сделано лишь в учебнике Л.Г. Петерсон, где, например, решение уравнений на умножение и деление строится на соотнесении компонентов уравнения со сторонами и площадью прямоугольника и в итоге также сводится к правилам, но это правила нахождения стороны или площади прямоугольника. Между тем, начиная с 6-го класса детей учат совершенно другому принципу решения уравнений, основанному на применении тождественных преобразований. Такая необходимость переучивания приводит к тому, что решение уравнений является достаточно сложным моментом для большинства детей.

Анализируя учебники, мы столкнулись еще и с тем, что при изложении материала в них зачастую имеет место искажение понятий. Например, формулировка многих определений дается в виде импликаций, тогда как из математической логики известно, что любое определение – это эквиваленция. В качестве иллюстрации можно привести определение умножения из учебника И.И. Аргинской: «Если все слагаемые в сумме равны между собой, то сложение можно заменить другим действием – умножением». (Все слагаемые в сумме равны между собой. Следовательно, сложение можно заменить умножением.) Как видно, это импликация в чистом виде. Такая формулировка не только неграмотна с точки зрения математики, не только неправильно формирует у детей представление о том, что такое определение, но она еще и очень вредна тем, что в дальнейшем, например, при построении таблицы умножения авторы учебников используют замену произведения суммой одинаковых слагаемых, чего представленная формулировка не допускает. Такая неправильная работа с высказываниями, записанными в виде импликации, формирует у детей неверный стереотип, который будет с большим трудом преодолеваться на уроках геометрии, когда дети не будут чувствовать разницы между прямым и обратным утверждением, между признаком фигуры и ее свойством. Ошибка, когда при решении задач используется обратная теорема, в то время как доказана только прямая, является очень распространенной.

Другим примером неправильного формирования понятий является работа с отношением буквенного равенства. Например, правила умножения числа на единицу и числа на нуль во всех учебниках даются в буквенном виде: а х 1 = а , а х 0 = 0. Отношение равенства, как известно, является симметричным, а следовательно, подобная запись предусматривает не только то, что при умножении на 1 получается то же число, но и то, что любое число можно представить как произведение этого числа и единицы. Однако словесная формулировка, предложенная в учебниках после буквенной записи, говорит только о первой возможности. Упражнения по этой теме также направлены только на отработку замены произведения числа и единицы этим числом. Все это приводит не только к тому, что предметом сознания детей не становится очень важный момент: любое число можно записать в виде произведения, – что в алгебре при работе с многочленами вызовет соответствующие трудности, но и к тому, что дети в принципе не умеют правильно работать с отношением равенства. К примеру, при работе с формулой разность квадратов дети, как правило, справляются с заданием разложить разность квадратов на множители. Однако те задания, где требуется обратное действие, во многих случаях вызывают затруднения. Другой яркой иллюстрацией этой мысли служит работа с распределительным законом умножения относительно сложения. Здесь также, несмотря на буквенную запись закона, и его словесная формулировка, и система упражнений отрабатывают только умение открывать скобки. В результате этого вынесение общего множителя за скобки в дальнейшем будет вызывать значительные трудности.

Весьма часто в начальной школе, даже когда определение или правило сформулировано верно, обучение стимулирует опору не на них, а на нечто совершенно другое. Например, при изучении таблицы умножения на 2 во всех рассмотренных учебниках показан способ ее построения. В учебнике М.И. Моро это сделано так:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

При таком способе работы дети очень быстро подметят закономерность получающегося числового ряда.

Уже после 3–4 равенств они перестанут складывать двойки и начнут записывать результат, основываясь на подмеченной закономерности. Таким образом, способ конструирования таблицы умножения не станет предметом их сознания, результатом чего будет являться непрочное ее усвоение.

При изучении материала в начальной школе опора делается на предметные действия и иллюстративную наглядность, что ведет к формированию эмпирического мышления. Конечно, без подобной наглядности вряд ли можно совсем обойтись в начальной школе. Но она должна служить лишь иллюстрацией того или иного факта, а не основой для формирования понятия. Применение иллюстративной наглядности и предметных действий в учебниках нередко приводит к тому, что «размывается» само понятие. Например, в методике математики для 1–3-х классов М.И. Моро говорится, что детям приходится выполнять деление, раскладывая предметы на кучки или делая рисунок на протяжении 30 уроков. За подобными действиями теряется сущность операции деления как действия, обратного умножению. В результате деление усваивается с наибольшим трудом и значительно хуже, чем другие арифметические действия.

При обучении математике в начальной школе нигде не идет речь о доказательстве каких-либо утверждений. Между тем, помня о том, какую трудность будет вызывать обучение доказательству в средней школе, начинать готовить к этому нужно уже в начальных классах. Причем сделать это можно на вполне доступном для младших школьников материале. Таким материалом, например, могут служить правила деления числа на 1, нуля на число и числа на само себя. Дети вполне в состоянии доказать их, используя определение деления и соответствующие правила умножения.

Материал начальной школы также допускает и пропедевтику алгебры – работу с буквами и буквенными выражениями. Большинство учебников избегает использование букв. В результате четыре года дети работают практически только с числами, после чего, конечно, очень трудно приучать их к работе с буквами. Однако обеспечить пропедевтику такой работы, научить детей подстановке числа вместо буквы в буквенное выражение можно уже в начальной школе. Это сделано, например, в учебнике Л.Г. Петерсон.

Говоря о недостатках обучения математике в начальной школе, мешающих дальнейшему обучению, необходимо особо подчеркнуть тот факт, что зачастую материал в учебниках изложен без взгляда на то, как он будет работать в дальнейшем. Очень ярким примером этого является организация усвоения умножения на 10, 100, 1000 и т.д. Во всех рассмотренных учебниках изложение этого материала построено так, что оно неизбежно приводит к формированию в сознании детей правила: «Чтобы умножить число на 10, 100, 1000 и т.д., нужно справа к нему приписать столько нулей, сколько их в 10, 100, 1000 и т.д.» Это правило является одним из тех, которые очень хорошо усваиваются в начальной школе. И это приводит к большому числу ошибок при умножении десятичных дробей на целые разрядные единицы. Даже запомнив новое правило, дети часто автоматически при умножении на 10 приписывают к десятичной дроби справа нуль. Кроме того, следует отметить, что и при умножении натурального числа, и при умножении десятичной дроби на целые разрядные единицы, по сути дела, происходит одно и то же: каждая цифра числа сдвигается вправо на соответствующее количество разрядов. Поэтому нет смысла учить детей двум отдельным и совершенно формальным правилам. Гораздо полезнее научить их общему способу действий при решении подобных заданий.

2.1 Сравнение (противопоставление) понятий на уроках математики

Действующая программа предусматривает изучение в I классе лишь двух действии первой ступени - сложения и вычитания. Ограничение первого года обучения лишь двумя действиями есть, по существу, отход от того, что было уже достигнуто в учебниках, предшествовавших ныне действующим: ни один учитель никогда не жаловался тогда на то, что умножение и деление, скажем, в пределах 20 непосильно для первоклассников. Достойно внимания еще и то, что в школах других стран, где обучение начинается с 6 лет, к первому учебному году относят начальное знакомство со всеми четырьмя действиями арифметики. Математика опирается прежде всего на четыре действия, и чем раньше они будут включены в практику мышления школьника, тем устойчивее и надежнее будет последующее развертывание курса математики.

Справедливости ради надо отметить, что в первых вариантах учебников М. И. Моро для I класса предусматривалось умножение и деление. Однако делу помешала случайность: авторы новых программ настойчиво держались за одну «новинку» - охват в I классе всех случаев сложения и вычитания в пределах 100 (37+58 и 95-58 и т. п.). Но, поскольку времени на изучение такого расширенного объема сведений не хватило, было решено сдвинуть умножение и деление полностью на следующий год обучения.

Итак, увлечение линейностью программы, т. е. чисто количественным расширением знаний (те же самые действия, но с большими числами), заняло то время, которое ранее отводилось на качественное углубление знаний (изучение всех четырех действий в пределах двух десятков). Изучение умножения и деления уже в I классе означает качественный скачок мышления, поскольку это позволяет освоить свернутые мыслительные процессы.

По традиции, раньше выделялось в особую тему изучение действий сложения и вычитания в пределах 20. Необходимость этого подхода в систематизации знаний видна даже из логического анализа вопроса: дело в том, что полная таблица сложения однозначных чисел развертывается в пределах двух десятков (0+1=1, ...,9+9=18). Таким образом, числа в пределах 20 образуют в своих внутренних связях завершенную систему отношений; отсюда понятна целесообразность сохранения «Двадцати» в виде второй целостной темы (первая такая тема - действия в пределах первого десятка).

Обсуждаемый случай - именно тот, когда концентричность (сохранение второго десятка в качестве особой темы) оказывается более выгодной, чем линейность («растворение» второго десятка в теме «Сотня»).

В учебнике М. И. Моро изучение первого десятка разделено на два изолированных раздела: сначала изучается состав чисел первого десятка, а в следующей теме рассматриваются действия в пределах 10. В экспериментальном учебникеП.М. Эрдниева в противовес этому осуществлено совместное изучение нумерации, состава чисел и действий (сложение и вычитание) в пределах 10 сразу в одном разделе. При таком подходе применяется монографическое изучение чисел, а именно: в пределах рассматриваемого числа (например, 3) сразу же постигается вся «наличная математика»: 1 + 2 = 3; 2 + 1 = 3; 3 – 1 = 2; 3 – 2 = 1.

Если по действующим программам на изучение первого десятка отводилось 70 ч, то в случае экспериментального обучения весь этот материал был изучен за 50 ч (причем сверх программы были рассмотрены некоторые дополнительнные понятия, отсутствующие в стабильном учебнике, но структурно связанные с основным материалом).

Особого внимания в методике начального обучения требует вопрос о классификации задач, о названиях их типов. Поколения методистов трудились над упорядочением системы школьных задач, над созданием их эффективных типов и разновидностей, вплоть до подбора удачных терминов для названий задач, предусмотренных для изучения в школе. Известно, что не менее половины учебного времени на уроках математики отводится их решению. Школьные задачи, безусловно, нуждаются в систематизации и классификации. Какого вида (типа) задачи изучать, когда изучать, какой их тип изучать в связи с прохождением того или иного раздела - это законный объект исследования методики и центральное содержание программ. Значимость этого обстоятельства видна из истории методики математики.

В экспериментальных учебных пособиях автора уделено специальное внимание классификации задач и распределению необходимых их видов и разновидностей для обучения в том или ином классе. В настоящее время классические названия видов задач (на нахождение суммы, неизвестного слагаемого и т. п.) исчезли даже из оглавления стабильного учебника I класса. В пробном учебнике П.М. Эрдниева эти названия «работают»: они полезны как дидактические вехи не только для школьника, но и для учителя. Приведем содержание первой темы пробного учебника математики, для которой характерна логическая полнота понятий.

Первый десяток

Сравнение понятии выше - ниже, левее - правее, между, короче - длиннее, шире - уже, толще - тоньше, старше - моложе, дальше - ближе, медленнее - быстрее, легче - тяжелее, мало - много.

Монографическое изучение чисел первого десятка: название, обозначение, сравнение, откладывание чисел на счетах и обозначение чисел на числовом луче; знаки: равно (=), не равно (¹), больше (>), меньше (<).

Прямая и кривая линии; окружность и овал.

Точка, прямая, отрезок, обозначение их буквами; измерение длины отрезка и откладывание отрезков заданной длины; обозначение, называние, построение, вырезывание равных треугольников, равных многоугольников. Элементы многоугольника: вершины, стороны, диагонали (обозначение их буквами).

Монографическое изучение чисел в пределах рассматриваемого числа:

состав чисел, сложение и вычитание.

Название компонентов сложения и вычитания.

Четверки примеров на сложение и вычитание:

3 + 2 = 5, 5 - 2 = 3, 2 + 3 = 5, 5 - 3 = 2.

Деформированные примеры (с пропущенными числами и знаками):

Х + 5 = 7; 6 – Х = 4;6 = 3A2.

Решение задач на нахождение суммы и слагаемого, разности, уменьшаемого и вычитаемого. Составление и решение взаимно-обратных задач.

Тройка задач: на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц и на разностное сравнение. Сравнение отрезков по длине.

Переместительный закон сложения. Изменение суммы в зависимости от изменения одного слагаемого. Условие, когда сумма не изменяется. Простейшие буквенные выражения: a + b = b + a, a + 0 = a, a –a = 0.

Составление и решение задач по выражению.

В последующем изложении рассмотрим основные вопросы методики изложения этого начального раздела школьной математики, имея в виду, что методика изложения последующих разделов во многом должна быть аналогична процессу освоения материала первой темы.

На первых же занятиях учитель должен поставить перед собой цель научить школьника применять пары понятий, содержание которых раскрывается в процессе составления соответствующих предложений с этими словами. (Вначале осваиваем сравнение на качественном уровне, без употребления чисел.)

Приведем примеры наиболее распространенных пар понятий, которыми надо пользоваться на уроках не только математики, но и развития речи:

Больше - меньше, длиннее - короче, выше - ниже, тяжелее - легче, шире - уже, толще - тоньше, правее - левее, дальше - ближе, старше - моложе, быстрее - медленнее и т. п.

При работе над такими парами понятии важно использовать не только иллюстрации в учебнике, но и наблюдения детей; так, например, из окна класса они видят, что за рекой стоит дом, и составляют фразы: «Река ближе к школе, чем дом, а дом дальше от школы, чем река».

Пусть ученик подержит в руке попеременно книгу и тетрадь. Учитель спрашивает: что тяжелее - книга или тетрадь? Что легче? «Книга тяжелее тетради, а тетрадь легче книги».

Выстроив перед классом рядом самого высокого и самого низкого ученика класса, составляем тут же две фразы: «Миша выше Коли, а Коля ниже Миши».

В этих упражнениях важно добиваться грамматически правильной замены одного суждения ему двойственным: «Каменный дом выше деревянного, значит, деревянный дом ниже каменного».

При ознакомлении с понятием «длиннее - короче» можно показать сравнение предметов по длине наложением одного на другой (что длиннее: ручка или пенал?).

На уроках арифметики и развития речи полезно решать логические задачи, преследующие цель научить пользоваться противоположными понятиями: «Кто старше: отец или сын? Кто моложе: отец или сын? Кто из них родился раньше? Кто позже?»;

«Сравните книгу и портфель по ширине. Что шире: книга или портфель? Что уже - книга или портфель? Что тяжелее: книга или портфель?»

Обучение процессу сравнения можно сделать более интересным, вводя так называемые матричные (табличные) упражнения. На доске строится таблица из четырех клеток и разъясняется смысл понятий «столбец» и «строка». Вводим понятия «левый столбец» и «правый столбец», «верхняя строка» и «нижняя строка».

Вместе с учащимися показываем (имитируем) смысловое толкование этих понятий.

Покажите столбец (дети двигают рукой сверху вниз).

Покажите левый столбец, правый столбец (дети проводят два маха рукой сверху вниз).

Покажите строку (мах рукой слева направо).

Покажите верхнюю строку, нижнюю строку (два маха рукой показывающие верхнюю строку, нижнюю строку).

Надо добиваться того, чтобы учащиеся точно указывали положение клетки: «верхняя левая клетка», «нижняя правая клетка» и т. п. Тут же решается обратная задача, а именно: учитель указывает на какую-нибудь клетку таблицы (матрицы), ученик дает соответствующее название этой клетки. Так, если указано на клетку, лежащую в пересечении верхней строки и левого столбца то ученик должен назвать: «Верхняя левая клетка». Подобные упражнения постепенно приучают детей к пространственной ориентировке и имеют важное значение при изучении впоследствии координатного метода математики.

Большое значение для первых уроков начальной математики имеет работа над числовым рядом.

Рост числового ряда прибавлением по единице удобно иллюстрировать перемещением вправо по числовому лучу.

Если знак (+) связывается с перемещением по числовому ряду вправо на единицу, то знак (-) связывается с обратным перемещением влево на единицу и т. п. (Поэтому оба знака показываем одновременно на одном и том же уроке.)

Работая с числовым рядом, вводим понятия: начало числового ряда (число нуль) представляет левый конец луча; числу 1 соответствует единичный отрезок, который надо изобразить отдельно от числового ряда.

Пусть учащиеся работают с числовым рядом в пределах трех.

Выделяем два каких-либо соседних числа, например 2 и 3. Переходя от числа 2 к числу 3, дети рассуждают так: «За числом 2 следует число З». Переходя от числа 3 к числу 2, они говорят:

«Перед числом 3 идет число 2» или: «Число 2 предшествует числу З».

Такой метод позволяет определить место данного числа по отношению как к предыдущему, так и к последующему числу; уместно тут же обратить внимание на относительность положения числа, например: число 3 одновременно является как последующим (за числом 2), так и предыдущим (перед числом 4).

Указанные переходы по числовому ряду надо связать с соответствующими арифметическими действиями.

Например, фраза «За числом 2 следует число З» изображается символически так: 2 + 1 = 3; однако психологически выгодно создать сразу вслед за ней противоположную связь мыслей, а именно: выражение «Перед числом 3 идет число 2» подкрепляется записью: 3 – 1 = 2.

Чтобы добиться понимания места какого-либо числа в числовом ряду, следует предлагать парные вопросы:

1. За каким числом следует число 3? (Число 3 следует за числом 2.) Перед каким числом расположено число 2? (Число 2 расположено перед числом 3.)

2. Какое число следует за числом 2? (За числом 2 следует число 3.) Какое число идет перед числом 3? (Перед числом 3 идет число 2.)

3. Между какими числами находится число 2? (Число 2 находится между числом 1 и числом 3.) Какое число находится между числами 1 и 3? (Между числами 1 и 3 находится число 2.)

В этих упражнениях математическая информация заключена в служебных словах: перед, за, между.

Работу с числовым рядом удобно сочетать со сравнением чисел по величине, а также со сравнением положения чисел на числовой прямой. Постепенно вырабатываются связи суждений геометрического характера: число 4 находится на числовой прямой правее числа 3; значит, 4 больше 3. И наоборот: число 3 находится на числовой прямой левее числа 4; значит, число 3 меньше числа 4. Так устанавливается связь между парами понятий: правее - больше, левее - меньше.

Из изложенного выше мы видим характерную черту укрупненного усвоения знаний: весь набор понятий, связанных со сложением и вычитанием, предлагается совместно, в своих непрерывных переходах (перекодировках) друг в друга.

Главным средством овладения числовыми соотношениями в нашем учебнике являются цветные бруски; их удобно сравнить по длине, устанавливая, на сколько клеток больше или меньше их в верхнем или в нижнем бруске. Иначе говоря, понятие «разностное сравнение отрезков» мы не вводим как особую тему, но учащиеся знакомятся с ним в самом начале изучения чисел первого десятка. На уроках, посвященных изучению первого десятка, удобно использовать цветные бруски, которые позволяют выполнять пропедевтику основных видов задач на действия первой ступени.

Рассмотрим пример.

Пусть друг на друга наложены два цветных бруска, разделенных на клетки:

в нижнем - 3 клетки, в верхнем - 2 клетки (см. рис.).

Сравнивая количество клеток в верхнем и нижнем брусках, учитель составляет два примера на взаимно-обратные действия (2 + 1 = 3, 3 – 1 = 2), причем решения этих примеров прочитываются попарно всеми возможными способами:

2 + 1 = 3 3 – 1 = 2

а) к 2 прибавить 1 - получится 3; а) из 3 вычесть 1 - получится 2;

б) 2 увеличить на 1 - получится 3; б) 3 уменьшить на 1 - получится 2;

в) 3 больше 2 на 1; в) 2 меньше 3 на 1;

г) 2 да 1 будет 3; г) 3 без 1 будет 2;

д) число 2 сложить с числом 1 - д) из числа 3 вычесть число 1 -

получится 3. получится 2.

Учитель. Если 2 увеличить на 1, то сколько получится?

Ученик. Если 2 увеличить на 1, то получится 3.

Учитель. А теперь скажите, что надо сделать с числом 3, чтобы получить 2?

Ученик. 3 уменьшить на 1, получится 2.

Обратим здесь внимание на необходимость в этом диалоге методически грамотного осуществления операции противопоставления. ,

Уверенное овладение детьми смыслом парных понятий (прибавить - отнять, увеличить - уменьшить, больше - меньше, да - без, сложить - вычесть) достигается благодаря использованию их на одном уроке, на базе одной и той же тройки чисел (например, 2+1==3, 3-1=2), на основе одной демонстрации - сравнения длин двух брусков.

В этом принципиальное отличие методической системы укрупнения единиц усвоения от системы раздельного изучения этих базисных понятий, при которой контрастные понятия математики вводятся, как правило, порознь в речевую практику учащихся.

Опыт обучения показывает преимущества одновременного введения пар взаимно противоположных понятий начиная с самых первых уроков арифметики.

Так, например, одновременное употребление трех глаголов: «прибавить» (к 2 прибавить 1), «сложить» (число 2 сложить с числом 1), «увеличить» (2 увеличить на 1), которые изображаются символически одинаково (2+1=3), помогает детям усвоить сходство, близость этих слов по смыслу (подобные рассуждения можно провести относительно слов «отнять», «вычесть», «уменьшить»).

Точно так же сущность разностного сравнения усваивается в ходе многократного использования сравнения пар чисел с самого начала обучения, причем в каждой части диалога на уроке используются все возможные словесные формы истолкования решенного примера: «Что больше: 2 или 3? На сколько 3 больше 2? Сколько надо прибавить к 2, чтобы получить 3?» и т. п. Большое значение для овладения смыслом этих понятий имеет изменение грамматических форм, частое использование вопросительных форм.

Многолетние испытания показали преимущества монографического изучения чисел первого десятка. Каждое очередное число при этом подвергается многостороннему анализу, с перебором всех возможных вариантов его образования; в пределах этого числа выполняются все возможные действия, повторяется «вся наличная математика», используются все допустимые грамматические формы выражения зависимости между числами. Разумеется, при этой системе изучения в связи с охватом последующих чисел повторяются ранее изученные примеры, т. е, расширение числового ряда осуществляется с постоянным повторением ранее рассмотренных сочетаний чисел и разновидностей простых задач.

2.3 Совместное изучение сложения и вычитания, умножения и деления

В методике начальной математики упражнения на эти две операции обычно рассматриваются раздельно. Между тем представляется, что одновременное изучение двуединой операции «сложение - разложение на слагаемые» является более предпочтительным.

Пусть учащиеся решили задачу на сложение: «К трем палочкам прибавить 1 палочку - получится 4 палочки». Вслед за этой задачей сразу же следует поставить вопрос: «Из каких чисел состоит число 4?» 4 палочки состоят из 3 палочек (ребенок отсчитывает 3 палочки) и 1 палочки (отделяет еще 1 палочку).

Исходным упражнением может быть и разложение числа. Учитель спрашивает: «Из каких чисел состоит число 5?» (Число 5 состоит из 3 и 2.) И тотчас же предлагается вопрос про те же числа: «Сколько получится, если к 3 прибавить 2?» (К 3 прибавить 2 - получится 5.)

Для этой же цели полезно практиковать чтение примеров в двух направлениях: 5+2=7. К 5 прибавить 2, получится 7 (читаем слева направо). 7 состоит из слагаемых 2 и 5 (читаем справа налево).

Словесное противопоставление полезно сопровождать такими упражнениями на классных счетах, которые позволяют видеть конкретное содержание соответствующих операций. Вычисления на счетах незаменимы как средство визуализации действий над числами, причем величина чисел в пределах 10 здесь ассоциируется с длиной совокупности косточек, расположенных на одной проволоке (эта длина воспринимается учеником зрительно). Нельзя согласиться с таким «новаторством», когда в действующих учебниках и программах полностью отказались от использования на уроках русских счетов.

Так, при решении примера на сложение (5+2=7) ученик сначала отсчитывал на счетах 5 косточек, затем к ним присоединял 2 и после этого объявлял сумму: «К 5 прибавить 2 - получится 7» (название полученного числа 7 при этом ученик устанавливает пересчетом новой совокупности: «Один - два - три - четыре - пять - шесть - семь»).

Ученик. К 5 прибавить 2 - получилось 7.

Учитель. А теперь покажи, из каких слагаемых состоит число 7.

Ученик (сначала отделяет две косточки вправо, потом говорит). Число 7 состоит из 2 и 5.

Выполняя данные упражнения, целесообразно употреблять с самого начала понятия «первое слагаемое» (5), «второе слагаемое» (2), «сумма».

Предлагаются задания следующих видов: а) сумма двух слагаемых равна 7; найти слагаемые; б) из каких слагаемых состоит число 7?; в) разложите сумму 7 на 2 слагаемых (на 3 слагаемых). И т.д.

Усвоение такого важного алгебраического понятия, как переместительный закон сложения, требует разнообразных упражнений, основанных вначале на практических манипуляциях с предметами.

Учитель. Возьмите в левую руку 3 палочки, а в правую - 2. сколько всего стало палочек?

Ученик. Всего стало 5 палочек.

Учитель. Как подробнее сказать об этом?

Ученик. К 3 палочкам прибавить 2 палочки - будет 5 палочек.

Учитель. Составьте этот пример из разрезных цифр. (Ученик составляет пример: 3+2=5.)

Учитель. А теперь поменяйте местами палочки: палочки, лежащие в левой руке, переложите в правую, а палочки из правой руки переложите в левую. Сколько теперь палочек в двух руках вместе?

Ученик. Всего в двух руках было 5 палочек, и сейчас получилось снова 5 палочек.

Учитель. Почему так получилось?

Ученик. Потому, что мы никуда не откладывали и не добавляли палочки Сколько было, столько и осталось.

Учитель. Составьте из разрезных цифр решенные примеры.

Ученик (откладывает: 3+2=5, 2+3=5). Здесь было число 3, а теперь число 2. А здесь было число 2, а теперь число 3.

Учитель. Мы поменяли местами числа 2 и 3, а результат остался прежним:

5. (Из разрезных цифр складывается пример: 3+2=2+3.)

Переместительный закон усваивается также в упражнениях по разложению числа на слагаемые.

Когда вводить переместительный закон сложения?

Главная цель обучения сложению - уже в пределах первого десятка - постоянно подчеркивать роль переместительного закона в упражнениях.

Пусть вначале дети отсчитали 6 палочек; затем к ним прибавляем три палочки и пересчетом («семь - восемь - девять») устанавливаем сумму: 6 да 3 - будет 9. Необходимо немедленно тут же предложить новый пример: 3+6; новую сумму вначале можно установить опять же пересчетом (т. е. самым примитивным путем), но постепенно и целенаправленно следует формировать способ решения на высшем коде, т. е. логически, без пересчета.

Если 6 да 3-будет 9 (ответ установлен пересчетом), то 3 да 6 (без пересчета!) -тоже будет 9!

Короче говоря, переместительное свойство сложения надо ввести с самого начала упражнений на сложение разных слагаемых, чтобы стало привычкой составление (проговаривание) решения четверки примеров:

6 + 3 = 9, 9 - 3 = 6, 3 + 6 = 9, 9 – 6 = 3.

Составление четверки примеров - это доступное детям средство укрупнения знаний.

Мы видим, что такая важная характеристика операции сложения, как его переместительность, не должна пройти эпизодически, а должна стать основным логическим средством упрочения верных числовых ассоциаций. Главное свойство сложения - переместительность слагаемых - должно рассматриваться постоянно в связи с накоплением в памяти все новых табличных результатов.

Мы видим: взаимосвязь более сложных вычислительных или логических операций основана на аналогичном попарном родстве (близости) элементарных операций, посредством которых выполняется пара «сложных» операций. Иными словами, явное противопоставление сложных понятий основано на неявном (подсознательном) противопоставлении более простых понятий.

Первоначальное изучение умножения и деления целесообразно осуществлять в следующей последовательности трех циклов задач (по три задачи в каждом цикле):

I цикл: а, б) умножение при постоянном множимом и деление по содержанию (совместно); в) деление на равные части.

II цикл: а, б) уменьшение и увеличение числа в несколько раз (совместно); в) кратное сравнение.

III цикл: а, б) нахождение одной части числа и числа по величине одной его части (совместно); в) решение задачи: «Какую часть составляет одно число от другого?»

Методическая система изучения этих задач аналогична той, которая описана выше для простых задач первой ступени (на сложение и вычитание).

Одновременное изучение умножения и деления по содержанию. На двух-трех уроках (не больше!), посвященных умножению, выясняется смысл понятия умножения как свернутого сложения равных слагаемых (о действии деления на этих уроках пока не говорится). Этого времени достаточно для изучения таблицы умножения числа 2 на однозначные числа.

Обычно учащимся показывается запись по замене сложения умножением: 2+2+2+2=8; 2*4=8. Здесь связь между сложением и умножением идет в направлении «сложение-умножение». Уместно тут же предложить учащимся упражнение, рассчитанное на появление обратной связи вида «умножение-сложение» (равных слагаемых): рассматривая эту запись, учащийся должен понять, что требуется число 2 повторять слагаемым столько раз, сколько показывает множитель в примере (2*4=8).

Сочетание обоих видов упражнении есть одно из важных условий, обеспечивающих сознательное усвоение понятия «умножение», означающего свернутое сложение.

На третьем уроке (или четвертом, а зависимости от класса) к каждому из известных случаев умножения приводится соответствующий случай деления. В дальнейшем умножение и деление по содержанию выгодно рассматривать только совместно на одних и тех же уроках.

При введении понятия деления необходимо вспомнить соответствующие случаи умножения, чтобы, оттолкнувшись от них, создать понятие о новом действии, обратном умножению.

Стало быть, понятие «умножение» приобретает богатое содержание: оно не только результат сложения равных слагаемых («обобщение сложения»), но и основа, исходный момент деления, которое, в свою очередь, представляет «свернутое вычитание», заменяющее последовательное «вычитание по 2»:

Смысл умножения постигается не столько при самом умножении, сколько при постоянных переходах между умножением и делением, так как деление есть завуалированное, «измененное» умножение. Это и объясняет, почему выгодно впоследствии изучать всегда одновременно умножение и деление (как табличное, так и внетабличное; как устное, так и письменное).

Первые уроки по одновременному изучению умножения и деления должны быть посвящены педантичной обработке самих логических операций, всячески подкрепляемых развернутой практической деятельностью по собиранию и раздаче различных предметов (кубиков, грибов, палочек и т. п.), но последовательность развернутых действий должна оставаться одной и той же.

Результатом такой работы и будут таблицы умножения и деления, записываемые рядом:

по 2*2=4, 4: по 2=2,

по 2*3=6, 6: по 2=3,

по 2*4=8, 8: по 2=4,

по 2*5= 10, 10: по 2=5 и т. д.

Таким образом, таблица умножения строится по постоянному множимому, а таблица деления - по постоянному делителю.

Полезно также предложить учащимся в паре с данной задачей структурно противоположное упражнение по переходу от деления к вычитанию равных вычитаемых.

В повторительных упражнениях полезно предлагать задания такого вида: 14:2==.

Изучение деления на равные части. После того как изучены или повторены совместно умножение числа 2 и деление по 2, на одном из уроков вводится понятие «деление на равные части» (третий вид задачи первого цикла).

Рассмотрим задачу: «Четыре ученика принесли по 2 тетради. Сколько всего тетрадей принесли?»

Учитель объясняет: по 2 взять 4 раза - получится 8. (Появляется запись: по 2*4=8.) Кто составит обратную задачу?

Выполняя умножение, мы собирали тетради. Что будем делать при делении по два?

8 тетрадей раздали по 2 тетради каждому ученику - получится 4 (тетрадей хватило 4 ученикам).

Появляется запись:

по 2т. *4 = 8 т.; 8т.: по 2 т. = 4 (ученика).

На первых порах надо пользоваться подробной записью чисел с наименованиями (в делимом, делителе и частном).

Теперь составим третью задачу: «8 тетрадей надо раздать поровну четырем ученикам. По сколько тетрадей достанется каждому?»

Вначале деление на равные части также следует демонстрировать на основе реальных манипуляций с предметами.

Стало быть, понятие «умножение» приобретает богатое содержание: оно не только результат сложения равных слагаемых («обобщение сложения»), но и основа, исходный момент деления, которое, в свою очередь, представляет свернутое вычитание, заменяющее последовательное «вычитание по 2».

В настоящее время возникли достаточно благоприятные условия для коренного улучшения постановки математического образования в начальной школе:

1) начальная школа из трехлетней преобразована в четырехлетнюю;

2) на изучение математики в первые четыре года выделяется 700 ч., т. е. почти 40 % всего времени, отводимого этому предмету за всю среднюю школу;

3) учителями начальной школы работает с каждым годом все большее число лиц, имеющих высшее образование;

4) возросли возможности лучшего обеспечения учителей и школьников учебно-наглядными пособиями, причем многие из них выпускаются в цветном исполнении.

Нет необходимости доказывать решающую роль начального обучения математике для развития интеллекта ученика вообще. Богатство базисных ассоциаций, обретаемых школьником за первые четыре года обучения, при правильной постановке дела становится главным условием самонаращивания знаний в последующие годы. Если этот запас исходных представлений и понятий, ходов мыслей, основных логических приемов будет неполон, негибок, обеднен, то при переходе в старшие классы школьники будут постоянно испытывать трудности, независимо от того, кто их будет учить дальше или по каким учебникам они будут учиться.

Как известно, начальная школа функционирует в нашей и других странах много веков, в то время как всеобщее среднее образование осуществляется лишь несколько десятилетий. Понятно отсюда, что теория и практика начального обучения гораздо богаче своими добротными традициями, чем обучение в старших классах.

Драгоценные методические находки и обобщения по начальному обучению математике были сделаны еще Л. Н. Толстым, К. Д. Ушинским, С. И. Шохор-Троцким, В. Латышевым и другими методистами уже в прошлом веке. Значительные результаты были получены в последние десятилетия по методике начальной математики в лабораториях Л. В. Занкова, А. С. Пчелко, а также в исследованиях по укрупнению дидактических единиц.

Между тем современное состояние дела обучения в начальной школе таково, что эффективные пути его совершенствования, освоенные учителями в недавние годы, оказались неожиданно обойденными последними редакциями программ и учебников. Серьезный недостаток действующих сейчас программ - это нарушение преемственности с программами для средних классов.

Так, например, в программах начальных классов не решена проблема пропедевтики ряда важных понятий, которая успешно достигалась ранее в начальной школе. Такой пропедевтики не получилось из-за вымученного растягивания программами традиционного материала, который раньше осваивали гораздо быстрее и продуктивнее. Программа нынешней четырехлетней школы стала менее информативной, чем предшествовавшая ей программа для трехлетней школы.

При разумном учете наличных научных результатов, полученных в последние 20 лет по методике начального обучения различными творческими коллективами, сейчас имеется полная возможность добиться в начальной школе «учения с увлечением».

В частности, знакомство учащихся с базовыми алгебраическими понятиями, несомненно, положительно скажется на освоении учащимися соответствующих знаний в старших классах.

Представляется, что лишение младшего школьника доступного и необходимого знания обернется для него уроном, невосполнимым никогда позже.

Для практики начального обучения математике имеет важнейшее значение прием совмещения на одном уроке (в пространстве одной страницы учебника) взаимно-обратных задач. Поэтому представляется совершенно необходимым пользоваться традиционными названиями основных видов сопоставляемых друг другу задач: если повторение равных слагаемых выступает как умножение, то и обратные им задачи (деление на равные части и деление по содержанию) должны использоваться в учебниках, при планировании и проведении уроков. В действующих программах мы не находим привычных понятий: задач на нахождение суммы, нахождение чисел по двум суммам, на приведение к единице, на пропорциональное деление и т.д. Такое положение отнюдь не является достоинством программ.

Психологом Ж. Пиаже была установлена фундаментальная закономерность обратимости операций, с которой связано методическое понятие «обратная задача». В частности, всякая информация, воспринятая человеком, продолжает циркулировать в подсознании (в неосознаваемой форме) в течение 20-30 мин. И вот, если при умножении 172 на 43 нами получено промежуточное произведение 688, то это же число легче всего проявляется (актуализируется) при решении обратной задачи на деление «уголком» (7396:172). Связь мыслей «умножение – деление» как бы прокручивается здесь дважды.

Таково психофизиологическое объяснение полученных на практике преимуществ более раннего введения алгебраических элементов в начальной школе. Этот вывод подтверждается такжеличным педагогическим опытом работы автора на уроках математики в начальных классах Рыльской средней школы № 4.

1. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах. / Под ред. М.И. Моро, А.М. Пышкало. – М.: Педагогика, 1977. – 262 с.

2. Аргинская И.И., Ивановская Е.А. Математика: Учебник для 3 класса четырехлетней начальной школы. – Самара: изд. дом «Федоров», 2000. – 192 с.

3. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах. – М.: Педагогика, 1984. – 301 с.

4. ГонинЕ.Г. Теоретическая арифметика. – М.: Учпедгиз, 1961. – 171 с.

5. Давыдов В.В. Математика, 3 класс: Учебник для 4-летней начальной школы. – М.: Издательский центр «Академия», 1998. – 212 с.

6. Давыдов В.В. Психическое развитие в младшем школьном возрасте. / Под ред. А.В. Петровского. – М.: Педагогика, 1973. – 167 с.

7. Зак А.З. Развитие умственных способностей младших школьников. – М.: Вагриус, 1994.

8. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. – М.: Издательский центр «Академия», 1998. – 288 с.

9. Истомина Н.Б., Нефедова И.Б. Математика, 3 класс: Учебник для 4-летней начальной школы. – Смоленск: изд-во «Ассоциация XXI век», 2001. – 196 с.

10. Каган В.Ф. О свойствах математических понятий. – М.: Наука, 1984. – 144 с.

11. Когаловский С. Р., Шмелева Е. А., Герасимова О. В. Путь к понятию. Иваново, 1998. - 208 с.

12. Колмогоров А.Н. О профессии математика. М.: Изд-во МГУ, 1959. – 134 с.

13. Мойсенко А. В. Концепция школьного математического образования. В кн. Школа самоопределения. Шаг второй. М.: АО «Политекст». 1994. С.392-422.

14. Моро М.И. и др. Математика: Учебник для 3 класса трехлетней начальной школы и 4 класса четырехлетней начальной школы. / Под ред. Калягина Ю.М. – М.: Просвещение, 1997. – 240 с.

15. Моро М.И., Пышкало А.М. Методика обучения математике в 1-3 классах. – М.: Педагогика, 1978. – 312 с.

16. Петерсон Л.Г. Математика, 3 класс. Ч. 1, 2. Учебник для 4-летней начальной школы. – М.: «Баласс», 2001.

17. Пиаже Ж. Избранные психологические труды. – СП-б: Изд-во «Питер», 1999.

18. Пойя Д. Математическое открытие. М.: Наука, 1976. - 448 с.

19. Сергеенко А.В. Преподавание математики за рубежом. – М.: изд. центр «Академия», 1995. – 197 с.

20. Сойер У. У. Прелюдия к математике. М.: Просвещение, 1972. - 192 с.

21. Тестов В. А. Стратегия обучения математике. М.: ГШБ, 1999. - 304 с.

22. Чуприкова Н.И. Умственное развитие и обучение. Психологические основы развивающего обучения. – М.: Альматея, 1995. – 244 с.

23. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Математика: Пробный учебник для 3 класса четырехлетней начальной школы. – М.: Педагогика, 1999. – 232 с.

24. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Теория и методика обучения математике в начальной школе. – М.: Педагогика, 1988. – 208 с.

25. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике.– М.: Педагогика, 1986. – 197 с.

26. Архангельский А. В. О сущности математики и фундаментальных математических структурах // История и методология естественных наук (Москва) – 1986. - №32. - С.14-29.

27. Брейтнгам Э.К. Обучение математике в личностно-ориентированной модели образования. // Педагогика. – 2000. - № 10. – С. 45-48.

28. Волошкина М.И. Активизация познавательной деятельности младших школьников на уроке математики. // Начальная школа. – 1992. - № 9/10. – С. 15-18.

29. Гальперин П.Я., Георгиев Л.С. К вопросу о формировании начальных математических понятий. Сообщения I - V. // Доклады АПН РСФСР, 1960, № 1, 3, 4-6.

30. Доронина И.М. Использование методики УДЕ на уроках математики в III классе. // Начальная школа. – 1999. - № 11. – С. 29-30.

31. Концепция математического образования (в 12-летней школе) // Математика в школе. - 2000- № 2. - С.13-18.

32. Мартынова О.А. Из опыта обучения математике по системе УДЕ. // Начальная школа. – 1993. - ; 4. – С. 29-31.

33. Пентегова Г.А. Развитие логического мышления на уроках математики. // Начальная школа. – 2000. - № 11. – С. 74-77.

34. Укурчиева Т.А. Актуализация резервов мыслительных операций при обучении математике. // Начальная школа. – 1999. – № 11. – С. 17-18.

35. Шатуновский Я. Математика как изящное искусство и ее роль в общем образовании. // Математика в школе. – 2001. - № 3. – С. 6-11.

36. Шикова Р.Н. Решение задач на движение в одном направлении. // Начальная школа. – 2000. - № 12. – С. 48-52.

37. Эльконин Д.Б. Психологические исследования в начальной школе. // Советская педагогика. – 1961. - № 9. – С. 22-31.

38. Эрдниев П.М. Укрупненные знания как условие радостного обучения. // Начальная школа. – 1999. - № 11. – С. 4-11.

Достаточно долгое время в психологии господствовало мнение, что элементы алгебры следует изучать не в начальных классах, а в старших в силу особенностей мышления младшего школьника, неспособности его к образованию абстракций боле высокого уровня. Однако такими видными психологами, как П.Я.Гальперин, В.В.Давыдов, Д.Б.Эльконин и др., и педагогами - А.И.Меркушевич, А.М.Пышкало и др. было установлено, что дети 6-10лет при определенной организации обучения могут полноценно усвоить содержание некоторых алгебраических понятий. На основании этого алгебраический материал был включен в программу по математике для начальных классов в 1969г.

Младшие школьники при изучении элементов алгебры получают первоначальные сведения о числовых выражениях, числовых равенствах и неравенствах, неравенствах с переменной, выражениях с переменной, с двумя переменными, уравнениях.

Алгебраический материал изучается с 1 кл. в тесной связи с арифметическим и геометрическим. Введение элементов алгебры способствует обобщению понятий о числе, арифметических действиях, математических отношениях, и вместе с тем готовит детей к изучению алгебры в следующих классах.

Основные этапы изучения и содержание алгебраического материала

1. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ ВЫРАЖЕНИЙ

Числовое выражение -

1. всякое число есть числовое выражение.

2. если а и б – числовые выражения, то их сумма а+б, разность а-б, произведение а∙б и частное а:б также являются числовыми выражениями.

Значение числового выражения - это число, полученное в результате выполнения всех действий. указанных в числовом выражении.

Программой по математике предусматривается:

Познакомить с правилами порядка выполнения действий и научить ими пользоваться при вычислениях,

Познакомить учащихся с тождественными преобразованиями выражений.

В методике ознакомления с ЧВ можно выделить 3 этапа:

1 этап . Ознакомление с выражениями, содержащими одно действие (сумма, разность, произведение, частное двух чисел).

Знакомство с первыми выражением – суммой - происходит в 1 кл. при изучении концентра «10».

1. Выполняя операции над множествами, дети прежде всего усваивают конкретный смысл сложения и вычитания, поэтому в записях вида 5+1,6-2 знаки действий осознаются ими как краткое обозначение слов «прибавить», «вычесть» (чтение: к 5 прибавить 1, получится 6, из 6 вычесть 2, получится 4).

2. В дальнейшем понятие об этих действиях углубляется. Учащиеся узнают, что, прибавляя несколько единиц, увеличиваем число на столько же единиц, а вычитая - уменьшаем его на столько же единиц.

(чтение: 5 увеличить на 1, 6 уменьшить на 2 ).

3. Затем дети узнают название знаков действий: «плюс», «минус»

(чтение: 5 плюс 1 ,6 минус 1 ).

4. Дети усваивают название компонентов ЧВ.

(чтение: 1 слагаемое. 5, 2 слагаемое 1, сумма равна 6).

Примерно в таком же плане идет работа над следующими выражениями: разностью (1 кл.), произведением и частным (2 кл.).

2 этап . Ознакомление с ЧВ, содержащими действия одной ступени .

Перед изучением выражений со скобками учащимся предлагаются выражения вида 8+1-7 10-5+4

В данных случаях сначала находится значение выражения, заключенное в овал, затем из полученного результата вычитается число, находящееся в квадрате. При этом учащиеся пользуются правилом порядка выполнения действий в неявном виде и выполняют первые тождественные преобразования (8+1-7=9-7=2).

Позднее вводятся скобки 6+4-1=(6+4)-1.

Формируется правило: действие, записанное в скобках, выполняется первым .

Для усвоения введенного правила включаются различные тренировочные упражнения. При этом дети учатся правильно читать и записывать данные выражения:

Запиши и вычисли: .

1. Из суммы чисел 9 и 7 вычесть 10.

2. К 10 прибавить разность чисел 9 и 7.

В дальнейшем вводится понятия числового выражения (остенсивное, путем показа) и значения числового выражения. 2 кл. с. 68

После этого дети читают или записывают выражения, находят их значения, сами составляют выражения.

Овладение новыми терминами позволяет им по-новому читать выражения (запишите выражения, найдите значение выражения, сравните выражения и т.д.) 2 кл.с.58 № 1,2, 6; с.69 № 2.

В сложных выражениях знаки действий, соединяющие выражения, имеют двоякий смысл, что раскрывается учащимся.

Введение.......................................................................................................... 2

Глава I. Общетеоретические аспекты изучения алгебраического материала в начальной школе............................................................................................. 7

1.1 Опыт введения элементов алгебры в начальной школе....................... 7

1.2 Психологические основы введения алгебраических понятий

в начальной школе............................................................................... 12

1.3 Проблема происхождения алгебраических понятий и ее значение

для построения учебного предмета..................................................... 20

2.1 Обучение в начальной школе с точки зрения потребностей

средней школы...................................................................................... 33

2.1 Сравнение (противопоставление) понятий на уроках математики.... 38

2.3 Совместное изучение сложения и вычитания, умножения и деления 48

Глава III. Практика изучения алгебраического материала на уроках математики в начальных классах средней школы № 4 г. Рыльска.................................... 55

3.1 Обоснование использования инновационных технологий (технологии

укрупнения дидактических единиц)..................................................... 55

3.2 Об опыте ознакомления с алгебраическими понятиями в I классе.... 61

3.3 Обучение решению задач, связанных с движением тел..................... 72

Заключение.................................................................................................... 76

Библиографический список.......................................................................... 79

В любой современной системе общего образования математика занимает одно из центральных мест, что несомненно говорит об уникальности этой области знаний.

Что представляет собой современная математика? Зачем она нужна? Эти и подобные им вопросы часто задают учителям дети. И каждый раз ответ будет разным в зависимости от уровня развития ребенка и его образовательных потребностей.

Часто говорят, что математика - это язык современной науки. Однако, представляется, что это высказывание имеет существенный дефект. Язык математики распространен так широко и так часто оказывается эффективным именно потому что математика к нему не сводится.

Выдающийся отечественный математик А.Н. Колмогоров писал: "Математика не просто один из языков. Математика - это язык плюс рассуждения, это как бы язык и логика вместе. Математика - орудие для размышления. В ней сконцентрированы результаты точного мышления многих людей. При помощи математики можно связать одно рассуждение с другим. … Очевидные сложности природы с ее странными законами и правилами, каждое из которых допускает отдельное очень подробное объяснение, на самом деле тесно связаны. Однако, если вы не желаете пользоваться математикой, то в этом огромном многообразии фактов вы не увидите, что логика позволяет переходить от одного к другому " (, с. 44).

Таким образом, математика позволяет сформировать определенные формы мышления, необходимые для изучения окружающего нас мира.

В настоящее время все более ощутимой становится диспропорция между степенью наших познаний природы и пониманием человека, его психики, процессов мышления. У. У. Сойер в книге "Прелюдия к математике" (, с. 7) отмечает: "Можно научить учеников решать достаточно много типов задач, но подлинное удовлетворение придет лишь тогда, когда мы сумеем передать нашим воспитанникам не просто знания, а гибкость ума", которая дала бы им возможность в дальнейшем не только самостоятельно решать, но и ставить перед собой новые задачи.

Конечно, здесь существуют определенные границы, о которых нельзя забывать: многое определяется врожденными способностями, талантом. Однако, можно отметить целый набор факторов, зависящих от образования и воспитания. Это делает чрезвычайно важной правильную оценку огромных неиспользованных еще возможностей образования в целом и математического образования в частности.

В последние годы наметилась устойчивая тенденция проникновения математических методов в такие науки как история, филология, не говоря уже о лингвистике и психологии. Поэтому круг лиц, которые в своей последующей профессиональной деятельности возможно будут применять математику, расширяется.

Наша система образования устроена так, что для многих школа дает единственную в жизни возможность приобщиться к математической культуре, овладеть ценностями, заключенными в математике.

Каково же влияние математики вообще и школьной математики в частности на воспитание творческой личности? Обучение на уроках математики искусству решать задачи доставляет нам исключительно благоприятную возможность для формирования у учащихся определенного склада ума. Необходимость исследовательской деятельности развивает интерес к закономерностям, учит видеть красоту и гармонию человеческой мысли. Все это является на наш взгляд важнейшим элементом общей культуры. Важное влияние оказывает курс математики на формирование различных форм мышления: логического, пространственно-геометрического, алгоритмического. Любой творческий процесс начинается с формулировки гипотезы. Математика при соответствующей организации обучения, будучи хорошей школой построения и проверки гипотез, учит сравнивать различные гипотезы, находить оптимальный вариант, ставить новые задачи, искать пути их решения. Помимо всего прочего, она вырабатывает еще и привычку к методичной работе, без которой не мыслим ни один творческий процесс. Максимально раскрывая возможности человеческого мышления, математика является его высшим достижением. Она помогает человеку в осознании самого себя и формировании своего характера.

Это то немногое из большого списка причин, в силу которых математические знания должны стать неотъемлемой частью общей культуры и обязательным элементом в воспитании и обучении ребенка.

Курс математики (без геометрии) в нашей 10-летней школе фактически разбит на три основные части: на арифметику (I - V классы), алгебру (VI - VIII классы) и элементы анализа (IX - Х классы). Что служит основанием для такого подразделения?

Конечно, каждая эта часть имеет свою особую "технологию". Так, в арифметике она связана, например, с вычислениями, производимыми над многозначными числами, в алгебре - с тождественными преобразованиями, логарифмированием, в анализе - с дифференцированием и т.д. Но каковы более глубокие основания, связанные с понятийным содержанием каждой части?

Следующий вопрос касается оснований для различения школьной арифметики и алгебры (т.е. первой и второй части курса). В арифметику включают изучение натуральных чисел (целых положительных) и дробей (простых и десятичных). Однако специальный анализ показывает, что соединение этих видов чисел в одном школьном учебном предмете неправомерно.

Дело в том, что эти числа имеют разные функции: первые связаны со счетом предметов, вторые - с измерением величин . Это обстоятельство весьма важно для понимания того факта, что дробные (рациональные) числа являются лишь частным случаем действительных чисел.

С точки зрения измерения величин, как отмечал А.Н. Колмогоров, "нет столь глубокого различия между рациональными и иррациональными действительными числами. Из педагогических соображений надолго задерживаются на рациональных числах, так как их легко записать в форме дробей; однако то употребление, которое им с самого начала придается, должно было бы сразу привести к действительным числам во всей их общности" (), стр. 9).

А.Н. Колмогоров считал оправданным как с точки зрения истории развития математики, так и по существу предложение А. Лебега переходить в обучении после натуральных чисел сразу к происхождению и логической природе действительных чисел. При этом, как отмечал А.Н. Колмогоров, "подход к построению рациональных и действительных чисел с точки зрения измерения величин нисколько не менее научен, чем, например, введение рациональных чисел в виде "пар". Для школы же он имеет несомненное преимущество" (, стр. 10).

Таким образом, есть реальная возможность на базе натуральных (целых) чисел сразу формировать "самое общее понятие числа" (по терминологии А. Лебега), понятие действительного числа. Но со стороны построения программы это означает не более не менее, как ликвидацию арифметики дробей в ее школьной интерпретации. Переход от целых чисел к действительным - это переход от арифметики к "алгебре", к созданию фундамента для анализа.

Эти идеи, высказанные более 20 лет назад, актуальны и сегодня. Возможно ли изменение структуры обучения математики в начальной школе в данном направлении? Каковы достоинства и недостатки «алгебраизации» начального обучения математики? Цель данной работы - попытаться дать ответы на поставленные вопросы.

Реализация поставленной цели требует решения следующих задач:

Рассмотрение общетеоретических аспектов введения в начальной школе алгебраических понятий величины и числа. Эта задача ставится в первой главе работы;

Изучение конкретной методики обучения этим понятиям в начальной школе. Здесь, в частности, предполагается рассмотреть так называемую теорию укрупнения дидактических единиц (УДЕ), речь о которой пойдет ниже;

Показать практическую применимость рассматриваемых положений на школьных уроках математики в начальной школе (уроки проводились автором в средней школе № 4 г. Рыльска). Этому посвящена третья глава работы.

Применительно к библиографии, посвященной данному вопросу, можно отметить следующее. Несмотря на то, что в последнее время общее количество изданной методической литературы по математике крайне незначительно, дефицит информации при написании работы не наблюдался. Действительно, с 1960 (время постановки проблемы) по 1990 гг. в нашей стране вышло огромное число учебной, научной и методической литературы, в той или иной степени затрагивающий проблему введения алгебраических понятий в курсе математики для начальной школы. Кроме того, эти вопросы регулярно освещаются и в специализированной периодике. Так, при написании работы в значительной мере использовались публикации в журналах «Педагогика», «Преподавание математики в школе» и «Начальная школа».